Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az intervallum matematika és alkalmazási területei Csallner András Erik SZTE JGYPK

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Az intervallum matematika és alkalmazási területei Csallner András Erik SZTE JGYPK"— Előadás másolata:

1 Az intervallum matematika és alkalmazási területei Csallner András Erik SZTE JGYPK

2 2 A lebegőpontos aritmetika 123 = 1,23·10 2 mantissza karakterisztika Összeadás: 1.Karakterisztikák azonosítása 2.Mantisszák összeadása Példa: 1,23· ,56·10 -8 = =1,23· , ·10 2 = =(1,23 + 0, )·10 2 = =1, · értékes jegy 456

3 3 S.M. Rump példája Számítsuk ki a fenti függvény értékét a következő pontban: x = 77617; y = 33096! A függvény számított értéke különböző pontosság beállítása esetén: Single precision:f = +1, Double precision:f = +1, Extended precision:f = +1, A függvény pontos értéke: f = -0, … Egyetlen számjegy, sőt, még az előjel sem egyezik!

4 4 Öböl-háborús példa február 25. Öböl-háború: egy Patriot nem találta el a megcélzott Scud rakétát. Következmény: 28 amerikai katona meghalt. Megállapítások a Patriot rakéták eredményességéről: A háború alatt: 80% A háború után röviddel: 70% Későbbi kongresszusi vizsgálat alapján: 10% alatt, de lehetséges, hogy 0%

5 5 Öböl-háborús példa Indoklás Egy Scud követéséhez a Patriot fedélzeti gépe egy időtényezőt ismételt 1/10-es szorzással számolt. Kettes számrendszerben az egy tized a következő: 1  : 10  = 1  : 1010  = = 0, …  végtelen, szakaszos kettedestört A kerekítési hibák halmozódása a cél következetes tévesztéséhez vezetett.

6 6 Pénzkidobás augusztus 23. a Sleipner A fúrósziget beton alapjának elhelyezése az Északi tengeren A lebegőpontos aritmetika hibás alkalmazása egy végeselem módszer algoritmusban Eredmény: az alap elsüllyedt, miközben a Richter skála szerinti 3-as erősségű földrengést okozott Költség: 700 millió dollár

7 7 Pénzkidobás június 4. az első Ariane-5 rakéta indítása. Átváltási hiba a lebegőpontos számoknál Eredmény: hibás önmegsemmisítés 39 másodperccel a kilövés után Költség: 7 milliárd dollár kutatási költség, 500 millió dollár áruteher

8 8 Egyszerű egyenletrendszer 32,7 x 1 – 49 x 2 = 1 30 x 1 – 45 x 2 = 0 Megoldás 4 tizedesjegyű mantissza esetén Cramer szabály segítségével: x 1 = 45 x 2 = 30 Pontos megoldás: x 1 = 30 x 2 = 20

9 Miért épp az intervallumok? 9 Ötlet Pontatlanul tárolható számok helyett A számokat magukba foglaló pontosan tárolható végpontokkal megadott intervallumok. Pl. 1/3  0, helyett 1/3  [0, ; 0, ]

10 Miért épp az intervallumok? Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos számítások Nem kellenek pontos eredmények Nincsenek pontos mérések Nincsenek pontos számítások Nem kellenek pontos eredmények 10

11  20 % = 0,4 kg Egy mérés eredményeként általában intervallumot kapunk  0,48 kg Miért épp az intervallumok? 0,32 kg  11

12 Egy eredmény csak adott pontossággal kell r = 2 m, T = r 2    3,1415 T  12,566 m 2 3,141    3,142 12,564 m 2  T  12,568 m 2 r T Miért épp az intervallumok? 12

13 13 Az intervallumok Intervallumoknak fogjuk nevezni azon mennyiségeket, amelyeknek csupán egy alsó és egy felső korlátját ismerjük X XAXA XFXF I = {X  R 2 | X = [X A ; X F ] ahol X A  X F valósak} A valós intervallumok halmaza formálisan:

14 14 Az intervallumok Összeadás Z = X + Y = [X A + Y A ; X F + Y F ] XAXA XFXF YAYA YFYF ZAZA ZFZF Legyenek X = [X A ; X F ] és Y = [Y A ; Y F ] intervallumok +=? [0,6; 0,7] liter+ [0,3; 0,5] liter= [0,9;1,2] liter

15 15 Az intervallumok Kivonás Z = X – Y = [X A – Y F ; X F – Y A ] XAXA XFXF YAYA YFYF ZAZA ZFZF Legyenek X = [X A ; X F ] és Y = [Y A ; Y F ] intervallumok – =? [0,8; 0,9] liter– [0,1; 0,2] liter= [0,6;0,8] liter

16 16 Az intervallumok H = {X A Y A, X A Y F, X F Y A, X F Y F } Szorzás Z = X  Y = [min H; max H] Osztás Z = X / Y = X  [1/Y F ; 1/Y A ] ahol 0  Y Legyenek X = [X A ; X F ] és Y = [Y A ; Y F ] intervallumok

17 Az összeadás és a szorzás műveletek kommutatívak és asszociatívak A [0, 0] egységelem az összeadásra, ill. zéruselem a szorzásra nézve Az [1, 1] egységelem a szorzásra nézve A négy alapművelet definíciója éles Az intervallumok 17

18 A kivonás az összeadásnak nem inverze Pl. [0, 1] - [0, 1] = [-1, 1]  [0, 0] (de [0, 0]  [0, 1] - [0, 1] ) Az osztás a szorzásnak nem inverze Pl. [1, 2] / [1, 2] = [1/2, 2]  [1, 1] (de [1, 1]  [1, 2] / [1, 2]) A disztibutív szabály nem igaz (de X  (Y + Z)  X  Y + X  Z, szubdisztributivitás) Az intervallumok 18

