A TŐKEKÖLTSÉG

Tőkeköltség a tőkepiacról  Tőkepiac: pénzt cserélünk pénzre  Pl. pénzt adok egy vállalatnak valamilyen jövőbeli (várható) kifizetésekért cserébe  Az elcserélt pénzek különböznek kockázatosságukban és/vagy időtávjukban  Tőkeköltség: a tőke használatának alternatíva költsége ~ azonos kockázatú (és időtávú) tőkepiaci lehetőség várható hozama  Várható hozam és kockázat kapcsolata a tőkepiacon: tőkepiaci árfolyamok modellje (Capital Asset Pricing Model, CAPM) – célunk most ennek levezetése…

Várható hasznosság maximalizálása  Emlékezzünk: racionalitás: várható hasznosság maximalizálása  Matematikai várható érték vs. várható hasznosság  Minket nem a vagyon (pénz) érdekel önmagában, hanem a hozzá tartozó hasznosság!  Miért más a két célfüggvény?

Csökkenő határhasznosság elve  Egy újabb egységnyi vagyonnövekedésre eső hasznosság egyre kisebb…

Kockázatkerülés  A csökkenő határhasznosságból fakad  A matematikailag „fair” eset elutasítása  Példa: 50% valószínűséggel nyerhetünk, illetve veszthetünk 1 millió Ft-ot – miért nem vágunk bele? Vagyonunk ugyan várhatóan nem változik: E(W) = 0,5*(W 0 +1) + 0,5*(W 0 -1) = W 0, de: 1 millió Ft megnyerése kisebb öröm, mint amekkora fájdalom 1 millió Ft elvesztése Matekosan: E(U(W)) = 0,5*U(W 0 +1) + 0,5*U(W 0 -1) < U(W 0 ) Azaz ha belevágunk, hasznosságunk várhatóan csökken!  Minél „görbültebb” a hasznosságfüggvény, annál inkább kockázatkerülő

Kockázat és szubjektív valószínűség  Van képletünk – ilyen egyszerű lenne a dolog?  Mennyire ismerjük a valószínűségeket?  Pl. négyest dobunk vs. beruházás hozama 18% és 20% között lesz?  Nem ismerünk minden lehetséges kimenetelt és azok valószínűségeit → bizonytalanság  Ismerjük a lehetséges kimeneteleket és valószínűségeiket → kockázatosság  Pénzügyekben leginkább bizonytalanság, de képletünk csak kockázatos helyzetre alkalmas  „Kipótoljuk” a hiányzó valószínűségeket  Statisztika (relatív gyakoriság, múlt) → objektív valószínűség  Szubjektív becslés → szubjektív valószínűség  Mennyire használható? – Pl. a múltból a jövőre?

Hozamok és kockázatkerülés (I.)  Vagyon ~ pénzösszeg ~ hozam: jellegükben ugyanazok az összefüggések megmaradnak  Ezentúl a hozammal foglalkozunk  Hozam – valószínűségi változó  Sok, egymástól független véletlen hatás eredőjeként alakul → normális eloszlásúnak feltételezhetjük  Így két paraméterrel definiálható: E(r) várható érték és σ(r) szórás  A kockázatot matematikailag a szórással ragadjuk meg  Tegyük az eddigieket egy modellbe!

Hozamok és kockázatkerülés (II.)  Azonos várható hasznosságot jelentő hozamok (egy adott, kockázatkerülő befektetőre): r rArA E(rB)E(rB) E(rC)E(rC) E(rD)E(rD)

Hozamok és kockázatkerülés (III.)  Egy közömbösségi görbe:

Hozamok és kockázatkerülés (IV.)  Várható hozam – szórás preferencia-térkép két eltérő kockázatkerülésű befektetőre:

Hozamok és kockázatkerülés (V.)  Többféle befektető lehetséges: kockázatkerülő (a), kockázatközömbös (b), kockázatkedvelő (c)

Hozamok és kockázatkerülés (VI.)  Várható hozam – szórás kapcsolat analitikusan (közelítő formula):  A: kockázatkerülési együttható  A kockázatot a matematikai szórással azonosítjuk  A hozamokat normális eloszlásúnak feltételezzük  Kockázatkerülést tételezünk fel

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (I.)  Neumann–Morgenstern-féle hasznosságfüggvény  Empirikus előállítása:  Példa:  Ft hasznossága legyen -100 és 0 Ft-é pedig 0  Jelenleg 0 Ft-unk van  Milyen p valószínűséggel mennénk még éppen bele egy olyan játékba, hogy p: nyerek 1000 Ft-ot, (1-p): vesztek 1000 Ft-ot (0~A(1000,-1000,p))  U(0)=p*U(1000) + (1-p)*U(-1000)  Legyen p=0,6 ekkor:

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (II.)  Végül empirikusan pl. ilyen függvény áll elő:  Fontos: ez csakis egy adott emberre jellemző, ráadásul közvetlenül nem is összemérhető másokéval, a függvényértékek önmagukban semmit nem mondanak

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (III.)  Tegyük fel, hogy ismerjük valaki hasznosság- függvényét, ami az alábbi: Induló vagyona legyen 10 ezer$

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (IV.)  Nézzünk meg egy döntési helyzetet!  50% valószínűséggel nyerhet vagy veszíthet 5 ezer $-t  Várható nyeremény: 0  Jelenlegi hasznossági szint: 2,30  Várható hasznosság a befektetés esetén:  Várhatóan hasznosságvesztéssel jár, nem fektet be

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (V.)  Kiszámítható, hogy a 2,16 hasznosságértékhez 8,67 ezer $ vagyon tartozik  A befektetés tehát felfogható 10 – 8,67 = 1,33 ezer $ biztos elvesztésének  Ez a -1,33 ezer $ a befektetés biztos egyenértékese (certainty equivalent, CE)  Definíciószerűen: az az összeg, amely ugyanazt a hasznosságváltozást eredményezi biztosan, amit a kockázatos befektetés várhatóan  Adott emberre vonatkozik  Akkor fektet be, ha CE>0

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (VI.)  Nézzük ugyanezt a befektetést, csak most a nyerés esélye 80%, a vesztésé 20%!  A matematikai várható érték E(X) = 3 ezer  A biztos egyenértékes CE = 2,06 ezer  Várható hasznosság szempontjából tehát megegyező a biztos 2,06 ezer és a kockázatos 3 ezer  A kettő különbsége 0,94 ezer, ez a kockázati prémium (risk premium, RP), amit a kockázat vállalásáért kompenzációként vár el a befektető:

Racionális döntés kockázatos pénzügyi helyzetekben (VII.)  A preferencia-térképen ábrázolva: Ahol CE(r i ) kockázatmentes hozam-egyenértékes, RP(r i ) kockázati hozamprémium, másként E(r i ) – CE(r i )

Racionális kalkuláció – példa  A befektető induló vagyona 5.000, hasznosságfüggvénye U(W) = ln(W)  Az ln(W) függvény inverze: e W  Adott egy befektetési lehetőség, amellyel a befektető 15% valószínűséggel nyer at, 25% valószínűséggel veszít at, és 60% valószínűséggel nyer et.  Érdemes ebbe a lehetőségbe befektetnie?  Igen, mert E(U(W)) = 0,15*ln(9.500) + 0,25*ln(3.500) + 0,6*ln(7.000) = 8,72 > ln(5.000) = 8,52  Mekkora ennek a lehetőségnek a biztos egyenértékese és kockázati prémiuma?  CE = e 8,72 – =  E(X) = 0,15* ,25*(-1.500) + 0,6*2.000 =  RP = E(X) – CE = 376