Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

TFM/210/v/4/EA-IV/1 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "TFM/210/v/4/EA-IV/1 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás."— Előadás másolata:

1 TFM/210/v/4/EA-IV/1 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás

2 TFM/210/v/4/EA-IV/2 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 1. Két merev test ütközése, (3. előadás) 2. Mechanikai hullámmozgás hullámmozgás: energiát, impulzust szálit, Longitudinális hullám: a hullámmozgással páthuzamos az anyagi részecskék kimozdulása, pl. harmonikus rezgőmozgás, rugómozgás, Tranzverzális hullám: a hullám terjedési irányára merőleges az anyagi részecskék kimozdulása, pl. kötélen haladó hullámmozgás, elektromágneses hullámok, C) Merev testek kényszermozgása,

3 TFM/210/v/4/EA-IV/3 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék sajátértékek 2.1. Longitudinális hullámmozgás bevezető, Matematikai Összefoglaló Az elmozdulásra, mint változóra vonatkozó mozgásegyenlet egy másodrendű differenciál egyenlet,a (RE) rendszeregyenlet, megoldása, összetevőkre bontással, az szabad válasz a homogén differenciálegyenletet elégíti ki, g(t)=0 a szabad választ a következő alakban keressük, karakterisztikus egyenlet dinamikus elem

4 TFM/210/v/4/EA-IV/4 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék az gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet, lineáris rendszerben a gerjesztett válasz hasonlít a gerjesztésre, a gerjesztett választ próbafüggvény módszerrel keressük; Az M 1 és az M 2 konstansokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg: az szabad válasz: a RE megoldása:

5 TFM/210/v/4/EA-IV/5 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3. Harmonikus rezgőmozgás, longitudinális hullámok a rugót nyugalmi helyzetéből kitérítve, az m tömegre a rugóerő hat: elengedve rezgőmozgás jön létre, 3.1. Csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete: a szabad válasz általános alakját a mozgásegyenletbe helyettesítve, a karakterisztikus egyenletből a sajátértékek: a szabad válasz: a rugómozgás saját-körfrekvenciája A mozgásegyenlet= Rendszer Egyenlet= Homogén Differenciál Egyenlet, a RE megoldása a szabad válasz:

6 TFM/210/v/4/EA-IV/6 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a szabad válasz: kezdeti feltételek: a szabad válasz: egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása a d1, d2 konstansok komplex konjugált párt alkotnak

7 TFM/210/v/4/EA-IV/7 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék új változók bevezetésével: másik megoldási mód: A,B állandók a kezdeti feltételekből: a mozgás sebessége: a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: a szabad válasz az Euler formula alkalmazásával a kezdeti elmozdulás:

8 TFM/210/v/4/EA-IV/8 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletének megoldása: a harmonikus rezgőmozgás egyenlete:  0 – saját körfrekvencia, [rad/s], – a rezgő rendszerre jellemző, – saját rezgésidő,  – kezdőfázis,

9 TFM/210/v/4/EA-IV/9 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 1. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a kialakuló csillapítatlan rezgőmozgás körfrekvenciáját, valamint a rezgés amplitúdóját és kezdőfázisát. Megoldás: A rugó mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A rezgő rendszer saját (kör)frekvenciája: A rezgő rendszer elmozdulása: Figyelembe véve, hogy d 1, d 2 komplex konjugált párok:

10 TFM/210/v/4/EA-IV/10 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A rezgő rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből: Az első egyenletet megszorozva j4 értékkel és a két egyenletet összeadva

11 TFM/210/v/4/EA-IV/11 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék Tehát a rezgő rendszer elmozdulása: azaz a t=0 pillanatban a rugó kitérése: a t=0 pillanatban az elmozdulás sebessége: azaz a t=0 pillanatban a rugó sebessége a kitéréssel ellenkező irányú lesz.

