Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben."— Előadás másolata:

1 NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben

2 A felszíngörbe numerikus maghatározása akkor lehetséges, ha ismerjük a nyílt felszínű csatorna (vagy vízfolyás)  keresztszelvényeinek alakját,  az érdességi tényezőt,  a hossz mentén állandó vagy változó vízhozamot és  a legalsó szelvény vízszintjét (áramló vízmozgás esetén!). Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus medrekben

3 A felszíngörbe számításának matematikai modellje és számítógépes algoritmusa A matematikai modell felállítása

4 Kiindulás: A permanens áramlás teljes keresztszelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet:

5 A képletben szereplő tényezők: 1 és 2- alsó indexek az egyes hidraulikai jellemzők vízfolyás irányában a felső ill. az alsó értékére utalnak, valamint Z- a vízszint a viszonyítósík felett, p- a nyomás, v- a szelvény középsebessége,  - az egyenlőtlen sebességeloszlást figyelembe vevő tényező (diszperziós- vagy Coriolis tényező),  - a folyadék fajsúlya, h v - az 1-2 szakaszon az energiaveszteség. g- a nehézségi térerősség,

6 Tüntessük fel az előbbi ábrán az energiavonalat is! Lagrange szerint: ha az energiavonal folytonos és a  x tartományban folytonosan differenciálható. - az energiavonal átlagos esése az 1-2 szakaszon, - az 1-2 szakaszon az energiavonalat egy közbenső i pontban érintő egyenes esése.

7 A két szelvény (1-2) közötti energiaveszteség: Chézy szerint ebből következően:itt: az energiaveszteség:

8 Egyszerűsítések - a nyílt felszínről lévén szó p 1 = p 2, - megfelelően kicsi  x távolságot választva, a szelvények közötti sebességváltozástól eltekinthetünk, azaz - a C sebességi tényezőre alkalmazhatjuk a Manning-Strickler-féle összefüggést

9 A Bernoulli-egyenlet ezek után: Marad tehátEbbe h v -t behelyettesítve: Figyelembe véve, hogy

10 Áttérve infinitezimális hosszúságokra Állandó S 0 fenékesést véve az ábra jelölései alapján:

11 a matematikai modellt jelentő differenciálegyenlet - elsőrendű nemlineáris közönséges differenciál egyenlet - analitikus megoldása a legegyszerűbb négyszögszelvény esetében sem lehetséges - közelítő numerikus módszert kell alkalmazni

12 Számszerűsítsük a feladatot! B 0 =2,0 m - a fenékszélesség,  = 1,5 - a rézsűhajlás, S 0 =0, a mederfenék esése, k = 40 m 1/3 /s - a Manning-Strickler-féle simasági tényező, és Q =6,28 m 3 /s - a vízhozam. A határfeltétel a legalsó szelvény vízszintje h 0 = 1,8 m

13 A feladatot szemléltető ábra

14 Megoldási módszerek Az alapegyenlet: Ezt kell integrálnunk x 0 és x 1 intervallumban: A bal oldal egyszerűsítve és megoldva:

15 Megoldási módszerek Ezt behelyettesítve az általános formula: Kétféle numerikus módszer jöhet szóba: Prediktor-korrektor módszer Runge-Kutta módszer

16 Prediktor-korrektor módszer Prediktor lépés az Euler-Cauchy-féle közelítés: Az újabb közelítés: Korrektor lépés előtt számítjuk a következő középértéket:

17 Runge-Kutta módszer - Pontosabb numerikus integrálás pontosabb megoldást ad. - Trapézszabálynál nagyobb pontosságot ad a Simpson-formula. - Előnyei, a nagy pontosság és a stabilitás. - Hátránya a viszonylagos komplikáltsága, nagy számítási igénye.

18

19 PERMANENS FELSZÍNGÖRBE SZÁMÍTÁS TERMÉSZETES MEDREKBEN - A gyakorlati esetek igen nagy százalékában a természetes vízfolyásokon a prizmatikusság nem teljesül - Kvázi permanens egyenletes felszíngörbe alakul ki. - Vízszintszabályozó műtárgy (duzzasztómű, fenéklépcső, stb.) beépítésekor fokozatosan változó vízmozgás alakul ki. (duzzasztási vagy süllyesztési görbék)

20 A feladat Legyen adott egy L hosszúságú folyószakasz, ismert geometriai és érdességi adatokkal, melynek alsó szelvényében a vízszint egy duzzasztóművel szabályozható. Határozzuk meg különböző vízhozamok és az alsó szelvény különböző vízszintjei esetén a műtárgy fölött kialakuló felszíngörbéket!

21 Alapegyenlet A hossz mentén változó medret kisebb szakaszokra osztjuk fel. A szakaszokra az energia egyenletet írjuk fel, és azt fokozatos közelítéssel oldjuk meg. Kiindulási egyenletünk az áramlás teljes szelvényére kiterjesztett Bernoulli-egyenlet permanens alakja:

22 Egyszerűsítések - a nyílt felszínből következően P 1 = P 2, - a sebesség diszperziós tényezője  1   2  1. Most a két szelvény közötti sebességkülönbséget nem hanyagoljuk el. Az energiaveszteség:

23 A Bernoulli-egyenlet ezek figyelembevételével A w alsó index a  x szakaszra vonatkozó középértékeket jelöli. Az egyenlet megoldásához ismernünk kell az A és R változók számításának matematikai modelljét is.

24 Geometriai jellemzők a nedvesített szelvényterület a medertágulási tényező a víztükör szélessége a hidraulikus sugár nedvesített kerület, közelítőleg

25 A numerikus megoldás - Z i és Z i+1 a két ismeretlen. - A vízhozamok, a geometriai alakot jellemző adatok Z 0, B 0, P 0, A 0, m és a simasági tényezők adottak!) - Z i+1 -et Explicit formában nem lehet kifejezni. - A számítást a legalsó szakasznál kezdjük, ahol az alsó szelvény vízszintje Z i adott

26 Az iterációs képlet C az alsó szelvény adataiból közvetlenül számítható, szakaszonként az iteráció során változatlan állandó.

27 A fokozatos közelítés lépései a.) A legalsó szelvény adott Z i értéke alapján, vagy az előző szakasz számításának befejezése után, a szakasz ismert alsó szintje alapján számítjuk a C értékét. b.) Az i+1-ik szelvény szintjét megbecsüljük. Pl, első közelítésben Z i+1 = Z i. c.) Kiszámítjuk a Z i+1 -hez tartozó A i+1 és R i+1 értékeket a korábbiakban ismertetett módon. d.) A egyenletből kiszámítjuk az i+1-es szelvény vízszintjének közelítő értékét a Z i+1 -t.

28 A fokozatos közelítés lépései e.) Ha a b.) pontban feltételezett Z i+1 és a számított Z’ i+1 értéke egymástól csak egy megadott vízszinthibával (  ) tér el, vagyis, akkor a számítás az aktuális szakaszra befeje- zettnek tekinthető, és áttérhetünk a következő szakasz számítására. f.) Ha az előző pontbeli feltétel nem teljesül, akkor az újonnan számított Z’ i+1 -el a c.) ponttól kezdve ismételjük meg a számítást. Ezt a folyamatot addig ismételjük, míg az eltérés a megadott hibakorlátnál kisebb nem lesz. g.) Ezt az iterációs folyamatot ismételjük, amíg vala-mennyi  x szakaszra el nem végeztük a számítást


Letölteni ppt "NUMERIKUS MÓDSZEREK II Permanens felszíngörbe számítás prizmatikus és természetes medrekben."

Hasonló előadás


Google Hirdetések