Integrálszámítás.

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Egyszerű oszthatósági problémák
Advertisements

Integritási tartományok
A polinomalgebra elemei
I. előadás.
FEJEZETEK A MATEMATIKÁBÓL
Oszthatóság Az a osztója b-nek, ha van olyan egész szám, amivel a-t szorozva b-t kapok. (Az a osztója b-nek, ha egész számszor megvan benne.) Ha a|b, akkor.
Készítette: Szinai Adrienn
Matematikai Analízis elemei
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
Halmazok, műveletek halmazokkal
Műveletek logaritmussal
Matematika I. Deák Ottó 2. heti előadás mestertanár
Egy f  R[x] polinom cS -beli helyettesítési értéke
Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport
Gyűrűk Definíció. Az (R, +, ·) algebrai struktúra gyűrű, ha + és · R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ·) félcsoport, és III.
DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁS
Számhalmazok.
Algebra a matematika egy ága
Fejezetek a matematikából
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika
Év eleji információk Előadó: Hosszú Ferenc II. em Konzultáció: Szerda 9:50 – 10:35 II. em
Differenciál számítás
A lokális szélsőérték és a derivált kapcsolata
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már.
Oszthatóság Az a osztója b-nek, ha van olyan egész szám, amivel a-t szorozva b-t kapok. (Az a osztója b-nek, ha egész számszor megvan benne.) Ha a|b, akkor.
A számfogalom bővítése
PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév.
Matematika III. előadások MINB083, MILB083
Matematika III. előadások MINB083, MILB083
Rendszerező összefoglalás matematikából
Halmazok Összefoglalás.
1 Matematikai Analízis elemei dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém nov. 08.
Folytonos jelek Fourier transzformációja
Lineáris algebra.
Függvények.
Exponenciális egyenletek
Gazdaságstatisztika 11. előadás.
Hatványozás egész kitevő esetén
Alapsokaság (populáció)
Lagrange-interpoláció
Határozatlan integrál
I. előadás.
1. MATEMATIKA ELŐADÁS Halmazok, Függvények.
Lineáris algebra.
Összegek, területek, térfogatok
Polinomok.
előadások, konzultációk
A folytonosság Digitális tananyag.
A Függvény teljes kivizsgálása
A HATÁROZOTT INTEGRÁL FOGALMA
Valószínűségszámítás II.
Többdimenziós valószínűségi eloszlások
Integrálszámítás.
előadások, konzultációk
T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése)
A racionális számokra jellemző tételek
Számok világa.
Kontinuum modellek 1.  Bevezetés a kontinuum modellekbe  Numerikus számolás alapjai.
A Catalan-összefüggésről
3. óra Algebrai kifejezések nagyító alatt
137. óra - Ismétlés Számok és műveletek
II. konzultáció Analízis Sorozatok Egyváltozós valós függvények I.
IV. konzultáció Analízis Differenciálszámítás II.
I. Előadás bgk. uni-obuda
óra Algebra
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 7. előadás.
Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 3. előadás.
Szögfüggvények és alkalmazásai Készítette: Hosszú Ildikó Nincs Készen.
Előadás másolata:

Integrálszámítás

Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már tapasztalták, tanulták) A primitív függvény és a határozatlan integrál Definíció. Legyen intervallum, és . Azt mondjuk, hogy az F függvény az f egy primitív függvénye, ha (*) F folytonos I-n, (**) F differenciálható I belsejében és itt (***) . Tétel. Ha f-nek I-ben van primitív függvénye, akkor végtelen sok primitív függvénye van. Ha F egy primitív függvény, akkor az összes többi primitív függvényt F + c alakban kapjuk, ahol konstans. Bizonyítás: (előadáson)

Integrálszámítás Alapintegrálok Definíció. Legyen intervallum. Az függvény primitív függvényeiből álló halmazt f határozatlan integráljának nevezzük és az szimbólummal jelöljük, ahol - az integrandus, - egy primitív függvény, C - integrációs konstans Alapintegrálok    Az elemi függvények deriváltjaként előálló függvények segítségével kapjuk az úgynevezett alapintegrálokat. Ezeket tartalmazza a következő táblázat:

