Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926)

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926)"— Előadás másolata:

1 2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

2 Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926)

3 Matematikai fogalmak

4 Az operátor

5 Függvény: mennyiséget rendel mennyiséghez. Az operátor (általánosan): egyik halmaz elemit rendeli egy másik halmaz elemeihez. Függvényoperátor: függvények halmazának elemeit rendeli egy másik függvényhalmaz elemeihez. (függvényt rendel függvényhez.) A kvantummechanikában a függvényoperátorokat nevezzük röviden operátoroknak.

6 Az operátorok jele: „ kalap” Független változók, amelyek az operátorban és az egymáshoz rendelt függvényekben is szerepelnek

7 Például

8 Alkalmazzuk a fenti operátort!

9 Eredmény: Például Alkalmazzuk a fenti operátort!

10 Alkalmazzuk az operátort másik függvényre!

11 Eredmény:

12 Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre!

13 Eredmény:

14 Nézzünk egy többváltozós operátort is!

15 Alkalmazzuk az f(x,y) = x 2 y 2 függvényre!

16 Nézzünk egy többváltozós operátort is! Alkalmazzuk az f(x,y) = x 2 y 2 függvényre! Eredmény:

17 Operátor sajátérték-egyenlete

18

19 Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük

20 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak

21 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény C sajátérték (konstans)

22 Operátor sajátérték-egyenlete Operátor, változóit együtt röviden  -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény C sajátérték (konstans) A sajátérték-egyenlet megoldása

23 Sajátérték-egyenlet: a  (  )-en az operátor által kijelölt műveletet végrehajtva visszakapjuk a  (  ) függvényt a C konstanssal szorozva

24 A sajátérték-egyenlet megoldásai:  0 (  ),  1 (  ),  2 (  ),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C 0, C 1, C 2  sajátértékek

25 A sajátérték-egyenlet megoldásai:  0 (  ),  1 (  ),  2 (  ),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C 0, C 1, C 2  sajátértékek Másképp fogalmazva: A  0 (  ) - C 0,  1 (  ) - C 1,  2 (  ) - C 2  sajátfüggvény - sajátérték párok

26 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete

27 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások:

28 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f 0 (x) = e x, C 0 = 1

29 Példa sajátérték-egyenletre operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f 0 (x) = e x, C 0 = 1 f 1 (x) = e 2x, C 1 = 2 

30 Komplex számok Tartalmazzák az i imaginárius egységet Jelölésük: a + ib valós rész képzetes rész

31 Komplex szám abszolút értéke a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám konjugáltja |a + bi| 2 = (a + ib) (a - ib)

32 Komplex szám abszolút értéke a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám konjugáltja |a + bi| 2 = (a + ib) (a - ib) = = a 2 + iab - iab + b 2 = a 2 + b 2 Mindig valós!

33 Komplex függvények F(x,y  ) = V(x,y  ) + i  W(x,y  ) alakban felírható függvények Két valós függvényt tartalmaznak: V(x,y  ) és W(x,y  )

34 Teljes analógia a valós számokkal!

35 A komplex függvény konjugáltja Jele: fölül vonás függvény komplex konjugált

36 A komplex függvény abszolút értéke A függvény és komplex konjugáltjának szorzata az abszolút érték négyzete. Jelöljük a változókat  -val! Valós függvény!

37 A kvantummechanika axiómái 1. axióma. Alapmennyiségek 2. axióma. Sajátérték-egyenlet 3. axióma. Állapotfüggvény 4. axióma. Időbeli folyamatok 5. axióma. Várható érték 6. axióma. Hullámfüggvény előjele (okt. eleje)

38 1. axióma Alapmennyiségek.

39 A fizikai mennyiségek: Természeti állandók (fénysebesség vákuumban, elektron töltése, elektron tömege  ) Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés, hőmérséklet, fényerősség) Leszármaztatott mennyiségek

40 Távolság (d) vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) A klasszikus mechanika alapmennyiségei: Idő (t) Tömeg (m) A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le! helyvektor

41 A kvantummechanika alapmennyiségei: Távolság (d) / Helyvektor Idő (t) Tömeg (m) Töltés (q) Impulzus ( )

42 Távolság (d) / Helyvektor Az x,y,z helykoordináták és az helyvektor jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

43 Idő (t) Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

44 Tömeg (m) Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege természeti állandó (m e, m p, m n ), a többieké ezek összege. Pl.: m( 23 Na mag) = 11m p + 12m n A tömeg a kvantummechanikában konstans! (Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!)

