Algoritmusok I: Az állapotfüggvény Invariánsok, monovariánsok

Az állapotfüggvény Hogyan került elő? Algoritmusok. Mit jelent? NEM definíció: Állapotok + Eljárás. (Melyik állapotból melyikbe jutunk egy lépésben.)

Kérdések I.Elérhető-e az A állapotból a B állapot? II.Az A állapotból indulva biztosan elérjük-e a B állapotot? III.Ha igen, hány lépésre van szükség ehhez?

Hol van jelen a tananyagban? Rendezési algoritmusok Elérhető-e egy permutáció cserékkel, ill. hány cserével érhető el? (L. Hegedüs Pál holnapi előadását) Gauss-féle elimináció(!) Hány tengelyes tükrözéssel állítható elő egy egybevágóság(!) Minimum hány éle van egy k komponensű, n pontú gráfnak? (L. Tassy Gergely holnapi előadását)

Miért van szükség állapotfüggvényre? Ha akár az eljárás, akár az állapotok áttekinthetetlenek: Az egyes állapotokhoz egy vagy több számot (vagy más objektumot!) rendelünk: állapotfüggvény. A vizsgálatunk tárgya: Hogyan változik ez a függvény az eljárás egyes lépései során?

I. Változatlan az eljárás során: invariáns Mire jó? I. kérdés: elérhető-e A-ból B állapot? Ha az A állapothoz és a B állapothoz az állapotfüggvény különböző értékei tartoznak, az I. kérdésre nem a válasz. Példák: A és B jelű feladatok a feladatsoron. Nagyon egyszerű bevezető: A1 Egyszerű: A9, „apró” változtatással sokkal nehezebb lesz: B8

I. Változatlan az eljárás során: invariáns További példák: Nem vihetők át egymásba: különböző oldalhosszúságú négyzetek egybevágósággal, paralelogramma és trapéz affinitással … különböző körüljárású alakzatok mozgatással. („Balkéz” és „jobbkéz”.) Az invariáns sokkal általánosabb fogalom, nem is algoritmusoknál került először a figyelem homlokterébe: Klein „erlangeni programja”: Invariánsok: távolság – egybevágóság, távolságarány – hasonlóság, kettősviszony – pontból vetítés.

I. Változatlan az eljárás során: invariáns További példák: Átvihető-e egymásba egy-egyértelmű, oda-vissza folytonos leképezéssel egy zárt (tömör) körgyűrű és egy zárt körlemez? a gömbfelület és a tórusz felülete? Közös megoldás: az egyiken van folytonosan ponttá össze nem húzható zárt folytonos görbe, a másikon nincs. A gömbfelület és a tórusz felületére: K 5 nem síkba rajzolható, tehát a gömbre nem rajzolható ötpontú teljes gráf (ha élek nem metszhetik egymást belső pontban).

1.Mindkét tóruszos megoldás egy-egy invariánshoz vezet. 2.A második: Euler- karakterisztika „hány lukú a felület?” 3.Az első: „felület fundamentális csoportja”. 4.Hány elemmel generálható az utóbbi?

I. Az invariáns elméletalkotó alapfogalom! További példák: lineáris tér dimenziója, mátrix rangja, determináns, a polinom diszkriminánsa. További érdekes példák: B13 - B15.

I. Változatlan az eljárás során: invariáns Ilyen feladatokkal jó kezdeni. Az A jelű feladatoknál még nem érdemes állapotfüggvényről beszélni.

I. Változatlan az eljárás során: invariáns B6 Egy kocka csúcsaiba számokat írtunk. Egy lépés abból áll, hogy egy élének két végpontjában álló két szám mindegyikét eggyel növeljük. Azt akarjuk elérni, hogy minden csúcsban ugyanaz a szám álljon. Lehetséges-e ez, ha a kiinduló helyzetben az egyik él két végpontjában egyes, a többiben nulla áll? az egyik testátló két csúcsában egyes, a többiben nulla áll? egy csúcsban egyes, a többiben nulla áll? az egyik lapátló két csúcsában egyes, a többiben nulla áll?

I. Változatlan az eljárás során: invariáns B2’ („Előzmények”: B1, B2, „folytatás”: B5, B7) Körben áll n fa, mindegyiken egy-egy mókus ül. Egy lépés: két mókus átugrik egy-egy az övével szomszédos fára. Elérhető-e, hogy minden mókus ugyanazon a fán gyűljön össze?

II. Biztosan elérjük-e A állapotból B-t? Példa: találunk olyan állapotfüggvényt, amely egész értékű, egyesével változik, A-ban pozitív, az eljárás egy másik pontján negatív, B-ben nulla. Egyszerű példák (explicite csak a B állapot van megadva!): E1 2n általános helyzetű pont a síkon, van olyan egyenes, amelynek mindkét oldalán ugyanannyi van. E2 2n + 1 pont a síkon, nincs három egy egyenesen és nincs négy egy körön. BBH van olyan kör, amelynek határán 3 adott pont van, és belsejében, külsejében ugyanannyi.

II. Biztosan elérjük-e A állapotból B-t? A folytonos eset: találunk olyan állapotfüggvényt, amely valós értékű, folytonosan változik, A-ban pozitív, az eljárás egy másik pontján negatív, B-ben nulla. Egyszerű példák (a Newton-féle húr-módszer mellett): E3 Adott egy konvex, korlátos S alakzat a síkon és rajta kívül egy P pont. BBH húzható P-n keresztül olyan egyenes, amely felezi S területét (kerületét). E4 Adott egy konvex, korlátos S alakzat a síkon BBH van olyan egyenes, amely felezi S területét ÉS kerületét is.

II. Biztosan elérjük-e A állapotból B-t? Csábító: olyan állapotfüggvényt keresni, amely egész értékű, A-ban pozitív, az eljárás során szig. mon. csökken („monovariáns”) és B-ben nulla. Egyszerű példák (ahol kézenfekvőnek látszik, mégsem működik): E5-E8. E7 Adott n piros és n kék pont a síkon, semelyik három nem esik egy egyenesbe. BBH húzhatunk n diszjunkt szakaszt, amelyek mindegyike különböző színű pontok a végpontjai.

II. Itt már csak az volt a kérdés, hogy biztosan elérjük-e a B állapotot? Az eljárást is, az állapotfüggvényt is mi adtuk meg. Ezzel a gondolattal bizonyítunk egyenlőtlenségeket! (E14!) Rendezési egyenlőtlenség bizonyítása: az állapotfüggvény a két sorozat skalárszorzata. Mi az eljárást adjuk meg és bizonyítjuk, hogy minden cserével nő, és csak egy állapotban nem folytatható. A számtani és a mértani közép közötti egyenlőtlenség Riesz- féle bizonyítása.

III. Lépésszám állapotfüggvénnyel F1 A 0 számból kiindulva két művelet megengedett: a) egyet adunk a számhoz, b) megszorozzuk kettővel. Legalább hány ilyen művelet kell, hogy eljussunk 10-hez, 11-hez, … n-hez? F2 n versenyző közül akarjuk a legjobbat és a leggyengébbet kiválasztani (egyértelmű erősorrend, tehát nincs körbeverés). Legalább 1,5n – 2 mérkőzés kell.