12 TFM/210/v/4/EA-IV/12 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3.2. Csillapított szabad rezgés, az m tömegre a rugóerő és a sebességgel arányos csillapító erő hat: a csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete: mozgásegyenlete általános megoldása=szabad válasz: a karakterisztikus egyenletből: a sajátértékek: lengéscsillapító

13 TFM/210/v/4/EA-IV/13 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a sajátértékek: 3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer: a sajátértékek negatív valós értékek: kezdeti feltételek: az általános megoldás, a szabad válasz, két monoton csökkenő exponenciális görbe összege, nincs rezgés: a mozgó rendszer kitérése:

14 TFM/210/v/4/EA-IV/14 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 2. Példa, Egy 2,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása:

15 TFM/210/v/4/EA-IV/15 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A mozgó rendszer elmozdulása: A kezdeti feltételekből d 1, d 2 meghatározhatók: A mozgó rendszer elmozdulása: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége:

16 TFM/210/v/4/EA-IV/16 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a sajátértékek: 3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer: két azonos nagyságú, negatív, valós értékű sajátérték: az általános megoldás, a szabad válasz valós, d 1, d 2 valós értékű, nincs rezgés, az exponenciális tényező gyorsabban csökken, mint ahogy t nő, kezdeti feltételek: t=0,

17 TFM/210/v/4/EA-IV/17 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3. Példa, Egy 1.6 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása:

18 TFM/210/v/4/EA-IV/18 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A mozgó rendszer elmozdulása egy időben csillapodó mozgás: A kezdeti feltételekből d 1, d 2 meghatározhatók: A mozgó rendszer elmozdulása: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége:

19 TFM/210/v/4/EA-IV/19 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a sajátértékek: 3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer: A sajátértékek komplex konjugáltak: a mozgásegyenlete megoldása:

20 TFM/210/v/4/EA-IV/20 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: a mozgásegyenlete megoldása:

21 TFM/210/v/4/EA-IV/21 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a mozgásegyenlet egy csillapított szabad rezgést ír le a mozgásegyenlete megoldása:

22 TFM/210/v/4/EA-IV/22 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a mozgásegyenlet megoldása egy exponenciálisan csillapított szabad rezgést ír le: a saját körfrekvencia kisebb mint a csillapítatlan esetben a saját rezgésidő hosszabb, mint a csillapítatlan rezgésé:

23 TFM/210/v/4/EA-IV/23 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4. Példa, Egy 0,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása:

24 TFM/210/v/4/EA-IV/24 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás: A kezdeti feltételekből d 1, d 2 meghatározhatók: A mozgó rendszer elmozdulása: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége:

25 TFM/210/v/4/EA-IV/25 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3.3. Állandó erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések, a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a szabad válasz: a gerjesztés állandó erő, ezért a gerjesztett válasz konstans/állandó: megoldása: a szabad válasz és a gerjesztett válasz összege a gerjesztett rendszer válasza: a lineáris rendszergerjesztett válasza hasonlít a gerjesztésre

26 TFM/210/v/4/EA-IV/26 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a gerjesztett rendszer válasza a mozgásegyenlet megoldása: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: a csillapítatlan, állandó erővel gerjesztet rendszer válasza, 0 és 2F/k között F/k állandó amplitúdójú rezgés 2 2

27 TFM/210/v/4/EA-IV/27 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 5. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú, nyugalomban lévő rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 4,8N állandó erővel gerjesztünk. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a kialakuló, csillapítatlan rezgőmozgás amplitúdóját. Megoldás: A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabad-, és a gerjeszett válasz összege: A szabad válaszhoz tartozó karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A rezgő rendszer elmozdulása: A gerjesztettválasz konstans:

28 TFM/210/v/4/EA-IV/28 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás: A kezdeti feltételekből: A rezgő rendszer elmozdulása: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége:

