Bevezetés az informatikába Csernoch Mária http://www.inf.unideb.hu/~csernochmaria/bev_info/

Számrendszerek

Számrendszerek A számrendszerek a számok megnevezésével és lejegyzésével kapcsolatos eljárások összessége. nem helyiértékes (pl. egyiptomi, maya, római; nehézkes bennük a számolás) helyiértékes Babilónia (i.e.1750): hatvanas számrendszer (idő-, szögmérés) India (i.sz. 600): tízes számrendszer (számjegyek: 1, 2, . . . , 9) arabok (i.sz. 750): megjelenik a 0 Európában 1200–1600 között terjed el általánosan

Bináris Ternális Kvintális Oktális Decimális Duodecimális Hexadecimális 1 10 2 11 3 100 4 101 12 5 110 20 6 111 21 7 1000 22 13 8 1001 14 9 1010 a A 1011 102 b B 1100 C 1101 23 15 D 1110 112 24 16 E 1111 120 30 17 F 10000 121 31

Számrendszerek Definíció: Az r alapú helyiértékes számrendszert a következő szabály definiálja: … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟 = = 𝑖=−∞ ∞ 𝑎 𝑖 𝑟 𝑖 = =⋯+ 𝑎 2 𝑟 2 + 𝑎 1 𝑟+ 𝑎 0 + 𝑎 −1 𝑟 −1 + 𝑎 −2 𝑟 −2 +⋯.

Számrendszerek r szám: számrendszer alapszáma 𝑎 𝑖 jelek: a szám számjegyei az 𝑎 𝑖 számjegy által jelölt 𝑎 𝑖 szám: a számjegy alaki értéke 𝑟 𝑖 hatvány: a számjegy helyiértéke (i = 0;1;2; ) . (pont): az alappont … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟 = = 𝑖=−∞ ∞ 𝑎 𝑖 𝑟 𝑖 = =⋯+ 𝑎 2 𝑟 2 + 𝑎 1 𝑟+ 𝑎 0 + 𝑎 −1 𝑟 −1 + 𝑎 −2 𝑟 −2 +⋯.

Számrendszerek valódi érték: az alaki érték és a megfelelő helyi érték szorzata érték: a szám értékét úgy kapjuk, hogy az egyes számjegyek értékét szorozzuk a helyiértékükkel, és mindezt összeadjuk valódi értékeket összeadjuk

Számrendszerek számrendszer alapszám számjegyek alaki érték kettes, bináris 2 0, 1

Számrendszerek számrendszer alapszám számjegyek alaki érték kettes, bináris 2 0, 1 nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Számrendszerek számrendszer alapszám számjegyek alaki érték kettes, bináris 2 0, 1 nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Számrendszerek számrendszer alapszám számjegyek alaki érték kettes, bináris 2 0, 1 nyolcas, oktális 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tízes, decimális 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 tizenhatos, hexadecimális 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Számrendszerek tízes számrendszer 3457,28 3457.28 3E+4sz+5t+7e+2tized+8század 3∙ 10 3 +4∙ 10 2 +5∙10+7+2∙ 10 −1 +8∙ 10 −2 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛−2 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑎 −𝑚 𝑆 10 = 𝑖=−𝑚 𝑛 𝑎 𝑖 ∙ 10 𝑖

Számrendszerek számrendszer alapszáma (tetszőleges p>1) számjegyek: 0, 1, …, p−1 kettes számrendszer (bináris) p = 2 számjegyek: 0, 1 nyolcas számrendszer (oktális) p = 8 számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 tizenhatos számrendszer (hexadecimális) p = 16 számjegyek: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

10-es számrendszerbeli szám legnagyobb kitevő: n legkisebb kitevő: −m számjegyek száma: j = (n + 1) + m

Feladatok Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi egész számokat! 10110011(2 456(8 235(16 A2E(16 Számoljuk át tízes számrendszerbe az alábbi tört számokat! 10001110.101(2 342.23(5 367.56(8 A5D.F3(16

p-alapú (p>1, egész) számrendszerbeli szám

Legkisebb és legnagyobb ábrázolható számok Mi az adott számú pozíción egy számrendszerben leírható legnagyobb és legkisebb szám?

Bináris számrendszer legnagyobb legkisebb összes

Számrendszerek közötti átváltás Átszámolás p-alapú számrendszerből 10-es számrendszerbe k db m db             j db      

Számrendszerek közötti átváltás Tétel: Legyen 𝑟≥2 természetes szám. Ekkor tetszőleges 𝑣≥0 valós szám felírható az 𝑟 alapú számrendszerben 𝑣= 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟 alakban, ahol 0≤ 𝑎 𝑖 ≤𝑟−1 természetes számok minden 𝑛, 𝑛−1, … esetén és 𝑎 𝑛 ≠0, ha 𝑛≥1. 𝑣 egészrésze: 𝑣 = 𝑎 𝑛 𝑎 𝑛−1 … 𝑎 2 𝑎 1 𝑎 0 . 0 𝑟 𝑣 törtrésze: 𝑣 = 0. 𝑎 −1 𝑎 −2 … 𝑟

Számrendszerek közötti átváltás Legyen 𝑣≥0 az r-alapú számrendszerben adott szám. Határozzuk meg 𝑣 számjegyeit az 𝑟 alapú számrendszerben. 𝑣 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 ++ 𝑎 1 ∙ 𝑟 1 + 𝑎 0 ∙ 𝑟 0 𝑣 = 𝑎 𝑛 ∙ 𝑟 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 ∙ 𝑟 𝑛−1 ++ 𝑎 1 ∙𝑟+ 𝑎 0 𝑣 = 𝑎 −1 ∙ 𝑟 −1 + 𝑎 −2 ∙ 𝑟 −2 +

Számrendszerek közötti átváltás egészrész   A maradékok rendre − növekvő helyiérték szerint − adják az r-alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.              

