Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig.

Az előadások a következő témára: "Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig."— Előadás másolata:

1 Matematika és tapasztalat 2. A véletlentől a statisztikus világig

2 A matematika forradalma A tizenhetedik század során alapvető átalakuláson megy át a matematika –növekvő igények, egyre több diák –algebra terjedése –a hivatásos számolómesterek mellett megjelennek a pénzügyileg nem érdekelt „műkedvelők” –jellemző a különbség pl. Faulhaber és Descartes között

3 „Csoda” helyett rendszer Tipikus szemlélet: matematikai gyönyörök kertjének még le nem szakított kis virágocskái E helyett Descartes: pár szabály, feladatok tipizálása, a matematikai tudás, mint a bizonyossághoz vezető út.

4 A matematika mint hatalom A tudományos diskurzusban a matematika, az egzaktság retorikai előnyt is jelent –Newton: prizmakísérletiben fokperc pontossággal adja meg a prizmák törési szögeit, holott a kor prizmái nem mérhetők ilyen pontossággal, sőt, a Nap mozgása nagyságrendekkel nagyobb pontatlanság forrása Mindmáig „hat” ez a hozzáállás reklámokban, ismeretterjesztő munkákban, stb.

5 A statisztikus-valószínűségi gondolkodási stílus megjelenése Ma egészen természetes: reklámok, hírek, stb.  matematikai kultúránk alapvető része régen, pl. egy görög számára, teljesen ismeretlenek voltak az erre vonatkozó fogalmak egyfajta „gondolkodási stílus” (Ian Hacking): az újkorban jelent meg  új fogalmi lehetőségek „valószínűség” fogalma: kb. 1660-as évek statisztikus gondolkodás: 19. sz. első fele: alapos forradalom, átalakítva a 20. sz-i gondolkodást

6 A véletlen matematikájának születése Első kérdések (16. sz.): szerencsejátékok (Cardano) 1654: De Méré lovag kérdése Blaise Pascalhoz: osztozkodási probléma (megszakított játék) 7 levél Pascal és Pierre Fermat között: megteremtik a valószínűségszámítás klasszikus alapjait klasszikus megközelítés: ha egy játéknak m egyenlően valószínű kimenete van, és ebből n nyerő, akkor a nyerés valószínűsége n / m ezt aztán „tapasztalatilag” is igazolják: egy játék sokszori megismétlése azonos körülmények között

7 „Vizsgáljuk hát meg ezt a kérdést, és állapítsuk meg: »Vagy van Isten, vagy nincs.«… E végtelen távolság legvégén szerencsejáték folyik, s az eredmény fej vagy írás lesz. Melyikre fogad maga? … Mérlegeljük, mit nyerhet vagy veszíthet, ha fejre, vagyis arra fogad, hogy van Isten. Értékeljük ezt a két eshetőséget: ha nyer, mindent megnyer; ha veszít, semmit sem veszít… Minthogy egyforma a nyerés és vesztés esélye, még akkor is fogadhatna, ha csupán két életet nyerhetne egy ellen; ha pedig három életet nyerhetne, akkor már feltétlenül bele kellene mennie a játékba (hiszen úgyis kényszerítve van rá)… Ám itt az örök élet és az örök boldogság a tét… Így ez már nem is fogadás: ahol a végtelen forog kockán, és nem áll szemben végtelen számú vesztési esély a nyerési eséllyel, nincs helye a mérlegelésnek, mindent fel kell tennünk.” (Pascal: Gondolatok, 233.§)

8 Pascal valószínűségi istenérve Mire érdemes fogadni: van Isten vagy nincs? 1. fogadás: van 1/a: ha tényleg van, akkor végtelen a nyereség (üdv.) 1/b: ha nincs, akkor véges veszteség: tévedésben élek 2. fogadás: nincs 2/a: ha tényleg nincs, akkor véges nyereség: élvhajhászat 2/b: ha van, akkor végtelen veszteség: kárhozat Σ : végtelen nyereség / véges veszteség a véges nyereség / végtelen veszteséggel szemben  a hülyének is megéri Isten létére fogadni

9 A val.szám. korai története a Pascal-Fermat levelezés híre gyorsan terjed Christiaan Huygens, 1657: De Ratiociniis in Aleae Ludo Az alapok + 14 probléma megoldással (5 m. nélkül)  kb. 50 évre minden hasonló témájú munka alapjául szolgál Pepys Newtonhoz 1693. november 22 (29 évesen megtanul szorozni) –„A — 6 kockája van egy dobozban, amellyel egy hatost dob. –B — egy másik dobozban 12 kockája van, amellyel 2 hatost dob –C — egy másik dobozban 18 kockája van, amellyel 3 hatost dob –K[érdés]: egyforma szerencsét feltételezve B-nek és C-nek ugyanolyan könnyű dolga van-e mint A-nak?”[i][i] Newton elmagyarázta miért A-nak a legjobbak az esélyei és megadta Pepysnek egy 1000 fontos fogadás esetén a pontosan várható nyereményeket fontban, shilligben és pennyben.