29 TFM/210/v/4/EA-IV/29 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a rendszer mozgását leíró egyenlet: a mozgásegyenlet megoldása: a gerjesztett válasz: a szabad válasz kis csillapítás esetén: a teljes megoldás: 3.4. Állandó erővel gerjesztett csillapított rezgések,

30 TFM/210/v/4/EA-IV/30 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a kezdeti feltételt kielégítő megoldás: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: a teljes megoldás:

31 TFM/210/v/4/EA-IV/31 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék állandó erővel gerjesztett kis csillapítású rezgőmozgás esetén a kezdeti feltételekhez illesztett megoldásegy csillapított harmonikus rezgőmozgás: a kezdeti feltételt kielégítő megoldás:

32 TFM/210/v/4/EA-IV/32 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3.5. Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések, a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a gerjesztett válasz: a mozgásegyenlet megoldása:

33 TFM/210/v/4/EA-IV/33 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a teljes megoldás: a szabad válasz: a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez: a t=0 pillanatban az elmozdulás: a t=0 pillanatban a sebesség:

34 TFM/210/v/4/EA-IV/34 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a kezdeti feltételekhez illesztett megoldás két harmonikus rezgés szuperpozíciója: ha a két körfrekvencia közel van egymáshoz: Matematika: kis frekvenciájú rezgés hullám nagy frekvenciájú rezgés hullám lebegés jön létre

35 TFM/210/v/4/EA-IV/35 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék lebegés jön létre a lebegés periódus ideje: kis frekvenciájú, hosszú periódusidejű rezgés hullám nagy frekvenciájú, rövid periódusidejű rezgés hullám

36 TFM/210/v/4/EA-IV/36 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék rezonancia vizsgálat I: rezonancia tényező: rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás: rezonancia esetén: határérték-L'Hospital:

37 TFM/210/v/4/EA-IV/37 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék rezonancia vizsgálat II: rezonancia tényező: rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás:

38 TFM/210/v/4/EA-IV/38 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 3.6. Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgések, harmonikus erővel gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a gerjesztett válasz: Komplex formalizmus:

39 TFM/210/v/4/EA-IV/39 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék kis csillapítású a szabad válasz: a teljes megoldás:

40 TFM/210/v/4/EA-IV/40 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a teljes megoldás: a kezdeti feltételekhez illesztve: az elmozdulás: a sebesség: a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás:

41 TFM/210/v/4/EA-IV/41 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a második tag gyorsan lecseng, az állandósult állapothoz tartozó gerjesztett válasz: a rezonancia tényező: Tacoma Narrows Bridge Függőhíd, USA, Washington State, június-november, szél kb. 70 km/óra

42 TFM/210/v/4/EA-IV/42 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4. Harmonikus rezgőmozgás, tranzverzális hullámok D hullámegyenlet egy kötelet mozgatva, egységnyi hossz tömege: a kötél elemi tömegeinek y irányú kitérése a hely és az idő függvénye: a kötél elemi szakaszára ható erők: és az erők komponensei kicsi, (a) (b)

43 TFM/210/v/4/EA-IV/43 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a D x szakasz elemi tömege y-irányú gyorsuló mozgásba kezd 1D hullámegyenlet, a tranzverzális mozgást végző tömegpontok mozgásegyenlete, a hullám terjedési sebessége:

44 TFM/210/v/4/EA-IV/44 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a megoldás alakja: retardált (késleltetett) hullámok, idő szükséges az információ, az elmozdulás továbbításához, 4.2. A hullámegyenlet megoldása 4.2. a) A megoldás haladó hullám igazolás: -fázissebesség, a hullám x-irányú terjedésének sebessége + x tengely irányában haladó hullám, - x tengely irányában haladó hullám,

45 TFM/210/v/4/EA-IV/45 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4.2. b) A hullámegyenlet megoldása periodikus gerjesztés esetére A hullámmozgást gerjesztő erő a komplex formalizmus alkalmazásával: A vizsgált rendszer lineáris, ezért a hullámmozgás is szinuszos lesz: a megoldás alakja: az y irányú kitérés x szerinti változása