Feladat 179 3 59 2 19 6 1 .45 3 1 .35 .05 .15 .85 3 2 .55 1 .65 .95 179.45(10 179.85(10 20122.110011001100(3 20122.’1100’1100’1100’(3 20122.211221122112(3 20122.’2112’2112’2112’(3

Feladat 113 2 56 1 28 14 7 3 .45 2 .90 1 .8 .6 .2 .4 113.45(10 1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

Számrendszerek közötti átváltás törtrész         A szorzatok egészrészei rendre − csökkenő helyiérték szerint − adják az r alapú számrendszerbeli számjegyek alaki értékeit.

Legnagyobb, összes ábrázolható szám egész számok összes ábrázolható szám j pozíción (modulus: M) legnagyobb ábrázolható szám legkisebb ábrázolható szám 𝑆 𝑛 = 𝑎 1 ∙ 𝑞 𝑛 −1 𝑞−1

Legnagyobb, összes ábrázolható szám tört számok j db k db m db egész rész összes legnagyobb legkisebb tört rész összes legnagyobb legkisebb

Mértékegységek bit byte, bájt értéke binary digit 8 bit 1 1 binary digit kettes számrendszerbeli számjegy byte, bájt 8 bit

Mértékegységek Mértékegység Adatmennyiség B (byte, bájt) 8 bit KiB (kibibyte) 1024 byte MiB (mebibyte) 1024 kiB GiB (gibibyte) 1024 MiB TiB (tebibyte) 1024 GiB PiB (pibibyte) 1024 TiB EB (exbibyte) 1024 PiB Mértékegység Adatmennyiség B (byte, bájt) 8 bit kB (kilobyte) 1000 byte MB (megabyte) 1000 kB GB (gigabyte) 1000 MB TB (terabyte) 1000 GB PB (petabyte) 1000 TB EB (exabyte) 1000 PB 1999, IEC (International Electrotechnical Commission) a számítástechnikában elterjedt váltószámok megnevezésére új prefixumok (kibi ← kilo binary)

Feladatok Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi egész számokat! 54(10=x(2 54(10=x(8 54(10=x(16 54(10=x(5 Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi tört számokat! 45.55(10=x(2 111.45(10=x(4 23.45(10=x(5 23.45(10=x(8 54.45(10=x(16

Feladatok Számoljuk át tízes számrendszerből az alábbi számokat! 45.55(10=x(2 111.45(10=x(4 23.45(10=x(5 23.45(10=x(8 54.45(10=x(16

1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2

1100001.0111001100(2 1100001.01’1100’1100’(2 𝑆= 1 2 2 + 𝑆 𝑖𝑠𝑚 𝑆 𝑖𝑠𝑚 = 𝐴 1 + 𝐴 2 +⋯ 𝐴= 𝑖=0 3 2 −3−𝑖 𝑆 𝑖𝑠𝑚 = 𝑗=1 ∞ 𝐴 𝑗 = 𝑗=1 ∞ 𝑖=0 3 2 −3∙𝑗−𝑖 𝑎 1 = 3 2 4 𝑞= 1 2 4 𝐴 1 = 1 2 3 + 1 2 4 = 2+1 2 4 = 3 2 4 𝑆 𝑖𝑠𝑚 = 𝑎 1 1−𝑞 = 3 2 4 1− 1 2 4 = 3 2 4 2 4 −1 2 4 = 3 2 4 ∙ 2 4 15 = 3 15 𝐴 2 = 1 2 7 + 1 2 8 = 2+1 2 8 = 3 2 8 𝑆= 1 2 2 + 𝑆 𝑖𝑠𝑚 = 1 4 + 3 15 = 15+4∙3 60 = 27 60 = 9 20 =0,45

Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben Végezzük el az alábbi műveleteket a bináris számok körében!

Aritmetikai műveletek különböző számrendszerekben Végezzük el az alábbi műveleteket a hexadecimális számok körében!

Végtelen, szakaszos tizedes tört Minden racionális szám felírható véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört formában. Minden véges vagy végtelen, de szakaszos tizedestört átalakítható racionális szám formára.

Végtelen, szakaszos p-ados tört k db n db 0. bk ‘ cn ‘ cn ‘ 𝑎 1 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 𝑞= 1 𝑝 𝑛 𝑆= 𝑎 1 1−𝑞 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 1− 1 𝑝 𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛 −1 𝑝 𝑛 = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 ∙ 𝑝 𝑛 𝑝 𝑛 −1 = = 𝑐 𝑛 𝑝 𝑘 ∙ 𝑝 𝑛 −1

0.01’1100’1100’(2

Feladatok Írjuk fel bináris, oktális és hexadecimális számrendszerben az alábbi decimális számokat! 3492.326(10 1000(10 1512.1533(10 112.3(10 12438.964(10 3096.123(10 12345.678(10 9977.66(10

Feladatok Írja át 10-es számrendszerbe a következő számokat! Az eredményt közönséges tört alakban adja meg! 1.333(5 7B.73’5’5…(16 102.2’32’32’…(4 1320.20’131’131’…(8 101110110.101’0101’0101’…(2