A HATÁROZOTT INTEGRÁL FOGALMA

A síkidomok területe Történelmi sorrendben a határozott integrál fogalma elsőként a síkidomok területének kiszámítása során jelentkezett. Több síkidom területének kiszámítása a görbevonalú trapéz területének kiszámítására vezethető vissza. Görbevonalú trapéznak nevezünk az Oxy koordinátasíkban minden olyan alakzatot, amelyet egy y=f(x) görbe, az x=a, x=b két egyenes, valamint az x – tengely határol.

Felosztjuk az [a, b] intervallumot n tetszőleges részre az Felosztjuk az [a, b] intervallumot n tetszőleges részre az pontokkal, ahol . A kapott görbevonalú trapézokat téglalapokkal helyettesítjük.

A görbevonalú trapéz területének közelítő értéke A területek összege akkor közelíti meg a görbevonalú trapéz területét, ha a felosztással kapott minden metszet hossza megközelíti a nullát.

Fizikai problémák Egy test olyan egyenes vonalú változó sebességű mozgást végez, amelynek ismerjük a sebesség időtől való függését kifejező v=f(t) függvényét. Ki kell számítani a t=a pillanattól a t=b pillanatig megtett út hosszát.

Fizikai problémák Tegyük fel, hogy valamely test az x – tengely mentén mozog az F erő hatására, s ennek a hatásiránya megegyezik az x – tengely irányával. Ismerjük az F erő nagyságának F=f(x) függvényét, amely azt fejezi ki, hogy hogyan függ az F az x – tengely pontjainak x abszcisszájától. A feladatunk az, hogy határozzuk meg azt a munkát, amelyet az F erő végez az x – tengely [a, b] intervallumán.

A határozott integrál definíciója Legyen f(x) egy, az [a, b] intervallumon értelmezett, folytonos függvény. Osszuk fel az [a,b] intervallumot a tetszőlegen felvett pontokkal részintervallumokra, és vegyünk fel mindegyik részintervallumban egy tetszőleges pontot, vagyis legyen a az i-edik metszethez tartozó pont, ahol az Ennek a felosztásnak és a pontmegválasztásnak megfelelő összeget az f függvény integrálösszegének tekintjük.

A határozott integrál definíciója Jelöljük a felosztással kapott legnagyobb részintervallumot, vagyis legyen a . Ha létezik az S összegnek határértéke , amikor tart a nullához és ha ez a határérték egyenlő az I számmal, vagyis ha a , akkor az I számot az f(x) függvény a és b határa közötti határozott integráljának nevezzük, amit az módon írunk fel. Az f(x) függvényre azt mondjuk ekkor, hogy integrálható az [a, b] intervallumon.

Feladat Számítsuk ki mennyi Megoldás: osszuk fel a [0,1] intervallumot n részre a pontokkal.

Az integrál jelölésének eredete Az integrál jele valójában az S betű stilizálásával keletkezett, ami a latin summa = összeg kezdőbetűje. Az integrál jelölésének eredete