10 Politikai és orvosi aritmetika egy másik vonal: halálozási adatok Jacob Bernoulli, 1713 (1690): Ars Conjectandi szerencsejátékok, halálozási jegyzékek + permutáció, kombináció, binomiális tétel, nagy számok törvénye Centralizált fellépés járványok ellen: ismertetők, táblázatok, karantének, pestisdoktorok –1662 John Graunt: Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality. London lakossága, katonaképes férfiak száma, legveszélyesebb betegségek, gyermekhalálozás.  fél évszázados adatsorok elrendezése, általános tanulságok  biztosítási matematika alapjai, adózás, statisztika, stb. –1720 James Jurin. Himlőoltás (himlős sebből emberi sebbe kenet). A Philosophical Transactions- ben és egyéb helyeken hirdetések – adatok, ki mit tud. Európaszerte sokan válaszolnak: milyen veszélyes az oltás 1: 90 vs.1: 7,5 –Később adótáblázatok, születési adatok használata is. Orvosoknál levelezési láncok –orvosi és betegadatok. Kórházi szülés (fogó), bábaiskolák

11 A valószinűségi érvelés 1710 John Arbuthnot „Argument for Divine Providence” –Londonban az ezt megelőző 82 évben mindig több fiú született, mint lány. –Egyenlő esély feltételezése esetén ennek a valószínűsége 1/(2^82) –Ez olyan kicsi szám, hogy minden bizonnyal a gondviselés a felelős ez a reductio ad absurdum érvelési forma elterjed

12 Georges-Louis de Buffon Hogy a hat bolygó mind egy irányban kering: 1/2 6, vagyis 1/64. Ez valószinűtlen, így valószínű, hogy Buffon üstököselmélete helyes (ez szakította ki a napból a bolygókat) Matematika bizonyosság (nincs bizonytalanság) Morális bizonyosság (1/10 000 a tévedés val.) Fizikai bizonyosság: ki kell számolni!! –pl. mi az esélye, hogy egy 56 éves férfi meghal a következő 24 órában?

13 A napfelkelte valószinűsége 1777 Essai d’arithmétique morale –Gondolatkísérlet – felnőtt minden korábbi érzékelés nélkül –Meglátja a napot, az azonban eltűnik –Milyen biztos abban, hogy újra fogja látni? ½ –Ahogyan telnek a napok egyre több adata van, egyre bizonyosabb, hogy újra fel fog kelni a nap –6000 év alatt 2 190 000-szer (n) látta –a valószínűség, hogy újra látja: 2 n-1 az 1-hez.

14 A véletlen a 18. században Csak egy puszta szó, de semmit sem jelent De Moivre, 1738 (1711, 1756): Az esélyek tana „A véletlen szónak esztétikai értéke van, de különben minden jelentést nélkülöz. A létezés semmilyen módozatával nem áll kapcsolatban, sem magával a létezéssel, sem pedig a nemlétezéssel; sem meghatározni, sem megérteni nem lehet, és nem lehetséges a rá vonatkozó kijelentéseket sem igazolni, sem cáfolni, kivéve ezt: ‘Ez nem több, mint egy puszta szó.’” David Hume, 1739: Értekezés az emberi természetről „Általánosan elfogadott, hogy semmi sem létezik ok nélkül, és a véletlen, ha szigorúan megvizsgáljuk, egy pusztán negatív szó, és semmi olyan valódi erőt nem jelent, amely bárhol is létezne a természetben.”  a determinisztikus világban nincs helye

15 A statisztikai forradalom P.-S. Laplace, 1814: Filozófiai értekezés a valószínűségről „Minden esemény, még ha olyan jelentéktelen is, hogy látszólag nem követi a természet törvényeit, valójában ugyanolyan pontossággal következik belőlük, mint a nap keringései.”  nála az észlelési hibák kezelésére kell a val.szám.: a dolog a tudatlanságunk mértékével áll kapcsolatban C.S. Peirce, 1893: „Válasz a szükségszerűség híveinek” „A véletlen beszivárog az érzékelés minden útján: minden dolgok közül ez a legszembeötlőbb. A legnyilvánvalóbb szellemi meglátásunk az, hogy a véletlen abszolút. Hogy létező, élő és tudatos – ezt még a racionalitás unalmas önképének is aligha van mersze tagadni.” Hát elég sok minden történt a közben eltelt időben...

16 „Statisztika” a szó eredeti jelentése: olyan adatgyűjtés, amely az állam politikai és gazdasági érdekeit szolgálja Poroszország, 18. sz.: központi statisztikai hivatal  korábbi népszámlálások: gyarmati kolóniák (16. sz-tól) Félig öncélú adatgyűjtés (Leibniz): emberek száma nem szerint, társadalmi rang szerint, fegyverviselésre képes férfiak száma, házasságképes nők száma, népességsűrűség és - eloszlás, gyermekhalandóság, várható élettartam, betegségek eloszlása, halálozási okok, stb. (56 kategória)  átfogó és részletes népszámlálások (egyre több kategória) 1733: az adatokat titkosítják (az ellenségnek segítség) század második fele: a statisztika amatőr hobbi lesz, majd sorra jönnek létre a helyi statisztikai intézetek

