Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika."— Előadás másolata:

1 Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika

2 Másodfokú egyenletek Bevezetés 1.Másodfokú függvények a)alapfüggvényalapfüggvény b)általános alakáltalános alak c)kiegészítés teljes négyzettékiegészítés teljes négyzetté d)transzformációktranszformációk 2.Másodfokú egyenlet megoldása a)általános alakáltalános alak b)grafikus megoldás c)különleges esetekkülönleges esetek d)diszkrimináns fogalom, példák jelentése e)megoldóképlet levezetés használat Gyöktényezős alakGyöktényezős alak 4.Viéte formulák Paraméteres egyenletek Másodfokúra redukálható egyenletek FeladatgyűjteményFeladatgyűjtemény Tartalomjegyzék

3 Másodfokú egyenletek Másodfokú egyenletek alkalmazásával számos feladat és gyakorlati probléma megoldható. A Mezopotániában Kr. E táján kiégetett ékírásos agyagtáblák alapján megállapítható, hogy abban az időben már nagy biztonsággal oldották meg ezeket a faladattípusokat. Ebből az időből származik a következő feladat Bevezetés A feladatban szereplő négyzetoldalt x-szel jelölve, a következő egyenletet kapjuk eredményül:     

4 Másodfokú egyenletek Másodfokú függvények Az olyan függvényt, amelyben a független változó az x a második hatványon szerepel, másodfokú függvénynek nevezzük. Fogalom: Az alapfüggvény: f(x) = x 2 Alapfüggvény Jellemzés: ÉT: x R ÉK: y0 Képe: parabola, ehhez viszonyítjuk a többi másodfokú függvényt Menete: x=0-ig szigorúan monoton csökkenő, x=0-tól szigorúan monoton növekvő Zérushelye: x=0 Szélsőértéke: minimum x=0 helyen y=0. Paritása: páros Korlátosság: alulról korlátos Folytonos a függvény Grafikon

5 Másodfokú egyenletek Másodfokú függvények Általános alak: A másodfokú függvény általános alakja: f(x) = ax 2 +bx+c, ahol a, b, c R, de a 0 Az ilyen típusú függvények a teljes négyzetté kiegészítés módszerével a következő alakra hozhatók: f(x) = a(x - u) 2 +v, ahol a, u, v R, de a 0 Minden másodfokú függvény képe parabola, amelynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Csúcspontja: C(u;v) Általános alak

6 Másodfokú egyenletek Példa 1. Másodfokú kifejezések Kiegészítés teljes négyzetté

7 Másodfokú egyenletek x tengely mentén u-val, y tengely mentén v-vel tolódik el; ha a >1, akkor nyúlik; ha 0 < a < 1, akkor zsugorodik az y tengely mentén; ha a < 0, akkor tükröződik az x tengelyre Az y = (x-1) 2 függvény Az y = x 2 -2 függvény Másodfokú függvények Transzformáció

8 Másodfokú egyenletek Megoldás Általános alak: Általános alakra hozás: Az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakja: ax 2 + bx + c = 0, ahol az a, b, c adott valós számok, és a 0 Az egyenletet mindig ax 2 + bx + c = 0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z + (megfelelő beszorzással szabadulunk a tizedes számoktól Általános alak

9 Másodfokú egyenletek Ha az egyenlet ún. nullára redukált alakú, akkor a baloldalt az ismeretlen függvényének tekintjük. A függvényt teljes négyzetté alakítjuk: f(x) = a(x - u ) 2 + v Az így kapott alakot transzformációs lépések segítségével ábrázoljuk koordináta-rendszerben. Ahol a grafikon metszi vagy érinti az x tengelyt, az lesz a zérushely. A zérushelyek adják a megoldást. Ha nincs zérushely, akkor nincs megoldás sem. Megoldás Megoldás: x = -1 és x = -3 x 2 + 4x = -3 x 2 + 4x + 3 =0 f(x) = x 2 + 4x + 3 f(x) = (x +2) Példa Grafikus megoldás 1. módszer

10 Másodfokú egyenletek Ennek a módszernek lényege, hogy a másodfokú egyenletet olyan alakra hozzuk, hogy az egyenlet egyik oldalán a másodfokú tag (x 2 ) szerepeljen, a másik oldalon pedig az elsőfokú tag a konstans taggal (számmal). Az egyenlet bal oldalán levő másodfokú függvényt, és a jobb oldalon levő elsőfokú függvényt ábrázolva megkeressük a két függvény metszéspontját. (lehet 0; 1 vagy 2 metszéspont). Ezek a metszéspontok lesznek az egyenlet megoldásai. Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Példa x 2 - x - 2 =0 x 2 =x +2 f(x) = x 2 g(x) =x +2 Megoldás: x = -1 és x = 2

