Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2005. Információelmélet Nagy Szilvia 10. Reed—Solomon-kódok.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 10. Reed—Solomon-kódok."— Előadás másolata:

1 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 10. Reed—Solomon-kódok

2 Széchenyi István Egyetem 2 Generálóelemek Legyen t 0, t 1, t 2, …, t n−1 a GF(N) véges test n darab különböző eleme, n

3 Széchenyi István Egyetem 3 Generálóelemek A kód generátormátrixa: Ha ezzel a mátrixszal állítjuk elő a kódszót a b =(b 0, b 1, …, b k−1 ) üzenetből, annak i-edik komponense: ami valóban b(t i ). Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

4 Széchenyi István Egyetem 4 Generálóelemek Példa: Legyen t i =2  GF(5), b =(3, 1, 0, 2), a kapott c =(c 0, c 1, …, c n−1 ) kódszó c i komponense ugyanez a generátormátrix i-edik oszlopával: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

5 Széchenyi István Egyetem 5 Egy (n, k ) paraméterű Reed—Solomon-kód kódtávolsága d min =n−k+1, azaz a kódra a Singleton-korlátban egyenlőség teljesül, tehát a Reed—Solomon-kódok maximális távolságúak (MDS-ek). Bizonyítás: Lineáris kódoknál a csupa nullából álló n hosszúságú vektor is a K halmaz eleme (kódszó), bármely c  K vektornak ettől a vektortól vett eltérése a c súlya: Maximális távolság Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

6 Széchenyi István Egyetem 6 c komponensei b(t i ) polinom-alakban állnak elő. A b(t ) polinom csak a gyökeire ad nulla eredményt. Mivel t i ≠ t j, egy gyök c -ben nem szerepelhet kétszer, a c nulla komponenseinek a száma tehát nem nagyobb, mint a b(t ) polinom gyökeinek a száma. A b(t ) k−1-edfokú polinom legfeljebb k−1 gyökkel rendelkezik, így Maximális távolság Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

7 Széchenyi István Egyetem 7 A kódtávolság – minimális súly: ugyanakkor a Singleton-korlát: E két eredményt összevetve az állítást beláttuk. Ha d min =n−k+1, akkor a kód legfeljebb n−k hibát tud jelezni, n−k törléses és (n−k )/2 egyszerű hibát tud javítani. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Maximális távolság

8 Széchenyi István Egyetem 8 Legyen  GF(N) rendje legalább n. ( ≠0) Ekkor -nak a 0-diktól az n−1-edikig terjedő hatványai mind különbözőek lesznek, ezek lehetnek a Reed— Solomon-kódot létrehozó t i  GF(N) véges testbeli elemek: A generátormátrix ezekkel: Egyetlen generálóelem Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

9 Széchenyi István Egyetem 9 A  GF(N) generáló elemmel definiált Reed—Solomon-kód a b =(b 0, b 1, …, b k−1 ) üzenethez azt a c =(c 0, c 1, …, c n−1 ) kódszót rendeli hozzá, amelynek a c i komponensei: avagy Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Egyetlen generálóelem

10 Széchenyi István Egyetem 10 A c kódszóhoz, melynek komponensei: a ciklikus kódoknál megszokott módon polinomokat lehet rendelni: ami c i kifejezését beírva: alakú lesz. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Egyetlen generálóelem

11 Széchenyi István Egyetem 11 Helyettesítsünk be a ℓ  GF(N) elemeket ℓ = 0, 1, …, n  k -ra a Reed—Solomon-kód egyes kódszavaihoz rendelt polinomokba: Mivel 0 < ℓ ≤ n  k, és 0 ≤ j ≤ k  1, 0 < j + ℓ ≤ n  1. Mivel legalább n-edrendű elem GF(N)-ben, Így a mértani sor összegképlete szerint: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Paritásegyenletek

12 Széchenyi István Egyetem 12 A mértani sor összegképlete szerint: mivel n =1, a számláló 0, így c( ℓ ) = 0, ℓ = 1, …, n  k -ra. Ezek a Reed—Solomon-kód paritásegyenletei. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Paritásegyenletek

13 Széchenyi István Egyetem 13 A c ( ℓ ) = 0, ℓ = 1, 2, …, n  k paritásegyenletek alternatív leírása: A c ( ℓ ) = 0 azt jelenti, hogy minden egyes kódszó polinomjában szerepelnek a gyöktényezők, azaz minden egyes kódszó előáll a alakban. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Paritásegyenletek

14 Széchenyi István Egyetem 14 A Reed—Solomon-kódok minden egyes kódszava előáll a alakban. A Reed—Solomon-kódok tehát tulajdonképpen ciklikus kódok, melyeknek a generátorpolinomja Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek Paritásegyenletek

15 Széchenyi István Egyetem 15 A Reed—Solomon-kódunkhoz rendelhető, a (t n −1) polinommal meghatározott ciklikus kód generátorpolinomja tehát gyöktényezős alakban: A (t n −1) „alap”-polinom gyökei i -k, i=0, 1, …, n  1, tehát g(t ) gyökei t n −1-nek is gyökei lesznek, így g(t ) valóban osztója lesz t n −1-nek. Bizonyítás: ha az n kódszóhossz megegyezik a elem rendjével, akkor n =1. Generátorpolinom Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

16 Széchenyi István Egyetem 16 Bizonyítás: ha az n kódszóhossz megegyezik a elem rendjével, akkor n =1. Így in =1, tehát ha (t n −1)-ben t helyére -t, illetve bármely i-edik hatványát írjuk: tehát bármely hatványa a (t n −1) polinom gyöke. Ezek közül az 1-től n−k-ig terjedő hatványokból alkotott gyöktényezők alkotják a generátorpolinomot: a többi adja a paritásellenőrző polinomot. Generátorpolinom Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

17 Széchenyi István Egyetem 17 A paritásellenőrző polinom tehát : A  GF(N) generálóelemmel definiált Reed—Solomon-kód paritásellenőrző mátrixa belátható, hogy G ∙ H T =0, így az állítás ellenőriz- hető. Paritásellenőrzés Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF(N M ) számtestek

18 Széchenyi István Egyetem 18 Egy {0, 1, 2, …, N M  1} halmazon lehet úgy összeadást és szorzást definiálni, hogy véges testet alkosson. Rendeljünk hozzá a halmaz minden ele- méhez egy-egyértelműen a GF(P( t )) GF(N) feletti polinom-Galois-test elemei közül egyet, és úgy szorozzuk és adjuk össze a számokat, mint a nekik megfeleltetett polinomokat. Így tudunk nem prím, hanem prímszám egész hatványa elemszámú véges számtestet létrehozni (1 bájt=8 bit) Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek

19 Széchenyi István Egyetem 19 Példa: másodfokú irreducíbilis polinom a t 2 + t + 1. A GF( 4 ) = GF( 2 2 ) véges test elemei a 0, 1, 2, 3 számok, bináris alakban 0 0, 0 1, 1 0 és 1 1. Minden számhoz rendeljünk egy legfeljebb 2  1=1-fokú GF(2) feletti polinomot a következőképpen: ha a szám bináris alakja a b, akkor a hozzá rendelt polinom a ∙ t + b. Az összeadás a következő esetekben triviális: Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek

20 Széchenyi István Egyetem 20 Példa: GF( 4 ) = GF( 2 2 ) véges test, a t 2 + t + 1 másodfokú irreducíbilis polinommal. Összeadás esetén a mod 2 műveleteket is kell használni: A polinomos megfontolásokat csak néhány szorzás esetében kell használni: Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek

21 Széchenyi István Egyetem 21 A szorzások: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről

22 Széchenyi István Egyetem 22 Reed— Sólomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek A szorzások: Mivel az egység- elem a 0t+1, az inverz- párok: 01—01 10—11 Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről

23 Széchenyi István Egyetem 23 Reed— Sólomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek A szorzások: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről Példa: GF( 4 ) = GF( 2 2 ) véges test, a t 2 + t + 1 másodfokú irreducíbilis polinommal. Összeadó- és szorzótábla: ∙

24 Széchenyi István Egyetem 24 A GF( 2 8 ) bájtokat kezelni képes véges test GF(P( t )) polinom-Galois-testjének generáló irreducíbilis polinomja Az p 7 p 6 p 5 p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 bináris alakú számhoz a következő, GF( 2 ) feletti, legfeljebb hetedfokú polinomot rendeljük hozzá: Vegyük észre, hogy a fenti hozzárendelés tulajdonképpen egy bináris vektor – bináris polinom hozzárendelés: 8 elemű bináris vektorhetedfokú bináris polinom Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek Matematikai kitérő – A GF ( N M ) véges számtestekről

25 Széchenyi István Egyetem 25 Reed—Solomon kódokat lehet nem csak prím, hanem prímhatvány elemszámú véges test felett is definiálni a GF(N) esettel analóg módon. A különbségek: GF(N M ) összeadó- és szorzótábla GF(N M ) hatványok a  generáló elemnek GF(N M )-ben kell n-ed-rendűnek lennie. Reed—Solomon-kódok GF ( N M ) felett Információelmélet – Reed—Solomon-kódok Reed— Solomon- kódok Generáló elemek Generálóelem Paritás- egyenletek Generátor- polinom Paritás- ellenőrzés GF ( N M ) számtestek

26 Széchenyi István Egyetem 26 Legyen a c =(c 0, c 1, …, c n−1 ) GF(N M )-beli n komponensű vektor C =(C 0, C 1, …, C n−1 )  (GF(N M )) n Fourier-transzformáltjának komponensei a képlet szerint állnak elő, a véges test n-edrendű eleme. Szokás a C Fourier-transzformáltat F { c }-ként írni és a c spektrum ának nevezni. Matematikai kitérő – Fourier-transzformálás véges testeken Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

27 Széchenyi István Egyetem 27 Példa: számoljuk ki a c =( ) GF(5 )-beli 4 komponensű vektor Fourier-transzfor- máltjának komponenseit =3-mal: Matematikai kitérő – Fourier-transzformálás véges testeken Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

28 Széchenyi István Egyetem 28 A Fourier-transzformációnak van inverz művelete: ahol n −1 az n-nek a GF(N M ) véges testen belüli inverze. Bináris esetben, azaz ha N=2, n −1 =1 (ha n páratlan). Matematikai kitérő – Fourier-transzformálás véges testeken Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

29 Széchenyi István Egyetem 29 Legyen a t =(t 0, t 1, …, t n−1 ) és u =(u 0, u 1, …, u n−1 ) két GF(N M )-beli n komponensű vektor. Az s = t  u ciklikus konvolúció ja az az s =(s 0, s 1, …, s n−1 )  (GF(N M )) n vektor, melynek komponensei: A ciklikus konvolúcióra érvényes a konvolúciós tétel : Ha az s, t, u vektorok Fourier-transzformáltjai rendre S, T, U, és a vektorok komponensei között fennáll, hogy akkor a spektrum vektorokra igaz, hogy Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

30 Széchenyi István Egyetem 30 A konvolúciós tétel belátása: az s vektorok Fourier-transzformáltjának, S -nek az i-edik komponense behelyettesítve u -t, mint U -nak az inverz-Fourier-transzformáltját ha j−k<0, akkor az n- nel vett osztás utáni maradékát kell venni Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció

31 Széchenyi István Egyetem 31 Példa: adjuk meg az a =( ) és a b =( ) vektorok konvolúcióját GF(5) felett. (n=4, 4 −1 ≡ 4 mod 5.) Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

32 Széchenyi István Egyetem 32 Legyen a GF(N M )test n-edrendű eleme. Egy c  (GF(N M )) n vektor spektrum- polinomja a C =(C 0, C 1, …, C n−1 ) spektrumához rendelt legfeljebb n−1- edfokú polinom: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció

33 Széchenyi István Egyetem 33 A  GF(N M ) n-edrendű elem i-edik hatványa, i akkor és csak akkor lehet gyöke egy c( t ) polinomnak, ha a polinomhoz tartozó vektor C spektrumában az i-edik elem nulla: Bizonyítás: ha i gyöke c(t)-nek, akkor c( i ) = 0. Kifejtve: ami pont C i. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció

34 Széchenyi István Egyetem 34 Hasonlóképpen: a  GF(N M ) n-edrendű elem i-edik hatványa, i akkor és csak akkor lehet gyöke egy C( t ) spektrumpolinomnak, ha az eredeti c vektor i-edik komponense nulla: A bizonyítás az előző állítás belátásához hasonló. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Matematikai kitérő – Ciklikus konvolúció