45 Töltés (q) A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika mennyiségei között szerepel a töltés. Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0. A többi részecskéé ezek összegeként adódik. A töltés is konstans a kvantummechanikában!

46 Impulzus ( ) A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség. Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek kvantáltak. Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz, hogy a kvantált fizikai mennyiségeket megfogalmazzuk.

47 Az impulzus a klasszikus mechanikában másik neve: lendület Vektor!

48 Az impulzus a kvantum- mechanikában Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

49 Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

50 Az impulzus a kvantum- mechanikában ; ;. Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: (Planck-állandó)

51 Tömör formában: nabla vektor, ahol

52 A többi kvantummechanikai mennyiséget úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti módon értelmezett alapmennyiségeket.

53 Példa: Energia, Hamilton-függvény Klasszikus mechanika: T: kinetikus E V: pot. E

54  V csak a helykoordináták függvénye, ezek a mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában. V = V(x,y,z) Előkészület a kvantummechanikára:  T összefügg az impulzussal!

55 Kvantummechanika: Az 1.axióma szerint:

56 skalárszorzat

57 A Hamilton-operátor (egy részecskére)

58 Példa Impulzusmomentum Klasszikus mechanika Kvantummechanika

59 2. axióma Sajátérték-egyenlet

60 Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk. Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)  kinetikus energia  teljes mechanikai energia  impulzus momentum Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges értékeit?

61 2. axióma Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora a lehetséges értékeit az operátor sajátérték-egyenletéből számított C = C 0, C 1, C 2... sajátértékek adják meg. Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes sajátértékekhez tartozó  (  ) =  0 (  ),  1 (  ),  2 (  )... sajátfüggvényeket is

62 Példa Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet: kin. E. pot. E., ahol

63 Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban minden helykoordinátáktól függő fizikai mennyiséget operátorként tüntetnek fel. Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az impulzushoz, és így nem is kvantáltak. Pl.: Potenciális energia Dipólusmomentum

64 Az m tömegű részecske Schrödinger-egyenlete

65 3. axióma Állapotfüggvények

66 3. axióma Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a állapotfüggvény jellemzi.

67

68 x 1,y 1,z 1 1. részecske helykoordinátái … x N,y N,z N N. részecske helykoordinátái tidő

69

70 megjegyzés: röviden

71 Az állapotfüggvény alkalmazása: A részecskék eloszlását számítjuk ki belőle, egy adott térrészre integrálva:

72 A 3. axióma tagadást is tartalmaz: Nem lehet pontosan megadni, hogy a kvantummechanikai rendszer részecskéi egy adott pillanatban hol tartózkodnak, csak valószínűségeket lehet megadni! A klasszikus mechanikában a részecskék pályája számítható!

73 4. axióma Időbeli folyamatok

74 4. axióma Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét és Hamilton-operátorát „Időtől függő Schrödinger-egyenlet”

75 Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből az egyenletből levezethető, hogy állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor sajátfüggvényével!

76 5. axióma Várható érték

77 Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei  megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel, és vannak,  amelyeké nem egyezik meg.

78 Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer  0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban az energia rendre E 0, E 1, E 2,… és a másik kvantált mennyiség értéke rendre C 0, C 1, C 2,….

79 Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető mennyiségek!

80 Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a másik kvantált mennyiség értéke az egyes állapotokban bizonytalan, de várható értéke megadható.

81 5. axióma Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség várható értéke az n-ik állapotban: a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik állapotban.

82 1929: L. W. De Broglie, : W. Heisenberg, : E. Schrödinger, : P. A. M. Dirac, : W. Pauli,

83


Letölteni ppt "2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI. Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem (1926)"

Hasonló előadás


Google Hirdetések