17 „Statisztikus” törvények Kell hozzá rengeteg adat: Napóleon államszervezete iszonytató mennyiségűt produkál Kell hozzá a társadalmi törvény fogalma: a francia Felvilágosodás racionalista hagyományában  a természetet a természet törvényei, az emberi természetet saját törvényei igazgatják Kell hozzá egy induktivista szemlélet: adatokból általánosítás programja  „törvények” + a matematika alkalmazása: Laplace és Gauss: a hibák „normál-eloszlást” mutatnak  sok társadalmi adat is  az „emberi természet” fogalmát felváltja a „normális ember” fogalma

18 Néhány alkalmazás Orvostudomány: statisztikus betegség- törvények Egy brit bizottság, 1825: „Megállapítható a betegség mennyisége, melyet egy átlagos egyén évente átél 20 és 70 éves kora között.” Empirikus szociológia születése Pl. öngyilkossági adatok (orvosok gyűjtik, mert az őrültség egy fajtája)  az életszínvonal számszerű indikátora Bűnüldözés: a bűnözési statisztikák meglepő állandósága  a törvényalkotásnál is figyelembe kell venni a devianciát Bíróságok összetétele Condorcet, Laplace: a bírósági tévedés valószínűségének a priori meghatározása (pl. 7-5 arányú döntés: 1/4 a tévedés esélye)  statisztikai adatok: biztosabbá teszik a képet

19 „Számokba fojtva” Charles Babbage, 1832: „ Pillanatnyilag a legszükségesebb, kollektív erőfeszítéséket igénylő tudomány, amely a legtöbb hasznot fogja hozni… az, amelyet úgy kellene nevezni, hogy ‘A természet és a művészet állandói’. Ennek kell tartalmaznia mindazokat a tényeket, melyek számokkal kifejezhetők.” Babbage 19 állandó-kategóriája: Naprendszer állandói; atomsúlyok; fémek adatai; optikai tulajdonságok; állatfajok számai; emlősök adatai; emberek adatai; emberek munkavégző- képessége; növények; földrajzi eloszlások; légköri jelenségek; anyagok; sebességek (pl. madarak, nyíl, fény); földrajzi adatok; népességek; épületek; súlyok és mértékek; betűk előfordulásai különböző nyelvekben; könyvtári könyvek, egyetemi hallgatók, intézeti dolgozók, stb. száma

20 A mérték és mérés világa Az egész világ számokban kifejezhető Figyelem: ez nagyon messze van akár a 17. sz. geometriai felfogásától!!!  mérés, mérték alapvető 18. sz.: rengeteg különböző mértékrendszer (pl. Franciaország: kb. 800, összesen kb. 250000 variánssal (?)) 1790: Súly- és Mértékügyi Bizottság (Lagrange, stb.)  SI a fizikai világ számszerű viszonyai matematikai viszonyokkal visszaadhatók, pl: (testek, könnyebb, additivitás — valós számok, kisebb, összeadás)  a kettő között  homomorfizmus

21 A statisztikus perspektíva A számokba fojtott világ statisztikailag értelmezhető: nemcsak szociológia, kriminológia, stb, hanem statisztikus fizika: Maxwell, Boltzmann az „atomok társadalma” segítségével újraértelmezi a klasszikus fizikai fogalmakat evolúcióelmélet stb… 20. sz.: kvantumfizika  a világ eleve nem determinisztikus

22 Az ember mérése Szemben a szimmetriaviszonyok, stb. mérésével (ld. Dürer) – a tizenkilencedik század az emberi teljesítményt (is)kezdte kvantifikálni –gyárak (munkaidő, teljesítmény, táplálék) –megfigyelések pontossága (obszervatóriumok, stb.)

23 Reakcióidő-mérés 1796 Newill Maskellyne királyi csillagász kirúgja segédét, mert 800 msec-es késéssel jelezte a csillagok áthaladását a greenwichi obszervatórium felett –„az áthaladás megítélésén múlt a greenwichi óra működése, az óra működésétől függött a hosszúsági fokok beállítása, s a hosszúsági fokoktól függött a Brit birodalom”

24 Bessel, 1820 Csillagászok leolvasási idejeinek szisztematikus összevetése: szisztematikus eltérések –személyi egyenlet: A-S=0,202 (Algerander átlagosan 0,202 mp-vel később látta az áthaladást, mint Strube) –De mi volt a valódi áthaladás? Nincs „biztos pont”

25 A kronoszkóp / kronográf Mesterséges „időgenerálás” csillagáthaladások mesterséges modellhelyzetei de ki kell zárni az egyéb hatásokat (ezek növelik a reakcióidőt és a készülék maga is hangot ad…) személy-egyenlet, hangszigetelő fülke – a kísérleti pszichofizika megszületik

26 Irodalom Ian Hacking : The Emergence of Probability. Ian Hacking : The Taming of Chance. Loveland, J. Buffon, the Certainty of Sunrise, and the Probabilistic Reductio ad Absurdum. Arch. Hist. Exact Sci. 2001 (55) 465-477 Pléh Csaba. A lélektan története. 2000. Osiris