19 19 Az intervallumok Gépi számok használata valós pontok ábrázolására: pontos érték gépi számok... gépi alsó korlátgépi felső korlát Pl. 1, ·10 2  [123,00000; 123,00001]

20 20 Az intervallumok Gépi számok használata műveletek eredményeinek ábrázolására: gépi alsó korlátgépi felső korlát számított alsó korlát számított felső korlát kifelé kerekítés A következőkben mindig feltesszük, hogy számításaink során alkalmazzuk a kifelé kerekítést

21 21 Az intervallumok 32,7 x 1 – 49 x 2 = 1 30 x 1 – 45 x 2 = 0 Pontos megoldás: x 1 = 30 x 2 = 20 Intervallumos megoldás: X 1 = [22,5; 45] X 2 = [15; 30] A befoglalás elve érvényesül  Újra:

22 Számítás intervallumokkal Befoglaló függvények számítása f (x) = x2 x2 - 2x 2x - 3 f (x)=? ha x  [0.25, 0.75] Intervallumokkal: F (X) = X  X - 3 = ? ha X = [0.25, 0.75] 22

23 f ebben a példában monoton X felett, így könnyű kiszámítani a pontos értékkészletét: Range f (X) = [ , ] A probléma: számítsuk ki az f függvény X feletti értékkészletének egy befoglalását! 23 Számítás intervallumokkal

24 Ha kiszámítjuk az f függvény F 1 befoglaló függvényét X felett: F 1 (X) = [ , ] (Range f (X) = [ , ]) Range f (X)  F 1 (X) Általában igen nehéz probléma egy tetszőleges függvény értékészletének megadása. 24 Számítás intervallumokkal

25 Ha kiszámítjuk F 2 -t X felett, ahol F 2 (X) = X  (X - 2) - 3, akkor: F 2 (X) = [ , ] (F 1 (X) = [ , ] és Range f (X) = [ , ]) Range f (X)  F 2 (X)  F 1 (X) A szubdisztributivitás miatt pontosabb befoglalást kaphatunk a Horner elrendezés segítségével. 25 Számítás intervallumokkal

26 Intervallumok felosztása Ezek az úgynevezett naiv befoglaló függvények izoton tulajdonságúak, azaz ha X  Y akkor F (X)  F (Y). 26

27 F 2 (X (1) ) = [ , ] F 2 (X (2) ) = [ , ] F 2 (X (3) ) = [ , ] F 2 (X (4) ) = [ , ] XXAXA XFXF X (1) X (2) X (4) X (3) Intervallumok felosztása

28 0.5 Range f (X) = [ , ]0.5 F 1 (X) = [ , ]1.5 F 2 (X) = [ , ]1.0 F (4) (X ) = [ , ]0.625 FüggvényértékekSzélesség Ha a 4 egyenlő darabra osztással kapott függvényt F (4) -gyel jelölve kapjuk: 28 Intervallumok felosztása

29 FüggvényértékekSzélesség 0.5 Range f (X) = [ , ]0.5 F 1 (X) = [ , ]1.5 F 2 (X) = [ , ]1.0 F (4) (X ) = [ , ]0.625 F (8) (X ) = [ , ] Ugyanezt 8 darabra osztással is elvégezve (jelölés: F (8) ) 29 Intervallumok felosztása

30 Egy egyszerű felosztási módszer Alkalmazzuk a felosztás módszerét a következő érték egy alsó és felső korlátjának meghatározására: min Range f (X) = min x  X f (x), ami f globális minimuma X felett. 30

31 Egy egyszerű felosztási módszer 1.Legyen X a keresési intervallum, L pedig egy üres lista! Helyezzük fel X-et a listára! 2.Vegyük le a lista első, A elemét a listáról! 3.Felezzük el A-t két részintervallumra! 4.Helyezzük fel a listára az újonnan keletkezett intervallumokat úgy, hogy a lista az elemei fölött számított befoglaló függvény alsó korlátok szerint növekvő sorrendben rendezett legyen! 5.Ha a legjobb felső és alsó korlát távolsága nagy, menjünk a 2. ponthoz! 6.Vége, az optimum befoglalása leolvasható. 31

32 32 Program Egy egyszerűfelosztásimódszer

33 Egy SNS probléma (vegyipar) S2 S2 ABC AB C 2. típusú szeparátor S1 S1 ABC A BC 1. típusú szeparátor Bemeneti anyagáram S Egy szeparátor költségfüggvénye 33

34 S2 S2 S1 S1 S2 S2 S1 S1 ABC A C BC AB BC AB A C B A B C 34 Egy SNS probléma (vegyipar)

35 S2 S2 S1 S1 ABC A BC C B A B C ABC Optimális struktúra sejtés BC 35 Egy SNS probléma (vegyipar) ABC F F p p p Be- és kimeneti anyagáramok

36 S2 S2 S2 S2 S1 S1 ABC A C AB BC C B A B C Optimális struktúra BC 36 Egy SNS probléma (vegyipar)

37 Összegzés A lebegőpontos aritmetika alkalmatlan felelősségteljes számítások elvégzésére Az intervallumok bevezetése természetes, alkalmazása garantált pontosságú megoldásokat szolgáltathat A gyakorlati példák és ipari alkalmazások az intervallumok mindennapi tervezési feladatok megoldására való felhasználásának irányába mutatnak 37


Letölteni ppt "Az intervallum matematika és alkalmazási területei Csallner András Erik SZTE JGYPK"

Hasonló előadás


Google Hirdetések