35 Széchenyi István Egyetem 35 A Reed—Solomon-kódok spektruma Legyen a Reed—Solomon-kód generátor- polinomja g( t ), a kódolandó üzenet polinomja b( t ), a hozzárendelt kódszó- polinom c( t ). A c( t ) n−1-edfokú, b( t ) k−1-edfokú, g( t ) pedig n−k−1- edfokú. Az n−1-edfokú polinomok között a b( t )-nek és g( t )-nek az utolsó együtthatói nullák. Mindhárom polinom származtatható n komponensű vektorokból is: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

36 Széchenyi István Egyetem 36 A Reed—Solomon-kód c( t ) kódszópolinomjai a következőképpen állíthatók elő: A polinomszorzás definíciója szerint az i-edfokú együttható: ami g  b i-edik komponense. Tehát c = g  b. A konvolúciós tétel szerint ekkor a vektorok spektruma között a következő összefüggés áll fenn: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása A Reed—Solomon-kódok spektruma

37 Széchenyi István Egyetem 37 A Reed—Solomon-kódok spektruma Legyen a Reed—Solomon-kódot generáló és egyben a Fourier- transzformációt definiáló n-edrendű GF(N M )-beli elem. A generátorpolinomnak, s így minden kódszópolinomnak gyöke 1-től n – k- adikig terjedő hatványa. Így minden kódszóvektor spektrumának az 1- től n – k-adikig terjedő indexű komponense nulla: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

38 Széchenyi István Egyetem 38 A Reed—Solomon-kódok spektruma Minden kódszóvektor spektrumának az 1-től n – k-adikig terjedő indexű komponense nulla: Ez a tény lehetővé teszi a kódszavak spektrumukon keresztül történő definiálását: a (b 0, b 1, …,b k−1 ) üzenethez rendelt kódszó spektrumának –az első n−k eleme 0 –az utolsó k eleme b 0, b 1, …,b k−1 Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

39 Széchenyi István Egyetem 39 A hibák javítása A paritásellenőrző mátrix: Ebből a szindróma: Elemenként kifejtve: Ismerve a szindróma n−k elemét, ennek az egyenletrendszernek kell a legkisebb súlyú  c megoldását megkeresni Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

40 Széchenyi István Egyetem 40 Törléses hibák javítása Törléses hibák esetén ismerjük azt, hogy  c mely komponensei biztosan 0-k és melyek nem azok. A 0 elemek a H T bármely oszlopával összeszorozva 0 járulékot adnak, így a velük azonos sorszámú sorokat törölhetjük H T -ből. Összesen legfeljebb n−k nem nulla elem van  c -ben, így legfeljebb n−k sora marad a csonkolt H T -nek. Eleve csak n−k oszlopa volt, így négyzetes mátrix marad. Legyen a csonkolt paritásellenőrző mátrix Húzzuk ki  c -ből is a 0 elemeket, az így kapott vektor: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

41 Széchenyi István Egyetem 41 Törléses hibák javítása A kapott avagy n−k változós egyenletrendszer megoldható. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

42 Széchenyi István Egyetem 42 Egyszerű hibák javítása A Reed—Solomon-kódok  <(n−k)/2 egyszerű hibát tudnak javítani. Tegyük fel, hogy az ℓ-edik helyen van hiba. Ekkor minden egyenletben szerepel egy-egy nem 0 tag:  ℓ -ből egyértelműen megadható a hiba helye, csak meg kell keresni, hogy hányadik hatványa  -nak. A  ℓ mennyiség a hibahely-lokátor Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

43 Széchenyi István Egyetem 43 Egyszerű hibák javítása Legyen a hibahely-polinom, melynek gyökei a hibahely-lokátorok inverzei. Ha meg tudjuk határozni L(t)-t, akkor a gyökeit ki tudjuk számolni meg tudjuk adni a gyökök inverzét, azaz a hibahely-lokátorokat meg tudjuk keresni, hogy azok hányadik hatványai, azaz meg tudjuk adni, hol vannak hibák Ha a hibák helyét ismerjük, akkor törléses hibákat kell javítani, azt meg láttuk hogyan kell. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

44 Széchenyi István Egyetem 44 Egyszerű hibák javítása L-re igaz, hogy Szorozzuk mindkét oldalt Összegezzünk ℓ=1,2,…,  –re Helyettesítsük be L(t)=1+L 1 t+…+L  t polinom egyelőre ismeretlen együtthatóit: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

45 Széchenyi István Egyetem 45 Egyszerű hibák javítása Szétszorozva hatványait: A szindróma a következő volt: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

46 Széchenyi István Egyetem 46 Egyszerű hibák javítása Így kaptunk egy egyenletrendszert L(t) együtthatóira, amelyben csak a szindróma szerepel: ahol j lehet 0,1,…, . A szindróma legmagasabb indexszel a j+  - vel fordul elő az egyenletrendszerben, ami legfeljebb 2 lehet, ami nem haladja meg s komponenseinek a számát. (Hiszen legfeljebb (n−k)/2 egyszerű hiba javítható, a szindróma meg n−k komponensű.) Az egyenletrendszer tehát mindig felírható. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

47 Széchenyi István Egyetem 47 Egyszerű hibák javítása Legyen =6, a GF(11) véges test tizedrendű eleme A GF(11) elemeinek az első 10 hatványa: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása          

48 Széchenyi István Egyetem 48 Egyszerű hibák javítása Legyen =6, a GF(11) véges test feletti (10,6) paraméterű Reed—Solomon-kód generáló eleme. A generátormátrix: A ( ) üzenet által létrehozott kódszó: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

49 Széchenyi István Egyetem 49 Egyszerű hibák javítása Legyen =6, a GF(11) véges test feletti (10,6) paraméterű Reed—Solomon-kód generáló eleme. A paritásellenőrző mátrix: A ( ) vett vektorból kapott szindróma: ( )≡ ≡( ). Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

50 Széchenyi István Egyetem 50 Egyszerű hibák javítása Dekódoljuk a =6 generáló elemű, GF(11) feletti (10,6) Reed—Solomon-kód kódszavából torzult ( ) vektort. A szindróma: ( ). alkalmazása j=0 és 1-re: azaz Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

51 Széchenyi István Egyetem 51 Egyszerű hibák javítása Dekódoljuk a =6 generáló elemű, GF(11) feletti (10,6) Reed—Solomon-kód kódszavából torzult ( ) vektort. Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

52 Széchenyi István Egyetem 52 Egyszerű hibák javítása Dekódoljuk a =6 generáló elemű, GF(11) feletti (10,6) Reed—Solomon-kód kódszavából torzult ( ) vektort. A hibahelypolinom: Gyökei: 4 és 5: Inverzeik: Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása

53 Széchenyi István Egyetem 53 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása           A hibák tehát a 2. és 4. helyen vannak.