46 TFM/210/v/4/EA-IV/46 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék az y irányú kitérés x szerinti változása: - cirkuláris hullámszám, - a kötélen haladó hullám periódus ideje, - a kötélen haladó hullám hullámhossza, a periodikus gerjesztésű hullámmozgás teljes megoldása: -a pozitív x irányban terjedő hullám komponens, -a negatív x irányban terjedő hullám komponens, a +x irányban haladó hullám a -x irányban haladó hullám

47 TFM/210/v/4/EA-IV/47 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4.3. Hullámok reflexiója, visszaverődése 4.3. a) A befogás figyelembe vétele: a befogásnál a kötél kitérése: a befogásnál a beeső és a reflektált komponens: a befogástól induló koordináta rendszer bevezetése: a befogásnál a reflexiós tényező:

48 TFM/210/v/4/EA-IV/48 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék a reflexió tényező a kötél mentén: 4.3. b) Merev falhoz való csatlakozás esetén: a befogott végen reflexió lép fel: a merev falhoz csatlakozó kötélen a beérkező hullám ellenkező fázisban verődik vissza,

49 TFM/210/v/4/EA-IV/49 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4.3. c) reflexió szabad végű kötélen: a szabad végű kötélen a reflektált hullám azonos fázisban halad végig, a szabad végen reflexió lép fel: 4.3. d) Reflexió két különböző kötél csatlakozásánál: két különböző anyagállandójú kötél csatlakozásánál reflexió lép fel, az 1. szakasz végén és a 2. szakasz elején a kitérés azonos,

50 TFM/210/v/4/EA-IV/50 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4.4. Állóhullámok kialakulása a hely szerint állóhullámok alakulnak ki, csomópontok duzzadó pontok

51 TFM/210/v/4/EA-IV/51 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék 4.4. a) a csomópontok helye r 2 =1 esetén : 4.4. b) a csomópontok helye r 2 =-1 esetén :

52 TFM/210/v/4/EA-IV/52 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék Ellenőrző kérdések Ismertesse a longitudinális hullámterjedés jellemzőit, Ismertesse a csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását, Ismertesse a csillapított szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását, térjen ki a kis csillapítású szabad rezgések elemzésére, Ismertesse az állandó erővel gerjesztett csillapítatlan és csillapított rezgések viselkedését, Foglalja össze a harmonikus erővel gerjesztett csillapított és csillapítatlan rezgések viselkedését, Ismertesse a lebegés és a rezonancia jelenségét, Ismertesse az 1D hullámegyenletet és a retardálás fogalmát, Ismertesse az 1D hullámegyenlet megoldását szinuszos gerjesztés esetére, Ismertesse a hullámok reflexiójára, az állóhullámok kialakulására vonatkozó összefüggéseket.

53 TFM/210/v/4/EA-IV/53 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék Irodalom Tankönyv: Ivanyi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat, Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010, Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, ISBN ,. (15, 18 fejezetek) Ajánlott irodalom: M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997, ISBN , Felhasznált irodalom: Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, ISBN Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN X Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004.

54 TFM/210/v/4/EA-IV/54 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék Gyakorló feladatok, Megoldandó feladatok a merev testek kényszermozgása, a harmonikus rezgőmozgás témaköréből. Tankönyv, Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, XV. fejezet, 15-1, 15-2, 15-3, 15-4, 15-6, 15-10, 15A-10, 15C-37, 15C-39 feladatok, súrlódással csillapított rezgési feladatok megoldása, rugók függőleges rezgőmozgása, XVIII. fejezet, 18-1, 18A-5 feladatok, reflexió számítása, állóhullámok hullámhosszának meghatározása, Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, Feladatok, Feladat – Feladat.


Letölteni ppt "TFM/210/v/4/EA-IV/1 PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás."

Hasonló előadás


Google Hirdetések