Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 7. előadás.

Az előadások a következő témára: "Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 7. előadás."— Előadás másolata:

1 Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 7. előadás

2 Racionális törtfüggvények
Célunk most a racionális törtfüggvények integrálása

3 A polinomrész integrálása könnyű
Polinomosztás Ha a törtünk számlálójában álló polinomnak nagyobb a foka, mint a nevezőben álló polinomnak, (azaz n > m), akkor polinomosztást kell végrehajtanunk: A polinomrész integrálása könnyű

4 A nevező gyöktényezős felbontása
Minden valós együtthatós polinom felbontható az alábbi alakban, ahol xi a polinom egy valós gyöke, i a multiplicitása, a másodfokú tényezőknél kapjuk a komplex konjugált gyököket, i multiplicitással.

5 Parciális törtekre bontás
A racionális törtfüggvényt megfelelő konstansokkal részekre lehet bontani:

6 A parciális törtfüggvények integrálása
A valós gyökökhöz tartozó részek egyszerűen integrálhatók:

7 A parciális törtfüggvények integrálása
A komplex gyökökhöz tartozó törtek integrálása: ( A nagyobb multiplicitású tagok integrálása is lehetséges, bár az ennél bonyolultabb…)

8 Példák polinomosztás

9 Példák

10 Racionalizáló helyettesítések
Olyan kifejezéseknél is jó a parciális törtekre bontás, amely törtfüggvények az exponenciális függvény polinomjaiból épül fel:

11 Racionalizáló helyettesítések

12 folytatás…

13 Trigonometrikus törtfüggvények
Abban az esetben, amikor egy racionális törtfüggvénybe sin x-et és cos x-et írunk be, egy alkalmas helyettesítéssel racionális törtfüggvényt kaphatunk: polinomok

14 Racionalizáló helyettesítés

15 Egy alkalmazási példa

16 Irracionális függvények integrálása
Gyakran kell az alábbi alakú integrált kiszámolnunk. Megbeszéljük a megoldáshoz vezető általános módszert.

17 Irracionális függvények integrálása

18 Irracionális függvények integrálása

19 Irracionális függvények integrálása

20 Irracionális függvények integrálása

21 Irracionális függvények integrálása

22 Irracionális függvények integrálása

23 Irracionális függvények integrálása

24 Irracionális függvények integrálása

25 Egy példa