54 Széchenyi István Egyetem 54 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása A hibák tehát a 2. és 4. helyen vannak. A csonkolt paritás- ellenőrző mátrix:

55 Széchenyi István Egyetem 55 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása A hibák tehát a 2. és 4. helyen vannak. A csonkolt paritás- ellenőrző mátrix: A csonkolt hibavektor: A szindróma ( ) volt,

56 Széchenyi István Egyetem 56 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása A hibák tehát a 2. és 4. helyen vannak. A csonkolt paritás- ellenőrző mátrix: A csonkolt hibavektor: A szindróma ( ) volt,

57 Széchenyi István Egyetem 57 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Behelyettesítés után:

58 Széchenyi István Egyetem 58 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Átrendezve: A többi egyenletbe behelyettesítve az eredmény ellenőrizhető.

59 Széchenyi István Egyetem 59 Egyszerű hibák javítása Információelmélet – Reed—Solomon-kódok II. Reed— Solomon- kódok II. Fourier- transzformáció Konvolúció A spektrum jellemzői Generálás a spektrumon Törléses hibák javítása Egyszerű hibák javítása Dekódoljuk a =6 generáló elemű, GF(11) feletti (10,6) Reed—Solomon-kód kódszavából torzult ( ) vektort. A hibavektor komponensei: A javított kódszó: ( )

60 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 12. A hibacsomók elleni védekezés

61 Széchenyi István Egyetem 61 Hibacsomók Egy szimbólumsorozatban több, egymás után előforduló hibából álló sorozat a hibacsomó. Egy hosszabb hibacsomó javítása csak rendkívül hosszú kódszavakkal és főleg hosszú paritásszegmenssel lehetséges – hacsak szét nem bontjuk valahogy. Azokat az eljárásokat, amelyek során a kódolandó, illetve dekódolandó szimbólumsorozatot úgy módosítják, hogy az esetleg előforduló hibacsomók szétoszoljanak több kódszó között, kódátfűzés nek vagy interleavingnek hívjuk. Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme

62 Széchenyi István Egyetem 62 Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme kódoló 1 dekódoló 1 kódoló 2 kódoló 3 kódoló  dekódoló 2 dekódoló 3 dekódoló  csatornacsatorna több kódoló és dekódoló kell lassabb (az órajel frekvenciájának  - adrészével működő), bonyolultabb kódolási eljárások is alkalmazhatók a hibacsomó hossza egy-egy ágon  - adrészére csökken Többutas kódátfűzés Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés

63 Széchenyi István Egyetem 63 1.a blokkba oszlopfoly- tonosan írja be a kódolt üzenetet 2.sorfolytonosan olvassa ki és adja a csatornára 3.vevő sorfolytonosan tölti fel a mátrixát 4.oszlopfolytonosan olvassa ki 5.majd dekódolja. csatorna Blokkos kódátfűzés Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme

64 Széchenyi István Egyetem 64 Egy D  D-s blokk esetén a hibacsomó D- edrészére csökken. Nagyobb a memóriaigény de csak egy kódoló és dekódoló szükséges. Hosszabb ideig tart, még akkor is, ha két blokkal dolgozik, az egyiket tölti, a másikat olvassa ki. csatorna Blokkos kódátfűzés Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme

65 Széchenyi István Egyetem 65 A CD-kre írandó hangot 44,1 kHz frekvenciával mintavételezik, két bájtra kvantálják. Sztereó – két hangcsatornás: jobb és bal – rendszerek esetén a következő sorrendbe rendezik a két csatorna egy-egy mintavételezési pontjához tartozó két-két bájtját: jobb 1.bájt, jobb 2.bájt, bal 1.bájt, bal 2.bájt, jelöljük őket x i 1, x i 2, y i 1, y i 2 -vel (i-edik időpont). Minden érték  GF(2 8 ). Hibacsomók elleni védekezés: CD-k Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme

66 Széchenyi István Egyetem 66 1.Ezekkel az adatokkal feltöltenek egy 24  24-es mátrixot oszlopfolytonosan. 2.Oszloponként (24, 28) paraméterű, GF(2 8 ) feletti Reed—Solomon-kóddal kódolják az adatokat  28  24-es mátrix. 3.A kapott mátrix sorait is kódolják az iménti R—S-kóddal.  28  28-as mátrix. 4.Soronként kiolvasva engedik a csatornára. A (24, 28)-as kóddal 2 egyszerű és 4 törléses hibát lehet kijavítani. Hibacsomók elleni védekezés: CD-k Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme

67 Széchenyi István Egyetem 67 1.A vett adatokkal sorfolytonosan feltöltenek egy 28×28-as blokkot 2.Soronként megnézik a szindrómát. Ha s=0, a sort békén hagyják s=1, a hibát kijavítják s=2, a hibák helyét határozzák meg, oda törlésés hibát generálnak s>2, az egész sorba törléses hibát generálnak Oszloponként ha a törléses hibák száma 1 vagy 2, akkor azt kijavítják ha több, interpolálnak, mert az gyorsabb (és a fül elég tehetetlen) Hibacsomók elleni védekezés: CD-k Információelmélet – Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomók elleni védekezés Hibacsomó Többutas kódátfűzés Blokkos kódátfűzés CD-k hibavédelme 3.

