Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon

Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák.

Hasonló előadás


Az előadások a következő témára: "Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák."— Előadás másolata:

1 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák Ottó mestertanár Általános- és Felsőgeodézia Tanszék

2 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 2 A bemutató vázlata Bemutatkozás, a konzultáció célja Tapasztalatok a matematika középiskolai oktatásáról A középiskolai tananyag vázlatos és gyors áttekintés A Matematika Tanszék mintadolgozatának megoldása További mintapéldák megoldása Tanácsok a matematika tanulásához

3 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 3 Bemutatkozás Deák Ottó mestertanár, BME Építőmérnöki Kar, Általános- és Felsőgeodézia Tanszék ELTE TTK Matematikus diploma 33 év egyetemi oktatói tapasztalat Kb. 40 év matematika korrepetálás középiskolásoknak Az I. évf. 13. tankör osztályfőnöke a 2012/2013. tanévben Segítőim az évfolyam mentorai (diák patrónusai) Letöltés:

4 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 4 Tapasztalatok I. A BME-n a matematika kiemelt fontosságú alaptárgy –A felvételin döntő jelentősége van –Minden műszaki szaktárgy rá épül –Alapkészségeket és gondolkodásmódot tanít –Az egyik első szűrő a mérnökké válás folyamatában Szerepe és súlya a középiskolában –Megnövekedett tananyag –Csökkenő követelmények –Az érettségi szerepe a tudás kontrolljában

5 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 5 Tapasztalatok II. Az elmúlt évek tapasztalata az egyetemi oktatásban: –egyre alacsonyabb szintű matematika-ismeretekkel érkeznek a hallgatók az I. évre; –a lexikális ismeretek nagy része hiányzik („benne van a függvény-táblában”!); –gyenge számolási készség (számológépek használata); –a feladat-megoldási rutin hiánya (időhiány, más elfoglaltság miatt); –a felvételinél nem követelmény az emelt szintű matematika érettségi.

6 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 6 Következmények Az előbb felsorolt tényezők hatása az egyetemi oktatásra: –az alapozó tárgyakban magas bukási arány; –az egyetemen gyakran középiskolai anyagot is tanítani kell; –a nem kimondottan matek-alapú tárgyakban is nagy lemorzsolódás (pl. geodézia). Védekezési mechanizmusok az egyetem részéről: –matematika-felmérő íratása; –felzárkóztató matematika-oktatás (középiskolás anyag megtanítása).

7 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 7 Matematika összefoglaló Tematikus összeállítás A középiskolai tananyag fontos fejezetei Alapfogalmak, definíciók, főbb képletek, fontos tételek Nem pótolja a tankönyveket! Szerepe: –gondolatébresztés, –hiány-feltárás, –figyelmeztetés

8 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 8 Matematikai jelölések az anyagban Szimbolikus jelölések az anyagban: – : a megadott értékek közelítően egyenlőek – : minden olyan elem, amely… – : létezik olyan elem, amely… – : az előzőekből következik – : eleme a magadott halmaznak – : nem eleme a halmaznak – : a megadott halmaz részhalmaza (valódi) – : halmazok egyesítése (uniója) – : halmazok közös része (metszete) – : a megadott elemek összege

9 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 9 Algebrai kifejezések I. Algebrai kifejezés fogalma, elemei –Számok –Változók –Paraméterek –Műveleti jelek –Zárójelek Számok a kifejezésekben, számítási élesség –Természetes számok –Egész számok –Racionális számok –Valós számok (irracionális szám fogalmával)

10 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 10 Algebrai kifejezések II. Műveletek algebrai kifejezésekkel –Zárójelek szerepe, felbontása –Racionális kifejezések, műveletek törtekkel –Kiemelés, összevonás, egynemű kifejezés fogalma –Fontosabb algebrai azonosságok

11 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 11 Hatványozás Ismételt szorzás, egyszerűbb jelölés Azonosságok a definíció alapján, kiterjesztése

12 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 12 Gyökvonás Négyzetgyök, n-dik gyök fogalma Műveletek gyökös kifejezésekkel

13 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 13 Törtek gyöktelenítése Azonos átalakítások, a tört értéke nem változik

14 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 14 Oszthatóság I. Az egész számok körében értelmezzük: –Osztandó, osztó, hányados, maradék fogalma –Maradék nélküli és maradékos osztás –Összetett és prím szám Az algebra alaptétele Minden egész szám (sorrendtől eltekintve) egyértelműen bontható fel prímszámok szorzatára Prímfelbontás előállítása Legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

