Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

Az előadások a következő témára: "Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I"— Előadás másolata:

1 Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I
Fuzzy alapfogalmak Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Takács Márta

2 A fuzzy szó jelentése Elmosódott határokkal rendelkező homályos,
határozatlan, pontatlan, változékony, … véletlen, nehezen meghatározható, nem pontos, nem szabatos Bizonytalan Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

3 A bizonytalanság okai hiányzó információ túl sok információ
egymásnak ellentmondó információ pontatlan információ kétértelműség, félreérthetőség Kvalitatív leírás Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

4 A fuzzy logika és a fuzzy halmazok elmélete
Kezeli a a kétértelműségből (ambiguity), pontatlanságból (imprecision), illetve az információhiányból fakadó bizonytalanságot matematikai eszközökkel. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

5 Történeti áttekintés £UKASIEWICZ többértékű logikája
később megszámlálhatatlan végtelen értékre is általánosítottak Operációkutatási eredmények L. A. ZADEH berkeley-i professzor ötlete volt - felvetette rendszerelméleti munkáiban a fuzzy halmazelmélet szükségességét. Az 1965-ben megjelent Fuzzy Sets c. tanulmánya Az első időszak egyik lényeges alkalmazási sikét a MAMDANI-módszer jelentette. Az 1984-ben megalakult Fuzzy Rendszerek- Nemzetközi Szövetség (IFSA) a legkomolyabb fuzzy matematika eredmények döntő többsége Európában született Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

6 Alkalmazási területek
1987-ben már: irányítási területeken, számítógépes látás témájában ipari és háztartási elektronikai berendezésekben való alkalmazás Orvos-biológia Kockázatkezelés fuzzy logikát követve más szubszimbolikus mesterséges intelligens módszerek is megjelentek:mesterséges neurális hálózatok, evolúciós programok, genetikus algoritmusok, kaotikus rendszerek, stb. Ezen területek gyakran kombinálódnak is és együttesen a lágy számítástudomány (Soft Computing) megnevezés alatt ismertek. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

7 Fuzzy halmazok Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

8 Halmazelméleti fogalmak
X klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműen el lehet (kell) dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. Alapfogalmak: x  X, x  X, A X, A = B,  üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X). Műveletek : A B, A \ B, A  B, A Műveletek tulajdonságai: kommutativitás (A  B = B  A); asszociativitás (A (B  C) = (A  B)  C); disztributivitás (A  (B  C) = (A  B)  (A  C)); idempotencia (A  A = A); egységelem létezése (A   = A, A  X = A); az ellentmondás elve(A  A = ); De Morgan szabály … Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

9 Fuzzy-Halmazelméleti fogalmak
X klasszikus halmaz (crisp set): minden dologról egyértelműen el lehet (kell) dönteni, hogy hozzá tartozik-e vagy sem. A halmaz élei nem élesek, … Alapfogalmak? x  X, x  X, A X, A = B,  üres halmaz ; X hatványhalmaza P(X). Műveletek ? : A B, A \ B, A  B, A Műveletek tulajdonságai ? : Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

10 Karakterisztikus függvény
Egy adott X halmaz bármely A részhalmazát egyértelműen azonosíthatjuk egy X 0,1 függvénnyel, az A karakterisztikus függvényével: Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

11 A halmazműveletek karakterisztikus függvényekkel leírt halmazokon
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

12 Tagsági függvény, fuzzy halmaz
Fuzzy halmazok: a halmazhoz tartozás és nemtartozás között fokozatos az átmenet. Ezt a tagsági függvény segítségével tudjuk leírni. A tagsági függvény a karakterisztikus függvény általánosítása Legyen X adott halmaz. Az X egy A fuzzy részhalmazát annak A(x): X[0,1] tagsági függvényével jellemezzük. Valamely xX esetén a A(x) szám azt fejezi ki, hogy x milyen mértékig tartozik hozzá az A fuzzy halmazhoz. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

13 További jelölések Egy X alaphalmaz fuzzy részhalmazainak összességét F(X) jelöli. Az egyszerűség kedvéért egy A fuzzy halmazt és annak tagsági függvényét is ugyanazzal az A szimbólummal jelöljük. Ha X = { x1 ,…, xn } véges halmaz és A egy fuzzy halmaz X-en, akkor az alábbi jelölés elterjedt az irodalomban: A= 1/x1+ 2/x n/xn ahol a i/xi ; i=1,…,n szimbólum azt fejezi ki, hogy i az xi tagsági értéke A-ban, a plusz jel pedig az uniót jelenti (lásd még: valószínűség-számítás, események összege). Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

14 Tagsági függvények leírása
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

15 Háromszög alakú fuzzy halmazok (trianguláris)
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

16 Fuzzy halmaz jellemzői tartó
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I supp(A) = { x X A(x)>0}

17 Fuzzy halmaz jellemzői mag
core(A) = { x X A(x)=1} Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

18 Fuzzy halmaz jellemzői  szinthalmaz
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

19 Fuzzy halmaz magassága, normális fuzzy halmaz
Egy A fuzzy halmaz h(A)-val jelölt magasságán a tagsági függvénye szuprémumát értjük: h(A) = supxXA(x) Egy A fuzzy halmazt normálisnak nevezünk, ha h(A) = 1. Ellenkező esetben (vagyis amikor h(A)<1) pedig szubnormálisnak. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I

20 Részhalmaz Definíció Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek, jelölésben A B, ha A(t)B(t) minden tX esetén. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

21 Egyenlőség Legyenek A és B fuzzy halmazok X-en. Azt mondjuk, hogy A egyenlő B-vel, jelölésben A =B, ha A(t) = B(t) minden tX esetén. A klasszikus esethez hasonlóan érvényesek az alábbiak (A és B fuzzy halmazok X-en): A = B pontosan akkor, ha AB és B A.  A. A X. Itt (x) = 0 minden xX esetén. Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

22 Gyakorlati feladat Rajzoljunk meg a fuzzy tagsági függvényeket a MATLAB-ban, majd a FUZZY toolbox-ban! Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I Fodor János (BMF NIK IMRI) Gépi intelligencia (bevezető előadás alapján)

23 Források Dr Fodor János: Gépi intelligencia I., előadás diák
Fuzzy rendszerek mérnöki megközelítésben I