68 Széchenyi István Egyetem 68 Gyakorló feladatok: Huffman-kód Legyen a forrásábécé elemeinek előfordulási valószínűsége rendre p (  ) =0,31, p (  ) =0,15, p (  ) =0,11, p (  ) =0,19, és p (  ) =0,24. Információelmélet – Gyakorló feladatok

69 Széchenyi István Egyetem 69 Gyakorló feladatok: Aritmetikai kód Legyen a forrásábécé elemeinek előfordulási valószínűsége rendre p (l) =0,25, p (m) =0,125, p (n) =0,0625, p (o) =0,1875, és p (p) =0,375. Rendeljük az egyes elemekhez, ilyen sorrendben a [0, 1) intervallumnak az elem valószínűségével azonos hosszát. Kódoljuk a „p o l o” üzenetet a kapott aritmetikai kóddal. Információelmélet – Gyakorló feladatok

70 Széchenyi István Egyetem 70 Gyakorló feladatok: LZ78 kód Kódoljuk a „ j b c j j b c c j c j b c c j b c ” üzenetet LZ78 eljárással. tüntessük fel az egyes lépésekben a kódoló kimenetén megjelenő értéket is. Használjuk az alábbi táblázatot. Adjuk meg a kódoló kimenetét. n m karakter sorozat Információelmélet – Gyakorló feladatok

71 Széchenyi István Egyetem 71 Gyakorló feladatok: LZW kód Kódoljuk az „ ” üzenetet LZW eljárással. tüntessük fel az egyes lépésekben a kódoló kimenetén megjelenő értéket is. Használjuk az alábbi táblázatot: n m karakter kimenet Információelmélet – Gyakorló feladatok

72 Széchenyi István Egyetem 72 Gyakorló feladatok: Hamming-kód Hozzunk létre egy szisztematikus Hamming- kódot a GF(13) számtest felett. Legyen a paritásszegmens hossza 2. Mi a paritásellenőrző mátrix és mi a generátormátrix? Hány elemű az üzenetszegmens? Mi lesz a csupa 1-esből álló üzenethez rendelt kódszó? Információelmélet – Gyakorló feladatok

73 Széchenyi István Egyetem 73 Gyakorló feladatok: Hamming-kód Adjuk meg a szisztematikus generátormátrixhoz tartozó paritáselle- nőrző mátrixot. Milyen véges test felett definiálták a kódot? Adjuk meg az „ ” vett bitsorozat szindrómáját. Mi lehetett az eredeti kódszó? Milyen üzenetből jöhetett létre az iménti vett bitsorozat? Információelmélet – Gyakorló feladatok

74 Széchenyi István Egyetem 74 Gyakorló feladatok: Hamming-kód Adjuk meg a szisztematikus generátormátrixhoz tartozó paritásellenőrző mátrixot. Milyen véges test felett definiálták a kódot? Adjuk meg az „ ” vett bitsorozat szindrómáját. Mi lehetett az eredeti kódszó? Milyen üzenetből jöhetett létre az iménti vett bitsorozat? Információelmélet – Gyakorló feladatok

75 Széchenyi István Egyetem 75 Gyakorló feladatok: Ciklikus kód Azt tesszük fel, hogy a GF(5) felett a „ ” egy ciklikus kód érvényes kódszava. Milyen polinomot tudunk a kódszóhoz rendelni? Két ciklikus eltolás után mi lesz a polinomból? Ha a ciklikus kód generátorpolinomja g(t)=t 2 +4t+1, valóban kódszó-e „ ”? Mi a kód paritásellenőrző polinomja? Mennyi a „ ”-hez rendelt polinom szindrómája? Információelmélet – Gyakorló feladatok

76 Széchenyi István Egyetem 76 Gyakorló feladatok: Ciklikus kód Egy 7 elemű kódszavakat generáló bináris ciklikus kód generátorpolinomja g(t)=t 3 +t+1. Adjuk meg az vektorból általa előállított kódszópolinomot. Mi a paritásellenőrző polinom? Mi t 6 +t 5 +t 3 +1 vett polinom szindrómapolinomja? Információelmélet – Gyakorló feladatok

77 Széchenyi István Egyetem 77 Gyakorló feladatok: R—S-kód A GF(11) véges testben a 2 tizedrendű elem. Legyen 2 egy a GF(11) feletti Reed—Solomon-kódoló generáló eleme. Adjuk meg a b =( ) üzenethez generált tízelemű kódszót. Információelmélet – Gyakorló feladatok

78 Széchenyi István Egyetem 78 A GF(5) véges testben a 3 negyedrendű elem. Legyen 3 egy a GF(7) feletti Reed—Solomon- kódoló generáló eleme, s egyben a Fourier- transzformáció definíciójában szereplő elem. Adjuk meg a b =(2 2 3) üzenethez a spektrumon keresztül generált négyelemű kódszót. Adjuk meg a spektrumot is. Információelmélet – Gyakorló feladatok Gyakorló feladatok: R—S-kód

79 Széchenyi István Egyetem 79 A GF(4) véges testben a 3 harmadrendű elem. Legyen 3 egy a GF(4) feletti Reed—Solomon- kódoló generáló eleme, s egyben a Fourier- transzformáció definíciójában szereplő elem. Adjuk meg a b =(2 3) a kódoló által generált háromelemű kódszót. Adjuk meg a spektrumot is. Használjuk az alábbi szorzó és összeadó táblázatokat: Információelmélet – Gyakorló feladatok Gyakorló feladatok: R—S-kód ∙

80 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 13. Konvolúciós kódolás

81 Széchenyi István Egyetem 81 Keret, kódszókeret, kódsebesség A konvolúciós kódolás során a tömörített b 1, b 2, b 3, … üzenetet k bites szakaszokra – üzenetszegmensekre – bontjuk, és m+1 egymás utáni üzenetszegmensből alakítjuk ki a kódoló aktuális kimenetét. A kódoló mindig m darab k hosszúságú üzenetszegmenst – keret et – tárol, és egy van a bemenetén. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

82 Széchenyi István Egyetem 82 Keret, kódszókeret, kódsebesség Egy lépés során a kódoló beolvas egy üzenetszegmenst az m+1 darab, k hosszúságú bitsorozatból létrehoz egy n hosszúságú kimeneti bitsorozatot, a kódszókeret et. A kódsebesség : R = k/n. eldobja a legrégebben tárolt keretet és elraktározza az újonnan beolvasottat Egy üzenetszegmens m+1 lépés során befo- lyásolja a kimenetet, utána tűnik csak el a tárolókból. A kódoló kényszerhossz a K = k  (m+1) bit. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

83 Széchenyi István Egyetem 83 Kényszerhossz, fa-kód, trellis Ugyanez az üzenetszegmens a kimeneten n  (m+1) bit kialakításában vesz részt, az N = n  (m+1) mennyiség a kódoló blokkhossz a. Engedjük a kódoló bemenetére az összes lehetséges, nullával kezdődő félig végtelen bitsorozatot, és vizsgáljuk a kimeneti félig végtelen bitsorozatokat. A fa-kód ezek között a bemeneti és kimeneti sorozatok közötti hozzárendelés; a legegyszerűbben bináris fa formájában adható meg. Trellis-kód ok a véges kényszerhosszú fa- kódok. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

