Sajátos Centrális Konfigurációk

Az előadások a következő témára: "Sajátos Centrális Konfigurációk"— Előadás másolata:

1 Sajátos Centrális Konfigurációk
Czirják Zalán ELTE

2 Centrális Konfigurációk
Az n-test probléma egyedi explicit megoldásai A testekre ható kölcsönös gravitációs erők eredője a rendszer tömegközéppont felé mutat A testekre ható erők nagysága arányos a testek tömegközépponttól mért távolságával Nevüket Laplacetól(1805) kapták és szakirodalomban a centrális konfigurációkat cc.-vel rövidítik

3 Tulajdonságok Homografikus vagy önhasonló megoldások
A testek konfigurációja időben csak arányaiban változik, alakjában nem A cc.-k ekvivalencia osztályokba sorolhatók A cc.-k száma alatt az ekvivalencia osztályok számát értjük

4 Rendszer kollapszus

5 Periodikus megoldáscsaládok

6 Alkalmazások Siegel-Moser(1971), McGehee(1978): A háromtest-probléma esetén a hármas ütközéseket eredményező konfigurációk aszimptotikusan cc.- k Saari(1984): a fenti jelenséget bizonyította általános esetben Saari(1971), Marschal-Saari(1976): az n-test probléma evolúciója karakterizálható cc.-kkel - univerzum fejlődés Smale1970), Saari(1987): az n-test probléma fázisterének bifurkációi vizsgálhatók a cc.-k pozícióinak környezetében.

7 A centrális konfigurációk meghatározása
Bonyolult algebrai egyenletrendszerek jellemzik a cc.- ket Az egyenletek függnek a testek pozíciójától és tömegétől Már a kollináris háromtest-probléma esetén egy bonyolult egyenletet kell megoldani Az általános esetben az egyenlet megoldása reménytelennek tűnik

8 Euler esete 1767 – első nem triviális cc. meghatározása
1 dimenzió (egyenes) 3 tömeggel rendelkező test Az egyenlet egy 5-öd rendű polinom

9 Moulton(1910) Sikeresen általánosította Euler eredményét n testre
n!/2 különböző kollineáris cc. szerkeszthető

10 Maxwell(1859)

11 Szaturnusz gyűrűje

12 Főbb eredmények N=3: Lagrange-pontok
N=4: 12 kollineáris(Moulton), 2 szabályos tetraéder (Pizzetti 1904), különböző eredmények a síkbeli esetre N=5: véges számú cc.(Albouy-Kaloshi 2012, Moeckel 2001), különböző speciális esetek Chazy-Wintner-Smale probléma: N pozitív tömegpont esetén véges-e a szerkeszthető cc.-k száma? – még mindig nyílt kérdés

13 Szenkovits 2002 Síkbeli négytest-probléma Egyenlő tömegek 19 cc.:
3 négyzet 4 egyenlő oldalú háromszög, a 4. testtel a tömegközéppontban 12 egyenlő szárú háromszög, a 4. testtel a szimmetria tengelyen

14 Sajátos Centrális Konfigurációk
Síkbeli négytest-probléma Három egyenlő és egy tetszőleges tömegű testek esetén A tétel két esetre bomlott: Amikor a négy test tömege egyenlő – ekkor visszakaptam Szenkovits eredményét (19 cc.) Amikor a negyedik test tömeg nem egyenlő a többivel – ekkor 3 egyenlő oldalú cc. kaptam, amely tömegközéppontjában van a tetszőleges tömegű test

15 Eredmények

16 Eredmények Speciális esetként visszakaptam Szenkovits eredményét
A levezetett összefüggésekből analitikusan is megkaptam a négyzet és az egyenlő oldalú háromszög esete Az egyenlő szárú háromszög esetét numerikus módszer segítségével közelítettem

17 Célkitűzések A Szenkovits tételének bizonyításában használt szerkesztési módszer alkalmazása: A négytest-probléma síkbeli szimmetrikus esetére Az öttest-probléma síkbeli szimmetrikus esetére