Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája Krisztin Tibor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Szeged.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája Krisztin Tibor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Szeged."— Előadás másolata:

1 Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája Krisztin Tibor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Szeged

2 Megjósolható-e, jelezhető-e előre a jövő? Meg tudjuk-e mondani, hogy mi történik a a következő másodpercben? a következő órában? a következő évben? Van-e a természetnek egy rejtett rendje?

3 Első válasz …. IGEN! Törvényszerűségek, rendezettség, szimmetria fedezhetők fel … A tudomány a bennünket körülvevő világ rendjét, szerkezetét kutatja.

4 Hókristályok Az állatvilág

5 A bolygók mozgása

6 Galileo Galilei (1564 — 1642) Pisa Az elsők között ismerte fel mindezt „A természet nagy könyve a matematika nyelvén íródott.”

7 1600 Galilei az inga mozgását figyelve állapította meg az alábbiakat Az inga lengésideje állandó volt függetlenül attól, hogyan lökte meg hol lökte meg mikor lökte meg Matematikailag: kis kitérések esetén az inga mozgása közelítőleg egy harmonikus oszcillátor mozgása. Megjegyzés: Hatvani László [ Bolyai Intézet] és Bánhelyi Balázs, Csendes Tibor, Garay Barna bizonyították előszőr az ingamozgás kaotikusságát periodikus külső erő hatására.

8 Isaac Newton (1643 – 1727)

9 1686 Newton a Principia (A természetfilozófia matematikai alapelvei) című művében megmutatta, hogy az inga mozgása (és a klasszikus mechanika jelenségei) matematikai egyenletekkel, differenciálegyenletekkel írhatók le Az inga egyenlete

10 Az alapötlet …. Írjuk fel az adott fizikai jelenség egyenleteit Oldjuk meg az egyenleteket A megoldás alapján jósoljuk meg a fizikai jelenség jövőjét Működik ez?

11 Neptunusz: matematikai eszközökkel fedezték fel 1846-ban Newton gravitációs törvénye A tény, hogy egy bolygót pusztán papírral és ceruzával, számítások révén fel lehet fedezni, a newtoni teória (és a matematika) látványos bizonysága volt.

12 Időjárás előrejelzés Navier-Stokes egyenletek

13 Pierre-Simon de Laplace (1749 – 1827) ( „Ha ismernénk az univerzum minden atomjának a pontos helyzetét egy adott pillanatban, akkor az univerzum jövőjét előre tudnánk jelezni.” A véletlennek, a szabad akaratnak nincs szerepe ! „Isten nem kockajátékos” (Einstein)

14 Sok természeti és emberi jelenség véletlenszerűnek, előre jelezhetetlennek tűnik!! Milyen lesz a felhők alakja egy hét elteltével?

15 El Nino jelenség Az óceán hőmérsékletének változása Year Klímaváltozás

16 Tőzsdeindex

17 A komplex, bonyolult viselkedések oka az, hogy a természet legtöbb jelensége ténylegesen bonyolult és nem megmagyarázható a bonyolultság természetesen következik Newton törvényeiből ? vagy …….

18 Káosz elmélete Egyszerű szabályok, természeti törvények vezethetnek bonyolult és előre nem jelezhető viselkedéshez

19 Henri Poincaré (1854 – 1912) : a káosz felfedezője (

20 A város lakóinak száma az n. évben Van-e kapcsolat az idei lakosságszám és a következő évi lakosságszám között ? Előrejelezhető-e egy város népessége? Év Népesség

21 Thomas Malthus (1766 – 1834) a = 1 … lakók száma állandó marad a > 1 … népesség nő a < 1 … népesség csökken Születési/halálozási ráta

22 Probléma a>1 esetén: a szükséges források végessége Módosított modell Robert May (1938 -) Maximális népességszám Mit jelez előre ez az egyenlet?

23 a = 2, M = 1 egyetlen határérték

24 a = 3 két érték között oszcillál

25 a = érték között oszcillál

26 a = 4 káosz

27 Modell megalkotása: a probléma a matematika nyelvén lehetséges állapotok halmaza a jelenség törvényszerűségeit magában foglaló függvény kezdeti állapot (t=0 időpontban) - adott állapot 1 egységnyi idővel később (t=1-ben) állapot 2 egységnyi idővel később (t=2-ben) állapot a t=k időpontban Jövőbeli állapot előrejelzése: milyen x k nagy k esetén?

28 Példák: jelentése: az M=1 maximális népesség x-ed része a lakosság száma Az f függvény azt mondja meg, hogy egy x időjárási állapotból, hogyan számolhatók ki az időjárást jellemző adatok értékei a következő 1 percre. (Navier-Stokes egyenletek) elemei lehetnek az időjárást jellemző adatok: hőmérséklet, páratartalom, légnyomás, szél sebessége, szél iránya, stb.

29 T = [ 0,1] úgy, hogy a 0 és 1 azonosítva van, azaz T az 1 kerületű körvonal Ekkor Tehát g hatása a bináris alakra: a vessző utáni első jegyet töröljük, a többi egyet balra lép 3. g:T―›T definíciója: g(x) = {2x} = 2x (mod 1) ½10 x és y távolsága: az őket összekötő körívek közül a rövidebb T x y T-beli x bináris (2-es számrendszerbeli) alakja:

30 Hol fordul elő ilyen leképezés? Tésztagyúrás. Cél: a benne lévő anyagok minél teljesebb összekeveredése 201 Tészta, benne egy szem mazsolával nyújtás kétszeresére félbe vágjuk a két felet egymásra helyezzük nyújtás kétszeresére félbe vágjuk a két felet egymásra helyezzük A fenti lépéseket sokszor ismételjük. Jól elkeverednek-e az összetevők?

31 Ha, akkor Tehát x egy n-periodikus pont. Végtelen sok n-periodikus pont van. Bármely y-hoz akármilyen közel van periodikus pont. A periodikus pontok sűrűn vannak. SZABÁLYOSSÁG!

32 Egy érdekes tulajdonságú pont: Van sűrű pálya T-ben. Ekkor az sorozat minden T-beli pontot meglátogat (végtelen sokszor).

33 Érzékeny függés a kezdeti adatoktól Ha akkor és távolsága nagy (= ½). Ha x és y egy jelenség 2 közeli kezdeti adata, akkor a 2 közeli adatból bizonyos idő elteltével 2 nagyon eltérő állapotba juthatunk. PILLANGÓ EFFEKTUS! Nagy n esetén x és y közel vannak, de

34 Egy f: X―›X leképezés kaotikus, ha 1. a periodikus pontok sűrűn vannak X-ben, 2. f érzékenyen függ a kezdeti adatoktól, 3. van egy sűrű pálya. A g: X―›X leképezés kaotikus.

35 Ezen alapszik a következő tétel. Rend a káoszban

36 Kapcsolat g(x) = {2x} és f(x) = 4x(1-x) között Legyen Ekkor AzazKövetkezik, hogy f is kaotikus

37

38 Arnold macskája V.I. Arnold ( )

39 R. May egy 1976-os problémáját oldottuk meg (Bartha Ferenc és Garab Ábel tanítványimmal – a Radnóti volt diákjai) Röst Gergely (volt tanítványom, most kollégám) populációdinamikai, járványterjedési témával nyert ERC (European Reseach Coucil) Starting Grant támogatást (az első matematikus nyertes a Közép-Európai régióban) Megjegyzések:


Letölteni ppt "Megérthetjük-e a megjósolhatatlant? A káosz matematikája Krisztin Tibor Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet Szeged."

Hasonló előadás


Google Hirdetések