15 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 15 Oszthatóság II. Oszthatósági szabályok –2: páros számok –3: számjegyek összege osztható 3-mal –4: utolsó két jegy osztható 4-gyel –5: utolsó számjegy 0 vagy 5 –6: páros és osztható 3-mal –7: 3-as csoportok váltakozó előjelű összege osztható 7-tel –8: utolsó három jegye osztható 8-cal –9: számjegyek összege osztható 9-cel –10: utolsó jegye 0 –11: páros helyiérték összege – páratlan helyiérték összege osztható 11-gyel

16 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 16 Függvények I. Kapcsolat 2 halmaz elemei között Általában számhalmazok közötti művelet –Alaphalmaz, képhalmaz –Értelmezési tartomány D f  A, azon A-beli pontok halmaza, ahol az f értelmezhető –Értékkészlet R f  B, azon B-beli pontok halmaza, amelyeket az f az R f -beli pontokban felvesz értékként Függvény inverze (megfordítása)

17 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 17 Függvények II. Függvények tulajdonságai –Monotonitás Szigorúan monoton növő, monoton növő Szigorúan monoton fogyó, monoton fogyó –Korlátosság Felülről korlátos Alulról korlátos Korlátos

18 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 18 Függvények III. Függvények tulajdonságai –Paritás Páros Páratlan –Határérték –Folytonosság Az függvény folytonos az pontban, ha, –Periodikusság

19 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 19 Függvények IV. Függvények megjelenítése, grafikonja Függvények megadása –táblázattal –kifejezéssel –egyenlettel –grafikonnal

20 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 20 Függvények V. Függvények transzformációja –f(λ·x)- széthúzás λ-szorosra az X tengely irányába –f(x+a)- eltolás balra a-val az X tengely irányába –c·f(x)- széthúzás c-szeresre az Y tengely irányába –f(x) + t- eltolás t-vel az Y tengely irányába

21 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 21 Elemi függvények Tulajdonságok ismerete: a korábbi fogalmak értelmezése az adott függvényre Fontosabb függvények: –Konstans függvény; –Lineáris függvény; –Abszolutérték függvény; –Másodfokú (parabola) függvény; –Egészrész, törtrész függvény; –Lineáris törtfüggvény; –Logaritmikus, exponenciális függvények; –Trigonometrikus függvények.

22 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 22 Elsőfokú (lineáris) egyenletek Olyan algebrai kifejezések, amelyeket = jel kapcsol össze, és benne betűvel jelzett mennyiségek is szerepelnek. Ezek lehetnek paraméterek és ismeretlenek is. Az egyenlet megoldása az ismeretlen(ek) azon értékének meghatározása, amelyeket az egyenletbe helyettesítve, az egyenlőség két oldala azonosságot fejez ki. A megoldást a mérleg-elv segítségével kapjuk meg (mi az?).

23 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 23 Lineáris egyenlőtlenségek Megoldásuk: mint az egyenleteknél Eltérés: ha negatív számmal osztunk vagy szorzunk, az egyenlőtlenség iránya megváltozik A megoldás általában egy halmaz (intervallum)

24 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 24 Többismeretlenes egyenletek Megoldási módszerek: –kiküszöböléssel –helyettesítéssel Lehetnek ellentmondásosak (nincs megoldásuk) vagy összefüggőek (végtelen sok megoldásuk van).

25 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 25 Másodfokú egyenletek Általános alakjuk: Megoldásukhoz a mérleg-elv nem elegendő Megoldóképlet: Összefüggések (Viéte-formulák, gyöktényező):

26 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 26 Exponenciális egyenletek Az ismeretlen a kitevőben található Azonosságok használatával: –átalakítás alakra, amiből az fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; –új ismeretlen bevezetésével visszavezetés másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

27 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 27 Logaritmikus egyenletek Az ismeretlen a logaritmus alatt található Azonosságok használatával: –átalakítás alakra, amiből a fv szigorúan monoton tulajdonsága miatt következik, ami megoldható; –új ismeretlen bevezetésével visszavezetés első- vagy másodfokú egyenletre, aminek megoldása után kapjuk meg az eredeti egyenlet gyökeit.