84 Széchenyi István Egyetem 84 Kódparaméterek A K kényszerhosszú, N blokkhosszú, lineáris, időinvariáns trellis kódokat ( N, K ) paraméterű konvolúciós kód oknak nevezzük. A konvolúciós kódok tervezése sok esetben lehetőséget nyújt a moduláció tervezésére is. Lehet nem bináris konvolúciós kódokat is tervezni, de a kód kódfája akkor nem bináris lesz. Gyakorlatban nem alkalmazzák. A konvolúciós kódolók létrehozhatók léptetőregiszterekkel, például: k=1, n=2, m=2, K=3, N=6-ra Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

85 Széchenyi István Egyetem 85 Kódparaméterek A konvolúciós kódolók létrehozhatók léptetőregiszterekkel, például: k=1, n=2, m=2, K=3, N=6-ra Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

86 Széchenyi István Egyetem 86 Konvolúció Jellemezzük a konvolúciós kódoló p-edik ágát egy olyan félig végtelen bitsorozattal, amelyiknek a j-edik eleme akkor és csak akkor 1, ha a p-edik ágban 1-es együtthatóval jelenik meg b i−j. A kódolónkra: az első ág bitsorozata: g 1 = … a második ág bitsorozata: g 2 = … Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

87 Széchenyi István Egyetem 87 Konvolúció az első ág bitsorozata: g 1 = … a második ág bitsorozata: g 2 = … Az első ág kimenete: b 1, b 2, b 3 +b 1, b 4 +b 2, b 5 +b 3, …= = g 1  b A második ág kimenete: b 1, b 2 +b 1, b 1 +b 2 +b 3, b 2 +b 3 +b 4, b 3 +b 4 +b 5,…= =g 2  b Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

88 Széchenyi István Egyetem 88 Kódfa Példaként nézzük a kódolónk bináris fáját: 0 1 – bemeneti bitek i j – kimeneti bitpárosok Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

89 Széchenyi István Egyetem 89 Állapotátmenet-gráf Nézzük a kódolónk tárolóinak állapotai közötti átmeneteket gráfon ábrázolva: bemeneti bitek kimeneti bitpárosok Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

90 Széchenyi István Egyetem 90 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé a trellisnek ezen része tetszőleges számszor ismételhető Trellis diagram Az állapotátmenet-gráfról, vagy az áramkör blokkváz- latáról leolvashatók a különféle bemeneti kombinációk hatására a kimeneten és a tárolókban megjelent bitek, melyeket a trellisen lehet ábrázolni: a tárolók kiürítése Információelmélet – Konvolúciós kódolás

91 Széchenyi István Egyetem 91 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Az egyszerűsített trellis en az azonos tárolóállapotok, mint egy sorban lévő pontok szerepelnek, és a bemenetet sem mindig tüntetik fel az élekre (a felfelé menő piros élek az 1 bemeneti bitet, a lefelé muta tó kékek a 0-t jelentik: 11  10  01  00  első mélységbeli csomópontok Információelmélet – Konvolúciós kódolás Trellis diagram

92 Széchenyi István Egyetem 92 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Az egyszerűsített trellisen a különböző üzenetek kódolását lehet nyomon követni: Legyen a kódolandó üzenetszakasz (trellis – rácsozat) 11  10  01  00  Információelmélet – Konvolúciós kódolás Trellis diagram

93 Széchenyi István Egyetem 93 Polinom reprezentáció Az áramkörünk tulajdonképpen két polinomszorzó eredményeit fésüli össze: A bináris polinomjaink: Az üzenethez rendelhető polinom: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

94 Széchenyi István Egyetem 94 Polinom reprezentáció Az ágakat jellemző bináris polinomok: Az üzenethez rendelhető polinom: Az kimenet szétosztható 2 darab külön bitfolyamra, melyekhez a következő polinomok rendelhetők: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

95 Széchenyi István Egyetem 95 Ha hosszabb az üzenetkeret, az üzenetet is k darab különálló bitfolyamra kell bontani, és a generáló polinomoknak is két fontos indexe lesz. Ezek a polinomok mátrixba rendezhetők: A mátrix első sora jellemzi az első bemeneti bit hatását az n darab kimenetre, a második sor a második bemeneti bitét, … Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Polinom reprezentáció

96 Széchenyi István Egyetem 96 A kódoló polinom-mátrixa: Az üzenethez és a kimenethez rendelhető polinomok vektorokba rendezhetők: Így Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Polinom reprezentáció

97 Széchenyi István Egyetem 97 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A kódoló paraméterei: k=2, n=3, m=3, K=8, N=12. A tárolóknak összesen 2 5 = 32-féle állapota lehetséges, az állapotátmeneti gráf 32 csúccsal rendelkezik, a trellis 32 sorral. Konvolúciós kódok Információelmélet – Konvolúciós kódolás

98 Széchenyi István Egyetem 98 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A generáló polinomok: Konvolúciós kódok Információelmélet – Konvolúciós kódolás

99 Széchenyi István Egyetem 99 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: A generáló polinom-mátrix: Konvolúciós kódok Információelmélet – Konvolúciós kódolás

100 Széchenyi István Egyetem 100 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: Az üzenet és kimenet felbontása: Konvolúciós kódok Információelmélet – Konvolúciós kódolás

101 Széchenyi István Egyetem 101 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkört: Az üzenethez két-, a kimenethez három komponensű polinom-vektor tartozik: Konvolúciós kódok Információelmélet – Konvolúciós kódolás

102 Széchenyi István Egyetem 102 Példa: A polinom-mátrix: A kód komponensei: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Konvolúciós kódok

103 Széchenyi István Egyetem 103 Példa: Nézzük a következő, kicsit egyszerűbb kódoló áramkört: A kódoló paraméterei: k=2, n=3, m=2, K=6, N=9. A tárolóknak összesen 2 3 = 8-féle állapota lehetséges, az állapotátmeneti gráf 32 csúccsal rendelkezik. Ezeket fogjuk most felrajzolni. 2 2 = 4-féle bemeneti kombináció lehetséges, így minden csúcsból négy ág indul ki. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Konvolúciós kódok

104 Széchenyi István Egyetem 104 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő, kicsit egyszerűbb kódolót: 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

105 Széchenyi István Egyetem 105 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Nézzük a következő kódoló áramkör trellisét: 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

106 Széchenyi István Egyetem 106 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Példa: Kódoljuk a üzenetet: 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