Alapintegrálok

Integrálási módszerek Integrálszámítás Integrálási módszerek Integrálás elemi átalakításokkal Tétel. Ha F a f primitív függvénye, akkor Bizonyítás. (előadáson) Tétel. Minden valós szám esetén Tétel. Ha f nem minden x  D(f) esetén 0, akkor Tétel. Ha a f primitív függvénye F, és g olyan függvény, amely valamely intervallumon differenciálható, továbbá ezen az intervallumon f o g összetett függvény létezik, akkor

Integrálszámítás Trigonometrikus, és hiperbolikus függvények hatványainak integrálása I./ Páratlan kitevő esetén: A trigonometrikus, és hiperbolikus függvények páratlan kitevős hatványai felbonthatók egy elsőfokú, és egy páros kitevőjű hatvány szorzatára. A páros kitevőjű hatványra alkalmazva a négyzetes összefüggést az integrál visszavezethető egy alapintegrál és az típusú integrál összegére. Példa:

Integrálszámítás II./ Páros kitevő esetén: Az integráláshoz az u.n. linearizáló formulákat használjuk. Tétel. (Linearizáló formulák) Bizonyítás. (előadáson) Példa:

Parciális integrálás Tétel. Ha az u és a v függvények valamely intervallumon differenciálhatók, továbbá az u'v szorzatfüggvénynek létezik a primitív függvénye ezen az intervallumon, akkor a szóban forgó intervallumon az uv' szorzatfüggvénynek is létezik primitív függvénye, és Bizonyítás: előadáson Példa. Határozzuk meg a következő integrálokat! Összefoglalás: előadáson

Racionális törtfüggvények integrálása Mint ismert, racionális törtfüggvényeknek azokat a függvényeket nevezzük, amelyek felírhatók két polinom hányadosaként: Elegendő olyan racionális törtfüggvények integrálásával foglalkozni, amelyek számlálója alacsonyabb fokú, mint a nevező, mert egyébként – polinom osztás segítségével - az előbbi függvény felbontható egy racionális egész, és egy racionális (valódi) tört összegére. A következő eseteket vizsgáljuk: 1./ , ahol A, a, b R. 2./ , ahol A, a, b R és \

Racionális törtfüggvények integrálása 3./ mindkét tag integrálja visszavezethető a 2./ esetre. 4./ A feladat két részre osztható: 4/a A nevező - - nem alakítható szorzattá. Alakítsuk az nevezőt teljes négyzetté. Így az integrált visszavezettük az arctg( ) típusú integrandusra.

Racionális törtfüggvények integrálása 4/b A nevező - - szorzattá alakítható. Ezzel az esettel kicsit általánosabban foglalkozunk. (a számláló lehet elsőfokú is) A C és D konstansokat azon elv alapján határozzuk meg, hogy két polinom tetszőleges x esetén akkor és csak akkor egyenlő, ha a két polinomban az x megfelelő együtthatói a két polinomban rendre megegyeznek.

Racionális törtfüggvények integrálása 5./ Ezen „ alapesetek ” után vizsgáljuk „ általánosabban ” a racionális törtfüggvények integrálását. Az „ általánosabban ” szóhasználat arra utal, hogy a racionális törtfüggvények közül nem fogunk mindegyikkel foglalkozni. A továbbiakban olyan esetekkel foglalkozunk, amikor a nevező szorzattá alakítható, mégpedig elsőfokú tényezők - vagy elsőfokú tényezők hatványa - és másodfokú tényezők szorzatára.

Racionális törtfüggvények integrálása Ekkor a résztörtek a következők: azaz, ha a nevezőben tovább szorzattá nem alakítható másodfokú polinom szerepel, akkor a számláló elsőfokú polinom. A számlálóban szereplő együtthatók meghatározása után minden tag integrálható. ( Visszavezethető az előző esetek valamelyikére. ) Példa. Határozzuk meg a következő integrált!

Integrálás helyettesítéssel Függvényt helyettesítünk változóval. Példa: Határozzuk meg a következő integrált!

Integrálás helyettesítéssel Változót helyettesítünk függvénnyel. Példa: Példa: Határozzuk meg a következő integrált!

Integrálás helyettesítéssel III. Trigonometrikus függvényeket tartalmazó törtfüggvények integrálása. Példa: Határozzuk meg a következő integrált! A megoldáshoz helyettesítést alkalmazzuk. Ekkor ; és . Bizonyítás: előadáson.