28 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 28 Szögfüggvények I. Derékszögű háromszögekben értelmezzük Néhány elemi összefüggés:

29 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 29 Szögfüggvények II. Addíciós azonosságok: Kétszeres szögek: Egyszerű átalakítások:

30 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 30 Szögfüggvények III. További összefüggések:

31 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 31 Trigonometrikus egyenletek Megoldásukhoz használni kell a trigonometrikus azonosságokat! Az egyenletet átalakítjuk, hogy csak egy szögfüggvény szerepeljen benne. A kapott egyenletet megoldjuk vagy visszavezetjük új ismeretlen bevezetésével másodfokú egyenletre. A megoldás értelmezése: –periódikusság miatti additív konstansok alkalmazása; –a megoldás általában párban jelenik meg (két szögnegyedben is azonos a szögfüggvény értéke).

32 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 32 Sorozatok I. Számok rendezett (sorszámozott) halmaza, más szóval egy leképezés a természetes számok halmazáról a valós számok halmazára: Jellemző mennyiségei: – : a sorozat első tagja – : a sorozat n-dik tagja – : az első n tag összege Definiálása –explicit képlettel –implicit (rekurzióval)

33 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 33 Sorozatok II. Fontosabb számsorozatok: –Számtani a szomszédos tagok különbsége állandó –Mértani a szomszédos tagok hányadosa állandó –Fibonacci minden tag az előző kettő összege

34 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 34 Vektorok Irányított szakasz a síkban vagy a térben Jellemzői: –állása (melyik egyenessel párhuzamos); –iránya (merre mutat); –hossza (távolság a kezdő- és a végpont között). Nem jellemző: –kezdő- vagy támadási pontjának helye Műveletek vektorokkal –Számmal való szorzás –Összeadás, kivonás –Skaláris szorzás (két vektor szorzata egy szám) –Vektoriális szorzás (két vektor szorzata egy újabb vektor) Ábrázolása koordinátarendszerben –helyvektor (kezdőpontja az origóI

35 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 35 Geometria I. Fontosabb geometriai témák és fogalmak: –Síkidomok osztályozása –Háromszögek tulajdonságai, fontosabb tételei: Thalesz tétel, Pithagorasz tétel Számítási módszerek: sinus- és cosinus tétel Szögfelező tétel Derékszögű háromszögben befogó- és magasság tétel Súlypont, magasságpont, oldalfelező, szögfelező tulajdon- ságai

36 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 36 Geometria II. A kör és fontosabb tulajdonságai: –A kör részei: középpont, sugár, átmérő, körív, körszelet, körcikk –Középponti- és kerületi szögek tétele –Külső pontból körhöz húzott érintőszakaszok tétele –Húrnégyszög, érintőnégyszög tétele –Háromszögbe, háromszög köré írt kör

37 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 37 Geometria III. További fontosabb fogalmak és tételek: –Párhuzamos szelők tételei és megfordításuk –Síkidomok, háromszögek hasonlósága és egybevágósága –Síkidomok, háromszögek kerülete, területe –Szabályos sokszögek tulajdonságai –Síkbeli transzformációk

38 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 38 Koordinátageometria I. A geometria számszerűsítése, geometriai alakzatok egyenletekkel történő megadása Alkalmazásával a geometriai feladatok analitikus megoldást nyernek (egyenletek használata, megoldása) Egy geometriai objektum egyenlete egy olyan azonosság, amelyet csak az objektum pontjai elégítenek ki (a koordinátájukat az egyenletbe helyettesítve azonosságot kapunk)

39 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 39 Koordinátageometria II. Az egyenes egyenletei: –Irány vektoros egyenlet Adott: Egyenlet: –Normál vektoros egyenlet Adott: Egyenlet: –Két pontos átmenő egyenes egyenlete Adott: Egyenlet: –Meredekségével adott egyenes egyenlete Adott: Egyenlet:

40 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 40 Koordinátageometria III. A kör egyenlete Adott: Egyenlete: A kör egyenletének általános alakja

41 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 41 Polinomok I. A polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. A polinomban a számokkal szorzott hatvány- szorzatokat monomoknak (vagy egytagoknak) nevezzük.monomoknak A monomokban lévő számszorzókat a polinom együtthatóinak hívjuk. A polinomokkal műveletek végezhetők –összeadás, kivonás, szorzás, osztás

42 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 42 Polinomok II. Polinomok (maradékos) osztása: –Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük –Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból –A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást –A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó –Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk

43 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 43 Polinomok III. Polinomok (maradékos) osztása: –Az osztandó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának és az osztó legmagasabb hatványkitevőjű tagjának a hányadosát képezzük –Ezzel a hányadossal megszorozzuk az osztót és az eredményt levonjuk az osztandóból –A kapott új polinommal megismételjük az előbbi eljárást –A fenti lépéseket addig ismételjük, amíg az osztandó alacsonyabb fokszámú lesz, mint az osztó –Ha a megmaradó osztandó nem nulla, akkor maradékos osztásról beszélünk

44 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 44 Mintazárthelyi A feladatlapon csak egy helyes választ lehet megadni A feladat szövegét figyelmesen olvassák el! Csak a biztos megoldásokat írják be, ne tippeljenek! A részszámításokat minden esetben el kell végezni, de külön lapon. A megoldás sorrendje nem feltétlenül a számsorrend.