107 Széchenyi István Egyetem 107 Példa: Kódoljuk a üzenetet: Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

108 Széchenyi István Egyetem 108 Példa: Kódoljuk a üzenetet: Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

109 Széchenyi István Egyetem 109 Példa: Kódoljuk a üzenetet: Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

110 Széchenyi István Egyetem 110 Példa: Kódoljuk a üzenetet: Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

111 Széchenyi István Egyetem 111 Példa: Kódoljuk a üzenetet: Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé 00 bemenet 01 bemenet 10 bemenet 11 bemenet Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok

112 Széchenyi István Egyetem 112 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Katasztrofális kódoló Módosítsuk kicsit az első kódolónkat, és nézzük az állapotátmeneti gráfját: Engedjünk csupa 1-est a bemenetre. Ekkor rövid tranziens (két lépés, kimenet) után a kimenet csupa nulla lesz. Információelmélet – Konvolúciós kódolás

113 Széchenyi István Egyetem 113 Az olyan kódolókat amelyek nem csak tiszta nulla bemenetre, hanem valamilyen más, periodikus bemeneti sorozatra is tiszta nulla kimenetet adnak, katasztrofális kódolóknak nevezik. A katasztrofális kódolónak az állapotátmeneti gráfján mindig van egy olyan hurok, amelyik nem a tiszta nulla állapotból indul és mégis tiszta nulla a kimene- te, azaz nulla a hurok kimenetének Hamming- súlya. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Katasztrofális kódoló

114 Széchenyi István Egyetem 114 A katasztrofális kódoló pontos definíciója: Az olyan kódolók, melyek tetszőlegesen nagy Hamming-súlyú bemenetre is korlátos Hamming-súlyú maradhat a kimenet. (l. a kódolónkra bármennyi 1- est engedünk, a kimenet lehet 3-nál nem nagyobb súlyú.) Szeretnénk elkerülni a katasztrofális kódolókat, ezért szeretnénk egy olyan feltételt, amely az állapotátmenet-gráf (hosszadalmas) felrajzolása nélkül is megmondja, hogy katasztrofális-e a kódoló vagy nem. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Katasztrofális kódoló

115 Széchenyi István Egyetem 115 Ha k=1, azaz a kódsebesség 1/n, akkor létezik ilyen feltétel: a kódoló akkor és csak akkor nem katasztrofális, ha az ágait jellemző polinomok legnagyobb közös osztója 1: A katasztrofális kódolónkra: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Katasztrofális kódoló

116 2005. Információelmélet Nagy Szilvia 14. Viterbi-algoritmus

117 Széchenyi István Egyetem 117 Távolságprofil, szabad távolság Vizsgáljuk a kódoló lehetséges kimeneteiből mindig az első r kódszókeretet. Az így ka- pott r ∙n hosszúságú vektoroknak értel- mezhető a Hamming-távolsága. Jelöljük ezek közül a minimálisat d r * -gal. Ekkor r növelésével ez a minimális távolság nem fog csökkenni: A d 1 *, d 2 *, d 3 *,… sorozatot a kódoló távolságprofil jának nevezik. A d r * -okból álló monoton növekvő sorozat határértéke, avagy ezen értékek maximuma a kód szabad távolság a: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

118 Széchenyi István Egyetem 118 Kódolási nyereség A csatornakódolás során ezesetben is a kódtávolság növelésére törekedünk. Vegyük a kódolatlan üzenet d ref szabad távolságát referenciának. A kódolási nyereség : a kódolt üzenet szabad kódtávolságá- nak és a referenciatávolság aránya decibelskálán. Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

119 Széchenyi István Egyetem 119 Komplex kódábécé A konvolúciós kódolók kimenetét nem csak n bitként lehet értelmezni, hanem komplex számként is: például a áramkör három bitnyi kimenete értelmezhető 8PSK modulátor fázisszögeként is (2 3 =8): Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

120 Széchenyi István Egyetem 120 Komplex kódábécé Komplex kódábécével jelentős kódolási nyereség érhető el. Lássuk: Nézzük a kódoló állapotátmenet-gráfját Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

121 Széchenyi István Egyetem 121 Nézzük a kódoló trellisét: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

122 Széchenyi István Egyetem 122 Nézzük az egyes állapotok távolságát: a kiindulási bitpárokat, mint komplex számokat értelmezve a távolsá- gaik euklideszi mértékkel: a kimeneti bittrióknak, mint komplex számoknak a távolsága: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

123 Széchenyi István Egyetem 123 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé Keressük meg a tiszta nulla bemenetre adott tiszta nulla kimenethez euklideszi távolságban legközelebb eső kódolt üzenetet: A hozzá tartozó résztávolságok: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé

124 Széchenyi István Egyetem 124 Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé A tiszta nulla bemenetre adott tiszta nulla kimenet euklideszi távolsága a hozzá legközelebb eső kódolt üzenettől: Az eredeti üzenet távolsága a tiszta nulla üzenettől Így a kódolási nyereség: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Komplex kódábécé

125 Széchenyi István Egyetem 125 A valós számokkal és Hamming-távolsággal ugyanez a kódolási nyereség: az üzenet: … Hamming-távolsága a … üzenettől: 1 kódolt üzenet: Hamming-távolsága a … kódolt üzenettől: 3 Így a kódolási nyereség: Információelmélet – Konvolúciós kódolás Konvolúciós kódok Alapfogalmak Állapotát- meneti gráf Trellis Polinom- reprezentáció Katasztrofális kódoló Szabad távolság Komplex kódábécé

126 Széchenyi István Egyetem 126 Maximum likelihood dekódolás A Viterbi-dekódolás olyan algoritmus amelyet a trellis kódok maximum likelihood dekódolására fejlesztettek ki és optimalizáltak. Szemléltetés: Bináris szimmetrikus csatorna p < 1/2 paraméterrel. Legyen a csatornára adott vektor c = ( c 1, c 2, …, c N ), a kimeneten észlelt vektor v =( v 1, v 2, …, v N ). A p( v | c ) feltételes valószínűség: Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés

127 Széchenyi István Egyetem 127 Maximum likelihood dekódolás mivel a csatorna mindkét bit esetén 1−p valószínűséggel továbbít helyes jelet és p valószínűséggel hibáz; N darab szimbólum van és ebből d( v, c ) helyen tér el a két vektor egymástól, azaz ennyi helyen rontott a csatorna. Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés

128 Széchenyi István Egyetem 128 Maximum likelihood döntésnél tehát a valószínűséget kell maximalizálni, azaz, mivel a d( v, c ) Hamming-távolságot kell minimalizálni. Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés Maximum likelihood dekódolás

129 Széchenyi István Egyetem 129 Tehát a d( v, c ) Hamming-távolságot kell minimalizálni. Jelöljük az i-edik kódszókeretet c i -vel, a belőle a csatorna kimenetén kapott szimbólumsorozatot v i -vel, távolságukat d( v i, c i )-vel. ekkor a Hamming-távolság minimumát kell keresni (d( c, v ) a fenti szorzat kitevőjében van). Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés Maximum likelihood dekódolás

130 Széchenyi István Egyetem 130 A trellisben minden kódszókeretet egy-egy él reprezentál. Rendeljünk hozzá minden élhez egy olyan súlyfaktort avagy metriká t (mértéket), amely arányos ezzel a mennyiséggel, járjunk végig minden lehetséges utat, és válasszuk ki közülük a maximális súlyút. (Ha a Hamming- távolság a metrika akkor a minimumot kell keresni) Ez a Viterbi-dekódolás alapötlete. A legegyszerűbb, ha a vett bitsorozattól mért Hamming-távolságot nevezzük ki metrikának. (BSC esetén jó is) Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés Maximum likelihood dekódolás

131 Széchenyi István Egyetem 131 Más típusú diszkrét, emlékezet nélküli csatornánál is lehet a szorzatként előálló p( v | c ) likelihood helyett olyan mennyiséget találni, amelyet egy-egy kódszókerethez tartozó részmennyiségek összegeként lehet meghatározni: Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés Maximum likelihood dekódolás

132 Széchenyi István Egyetem 132 Az algoritmus A Viterbi-dekódolás A következő ciklust hajtja végre amíg el nem fogy a vett szimbólumsorozat: 1.beolvas egy kódszókeretet, az i-ediket: c i -t 2.kiszámolja a trellis i-edik és i+1-edik mélységi csomópontjai közötti ágak súlyát a c i ismeretében 3.előhívja az i-edik mélységi csomópontokig vezető utak metrikáját, ezekhez hozzáadja az újakat, így minden i+1-edik csomóponthoz kap több útvonalat különféle metrikával; Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés

133 Széchenyi István Egyetem 133 Az algoritmus 3.előhívja az i-edik mélységi csomópontokig vezető utak metrikáját, ezekhez hozzáadja az újakat, így minden i+1-edik csomóponthoz kap több útvonalat különféle metrikával; ezeket az útvonalakat hozzárendeli azokhoz az i+1-edik mélységi csomópontokhoz, amelyekbe mutatnak. 4.az állapotokhoz rendelt útvonalak közül kiválasztja a maximális súlyút, azt elraktározza az adott csomóponthoz, ez lesz a túlélő útvonal, a többit törli. (Hamming-távolság esetén a maximális súly a minimális Hamming-távolság.) Információelmélet – Viterbi-algoritmus Viterbi- algoritmus ML dekódolás Algoritmus Működés

134 Széchenyi István Egyetem 134 A Viterbi-dekódolás működése Nézzük az egyik egyszerű korábbi kódolónkat, és a belőle a üzenet hatására kapott kódot: Hibázzon a csatorna a második és az ötödik bitben, így a vett bitsorozat: Hajtsuk végre a Viterbi-dekódolást: Információelmélet – Viterbi-algoritmus

135 Széchenyi István Egyetem 135 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat: lépés: az 1. élek súlya

136 Széchenyi István Egyetem 136 Eddig minden csúcshoz csak egy él érkezett, nem kellett választani közülük Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat: lépés: a 2. élek súlya

137 Széchenyi István Egyetem 137 a két él közül kisebb súlyút (a pirosat) választjuk, az lesz a túlélő él, a másikat töröljük Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

138 Széchenyi István Egyetem 138 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

139 Széchenyi István Egyetem 139 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

140 Széchenyi István Egyetem 140 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

141 Széchenyi István Egyetem 141 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

142 Széchenyi István Egyetem 142 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

143 Széchenyi István Egyetem 143 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

144 Széchenyi István Egyetem 144 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

145 Széchenyi István Egyetem 145 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

146 Széchenyi István Egyetem 146 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

147 Széchenyi István Egyetem 147 Ha két egyforma súlyú útvonal vezet egy ponthoz, közülük véletlenszerűen döntünk, melyik lesz túlélő és melyike(ke)t dobjuk el. Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

148 Széchenyi István Egyetem 148 Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

149 Széchenyi István Egyetem 149 A Viterbi-dekódolás működése Információelmélet – Viterbi-algoritmus Emlékeztetőül a trellis: A vett bitsorozat:

150 Széchenyi István Egyetem 150 A kapott túlélő útvonalak közül kiválasztjuk a minimális súlyút: a 2 súlyú utat. Az útvonal és a trellis ismeretében az üzenet visszakapható: Mivel minden pontba csak egy túlélő él fut be, a hibajavítás egyértelmű, a végétől visszafelé követhető az útvonal (fordított irányban vannak elágazások) Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése

151 Széchenyi István Egyetem 151 A kapott túlélő útvonalak közül kiválasztjuk a minimális súlyút: a 2 súlyú utat. Az útvonal és a trellis ismeretében az üzenet visszakapható: Felderíthető, hol hibázott a csatorna: amely kódszókeretnél nőtt az összsúly, annak továbbításakor volt rontás. Információelmélet – Viterbi-algoritmus A Viterbi-dekódolás működése

152 Széchenyi István Egyetem 152 Gyakorló feladatok: Konvolúciós kódolók Legyen egy k=1-es konvolúciós kódolót jellemző két polinom: Rajzoljuk fel a kódoló blokkvázlatát! Adjuk meg a kódoló állapotátmeneti gráfját. Információelmélet – Gyakorló feladatok

153 Széchenyi István Egyetem 153 Legyen egy k=1-es konvolúciós kódolót jellemző állapotátmeneti gráf: Adjuk meg a kódoló trellisét a következő pontokat felhasználva. Adjuk meg a üzenet által generált bitsorozatot tiszta nulla kezdeti tárolóállapotokat feltéve. Mi marad a végén a tárolókban? Információelmélet – Gyakorló feladatok Gyakorló feladatok: Konvolúciós kódolók


Letölteni ppt "2005. Információelmélet Nagy Szilvia 10. Reed—Solomon-kódok."

Hasonló előadás


Google Hirdetések