11 Másodfokú egyenletek Megoldás Grafikus megoldás Feladat 1. módszer Oldd meg grafikusan (mindkét módszerrel) az alábbi egyenletet: Megoldás:

12 Másodfokú egyenletek Megoldás Grafikus megoldás 2. módszer Megoldás: g f

13 Másodfokú egyenletek Konstans tag nélküli másodfokú egyenlet Különleges esetek Megoldás Példa Megoldás Példa Megoldás Tiszta másodfokú egyenlet

14 Másodfokú egyenletek Példák a)4x 2 - 5x + 3 = 0 b)x 2 - 5x + 6 = 2 x 2 - 5x + 4 = 0 c)x 2 - 4x + 4 = 0 Az egyenletet mindig ax 2 + bx + c =0 alakra hozzuk, ahol a > 0 (ezt -1-gyel való szorzással mindig elérhetjük) és a Z + (megfelelő beszorzással szabadulunk meg a tizedes számoktól). A b 2 - 4ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük és D-vel jelöljük. Megoldás Diszkrimináns

15 Másodfokú egyenletek Jelentés A diszkriminánstól függ, hogy a másodfokú egyenletnek hány megoldása lehet a valós számok körében. Az ax 2 + bx + c = 0 (a 0) másodfokú egyenletnek: –két valós van, ha D = b 2 - 4ac > 0 –egy valós van, ha D = b 2 - 4ac < 0 –nincs valós gyöke, ha D = b 2 - 4ac = 0 Megoldás Diszkrimináns

16 Másodfokú egyenletek Megoldás Diszkrimináns A másodfokú függvények képe, a hozzájuk tartozó egyenletek diszkriminánsa és az egyenletek gyökei közötti kapcsolat két valós gyök egy valós gyök nincs valós gyök D>0D=0D<0

17 Másodfokú egyenletek Megoldóképlet levezetése A másodfokú egyenlet megoldóképlete: Bizonyítás Mivel, oszthatjuk az egyenlet mindkét oldalát vele, majd vigyük át a konstanst a jobb oldalra és adjunk mindkét oldalhoz -tet. A bal oldalon teljes négyzet áll: A jobb oldali tört előjele a számlálójától függ, jelöljük ezt D-vel. Ha D < 0, akkor az egyenletnek nincs valós megoldása. Megoldás Megoldóképlet

18 Másodfokú egyenletek Ha D = 0, akkor a jobb oldalon 0 áll, így egy megoldás van, az Ha D > 0, akkor két lehetőség van: Ezekből: Ezzel az állítást bebizonyítottuk. vagy Megoldás Megoldóképlet

19 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák -25 < 0, tehát nincs valós gyöke Megoldás

20 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Megoldás -39 < 0, tehát nincs valós gyöke, tehát nincs valós gyöke Megoldás

21 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Megoldás -45 < 0, tehát nincs valós gyöke

22 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Megoldás

23 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák

24 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Ha két brigád együtt dolgozik, akkor a munkával 14 nap alatt készülnek el. Ha csak egy brigád dolgozik, akkor az elsőnek 8 nappal többre van szüksége, mint a másiknak. Hány napig tart a munka külön-külön mindegyik brigádnak? Megoldás A második brigád x nap alatt készül el a munkával, az első x + 8 nap alatt. Egy nap alatt az első brigád a munka részét, a második pedig részét végzi el A két brigád együtt naponta a munka részét végzi el. 14 nap alatt elkészül a munka, tehát az egész munka részével egyenlő az egynapi munka

25 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák A feladat megoldása tehát: Az első brigád 32,56 nap, a második brigád pedig 24,56 nap alatt végzi el a munkát

26 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Egy derékszögű háromszög két befogójának aránya 3 : 4. Milyen hosszúak a befogók, ha az átfogó 100 cm? Megoldás 100 a = 3x b = 4x

27 Másodfokú egyenletek Megoldás Példák Mennyi idő alatt esik le 200 m magasból egy kő? Megoldás A levegő ellenállását nem vesszük figyelembe; a mozgás szabad mozgás esés: s = 200m; g = 10 m/s 2; Tehát a kő 6,3 másodperc alatt érkezik le.

28 Másodfokú egyenletek A gyöktényezős alak Azalakot a másodfokú egyenlet gyöktényezős alakjának nevezzük. 1. példa 2. példa Alakítsuk szorzattá a 2x 2 – 3x – 2 polinomot 1. Megkeressük a 2x 2 – 3x – 2 = 0 egyenlet gyökeit. Gyöktényezős alak Példák

29 Másodfokú egyenletek Viéte-féle formulák Az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között fennállnak a következő összefüggések: Ezeket az összefüggéseket Viéte-féle formuláknak nevezzük. Viéte formulák 1. példa A valós számok halmazán adott az x 2 + x - 6 = 0 egyenlet. A gyökök kiszámítása nélkül határozza meg a gyökeinek a négyzetösszegét! Példák