45 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 45 Mintazárthelyi feladatlap

46 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: B

47 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: D

48 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: C

49 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: D

50 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: C

51 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: C

52 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: C f(x) g(x) h(x)

53 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: B

54 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: A

55 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: B

56 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: D

57 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: A

58 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: E

59 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: A

60 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak feladat Megoldás: Helyes válasz: B

61 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 61 További mintapéldák Az alábbi feladatok megoldását külön oldalon közöljük A példák önálló megoldását javasoljuk, a kidolgozott megoldást ellenőrzésre használják További feladatok megoldása segít a felkészülésben Ajánlott segédlet: Egységes érettségi feladatgyűjtemény – Matematika (Konsept-H Könyvkiadó, 2002)

62 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 62 Példák I. 1)Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az elsőt az indulók 70 %-a, a másodikat pedig az indulók 60 %-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 2)Számológép használata nélkül állapítsa meg, melyik nagyobb a következő számok közül: vagy

63 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 63 Példák II. 3)Fejezze ki c-vel az alábbi kifejezéseket, ha. Tegye meg a szükséges kikötéseket is! 4)Hozza egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket:

64 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 64 Példák III. 5)Végezze el az alábbi polinomos osztást. Mennyi lesz a művelet maradéka? 6)Egy háromszög egyik szöge a másik két szög számtani közepe. A két nagyobbik szög együttvéve akkora, mint a legkisebb szög háromszorosa. Mekkorák a háromszög szögei? 7)Melyik az az ötjegyű szám, amely után egy 1- est írva, háromszor akkora számot kapunk, mintha az elejére írnánk egy 1-est?

65 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 65 Példák IV. 8)Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget: 9)Melyik az a legbővebb halmaz, amelyen az alábbi f(x) függvény értelmezhető? 10)Három szám összege 114. Lehetnek egy mértani sorozat első három tagja, vagy egy számtani sorozat 1., 4. és 25. tagja is. Mely számokról van szó?

66 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 66 Példák V. 11)Vízszintes sík talajon álló 100 m magas felhőkarcolóból megmérjük egy egyenes útszakasz két végpontjának depressziószögét és az útszakasz látószögét. A mért értékek rendre 4,5º; 5,5 º és 75 º. Mekkora az útszakasz hossza? 12)Adja meg annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja a C(0;5) pont és érinti a egyenest.

67 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 67 Megoldások 1)Az egyik feladatot 60%, a másodikat 70% oldotta meg, ezért mindkét feladattal 30% foglalkozott. Tudjuk, hogy ez 9 főt jelent, így a teljes létszám 30 tanuló. Ennyien indultak a versenyen. 2)Azonos átalakításokkal kapjuk: Vagyis a ?? helyére = írható!

68 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 68 Megoldások 3) 4)

69 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 69 Megoldások 4)(folytatás)

70 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 70 Megoldások 5)

71 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 71 Megoldások 6) 7)

72 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 72 Megoldások 8)

73 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 73 Megoldások 9)

74 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 74 Megoldások 10)

75 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 75 Megoldások 11)

76 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 76 Megoldások 12)

77 Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 77 Tanácsok a matematika tanulásához Részvétel az előadásokon Jegyzet készítése – ha nem ért valamit, akkor is! Óra után az anyag átnézése és megértése Problémás részekről konzultálás évfolyam- társsal, felsőbb évessel A gyakorlaton aktív részvétel (kérdezés!) A feladatok önálló megoldása az óra után Mintapéldák megoldása (begyakorlás) Zárthelyire készülés (csoportos feladat- megoldás)


Letölteni ppt "Matematika konzultáció az I. évfolyamnak 1 Matematika összefoglaló A középiskolai tananyag vázlatos áttekintése, gyakorló feladatok Összeállította: Deák."

Hasonló előadás


Google Hirdetések