Összegek, területek, térfogatok Határozott integrál Összegek, területek, térfogatok

Területszámítás Görbe vonal által határolt terület kiszámítása. A terület felosztása: minden résznek csak az egyik határoló vonala görbe vonalú. Görbe vonalú trapéz.

Görbe vonalú trapéz A görbe vonalat az y=f(x) függvény grafikonjának tekinthetjük. Keressük az y=f(x) grafikonja és az x-tengely közötti rész területét. 3

A görbe vonalú trapéz területe Téglalapokkal közelítjük a keresett területet. Az [a,b] szakaszt felosztjuk az a=x0, x1,..., xn=b pontok segítségével. Az így kapott téglalapok magasságai az xk pontokban vett függvényértékek: f(xk). ΔTk

A görbe vonalú trapéz területe Az osztópontok n számának növelésével pontosabb eredményt kapunk.

Példa Az y=x2 függvény alatti terület a [0,1] intervallumon. Osztópontok: xk Δxk f(xk) f(xk)·Δxk 0,25 0,0625 0,015625 0,5 0,75 0,5625 0,140625 1 -

A határozott integrál Az f függvény [a,b] intervallumon értelmezett határozott integrálja az összeg, ahol az xk osztópontokat az intervallum pontjai közül választottuk úgy, hogy a köztük levő távolság n növelésével zérushoz közelít.

A határozott integrál jele Felső határ Integrálási változó Integráljel Alsó határ Integrandus

Az integrálási változó A függvény egy adott intervallumon vett határozott integráljának értéke a függvénytől függ, nem attól, hogy milyen betűvel jelöljük a független változóját. Ha a t vagy u betűt jobban kedveljük, mint az x-et, nyugodtan írhatjuk helyett vagy

Geometriai értelmezés Az y=f(x) pozitív függvény [a,b] intervallumon vett határozott integrálja egyenlő az adott intervallumon vett görbe vonalú trapéz területével.

Példa Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

Példa Ábrázoljuk az integrálandó függvényt, és számítsuk ki az integrál értékét területszámítással:

A határozott integrál tulajdonságai Az állandó szorzótényező kiemelhető az integrál elé:

A határozott integrál tulajdonságai Az összeg, különbség tagonként integrálható: +

Példa

A határozott integrál tulajdonságai Az integrálás határait feloszthatjuk:

Példa

A határozott integrál tulajdonságai Ha a-tól a-ig integrálunk, az eredmény 0:

A határozott integrál tulajdonságai Az integrálás határait felcserélve, az integrál előjelet vált.

Példa

A határozott integrál tulajdonságai Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény folytonos és integrálható, akkor van legalább egy olyan x0 az intervallumban, hogy:

A határozott integrál tulajdonságai Ha az [a,b] intervallumban az f(x) függvény maximuma M, és minimuma m, akkor:

Példa Igazoljuk az egyenlőtlenséget: y=cosx A [0,1] intervallumon

A Newton-Leibniz tétel Ha F(x) az f(x) függvény primitív függvénye az [a,b] intervallumon akkor:

Példa

Feladatok

Helyettesítés a határozott integrálnál Új változó bevezetésekor ügyelni kell arra, hogy az integrálás határai is megváltozhatnak!

Parciális integrálás

Területszámítás integrállal Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

Területszámítás integrállal Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=2 egyenesek által határolt síkrész területét.

Területszámítás integrállal Számítsuk ki a függvény grafikonja, az x tengely, az x=1 és az x=4 egyenesek által határolt síkrész területét.

Területszámítás integrállal Számítsuk ki a két függvény grafikonja által határolt terület nagyságát: A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok. A grafikonok felrajzolása, a keresett terület azonosítása. Az integrálok kiszámítása.

Területszámítás integrállal A grafikonok metszéspontjainak meghatározása – integrálási határok: A grafikon felrajzolása

Területszámítás integrállal Az integrálok kiszámítása: Felső határoló görbe Alsó határoló görbe

A forgástestek térfogata Az y=f(x) folytonos függvény grafikonjának x=a és x=b közötti részének x tengely körüli forgatásával egy forgástestet kapunk.

A forgástestek térfogata

A gömb térfogata

A görbe ívhossza A görbét a P0, P1,...,Pn pontok segítségével részekre osztjuk. A görbe vonalat a pontokon át húzott húrokkal helyettesítjük

A görbe ívhossza A k-adik húr hossza (Pitagorasz-tétel):

A görbe ívhossza

A kör kerülete A félkörív hossza:

Vége!!!