30 Másodfokú egyenletek Viéte-féle formulák Példák 2. példa Adja meg azt a másodfokú egyenletet, amelynek gyökei: Megoldás:

31 Másodfokú egyenletek Paraméteres egyenletek Példák 1. példa Állapítsa meg a c értékét az x 2 - 4x + c =0 egyenletben úgy, hogy a másodfokú egyenlet egyik gyöke a másik négyszerese legyen. Megoldás Viéte formulákból következik: A feladatból következik: Akkor:

32 Másodfokú egyenletek Paraméteres egyenletek Példák 2. példa Határozza meg a c paraméter értékét úgy, hogy a 2x 2 -4x +c =0 másodfokú egyenletnek két pozitív gyöke legyen! Megoldás Az egyenletnek akkor lesz két valós gyöke, ha: Másik oldalról a Viéte formulák alapján: Mindkét gyök akkor és csak akkor lesz pozitív, ha a gyökök összege és szorzata pozitív. A felírt összefüggések szerint az összeg pozitív, a szorzat pedig akkor lesz pozitív, ha: Tehát az egyenletnek akkor lesz mindkét gyöke pozitív, ha

33 Másodfokú egyenletek Másodfokúra redukálható egyenletek Megoldás Általános alak: Megoldás: Példa 1 Ismeretlennek x n -t választjuk, és meghatározása után már csak tiszta n-ed fokú egyenletet kell megoldanunk.

34 Másodfokú egyenletek Másodfokúra redukálható egyenletek Példa Példa 2

35 Másodfokú egyenletek Feladatokhoz kattints ide!!!

36 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldásx = 0 és x = 7 Megoldásx = 0 és x = - 4 Megoldásx = 2 és x = - 2 Megoldás Nincs megoldás Megoldásy= 7 és y = - 7 Megoldásx = 3 és x = 0,2 Megoldásx = 2,5 és x = 1,75 Megoldásx = 1 és x = - 6 Tovább

37 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Oldd meg az egyenletek a valós számok halmazán! Megoldásx = 0 és x = 0,4 Megoldásx = 1 és x = 0,5 Megoldásx = 5 és x = - 5 Megoldás (2 – 3x)(x – 1) Megoldás(x – 3)(2x + 1) Megoldás2(x – 3)(x + 1) Bontsd fel elsőfokú tényezők szorzatára a polinomokat! Tovább

38 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Add meg a következő gyökök másodfokú egyenletét gyöktényezős alakban! Megoldás(x – 3)(x – 7) = 0 Megoldás (x + 2)(x – 10) = 0 Megoldás - 1 Megoldás 29 Mennyi az Mennyi a egyenlet valós gyökei reciprokának az összege? egyenlet valós gyökeinek a négyzetösszege? Tovább

39 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Két szomszédos egész szám négyzetének a különbsége 51. Melyek ezek a számok? Megoldás- 26 és -25 A labdarúgó-bajnokság őszi és tavaszi fordulójában összesen 306 mérkőzést játszottak a csapatok. Hány csapat mérkőzött? MegoldásAz egyenlet: x(x – 1) =306; 18 csapat mérkőzött. 630 facsemetét két négyzet alakú parcellába akartak ültetni. Az egyik négyzet oldala mentén 5 fával kevesebbet ültettek, mint a másik mentén, és így 5 csemete megmaradt. Hány fát ültettek egy-egy parcellába? MegoldásAz egyenlet: x 2 + (x – 5) 2 = 625; 400 és 225 fát ültettek Egy szabályos sokszögnek 54 átlója van. Mekkora a sokszög egy szöge? Megoldás 150° Tovább

40 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Egy víztároló két csövön át 18 óra alatt telik meg. Ha a víz csak egy csövön át folyik, akkor a második csövön át 15 órával több idő alatt telik meg, mint az első csövön át. Hány óra alatt tölti meg a víztárolót külön-külön mindegyik cső? MegoldásElső cső 30 óra, második cső 45 óra alatt tölti meg a víztárolót Állapítsa meg m értékét az x 2 - 5x + m =0 egyenletben úgy, hogy az egyik gyök 6-tal nagyobb legyen, mint a másik. Megoldás A p valós paraméter mely értékei mellett lesz az x 2 + px +3 = 0 egyenlet gyökeinek a)különbsége 2; b)négyzetösszege 19 a) Megoldás b) Megoldás Tovább

41 Másodfokú egyenletek Feladatgyűjtemény Oldja meg a következő egyenleteket a való számok halmazán. a) Megoldás 1; -1; 0,25; -0,25 b) Megoldás1; -1; c) Megoldás2; -1; Az m paraméter mely értékeire van az alábbi egyenletnek két különböző valós gyöke Megoldás


Letölteni ppt "Másodfokú egyenletek Készítette: Orémusz Angelika."

Hasonló előadás


Google Hirdetések