Játékelmélet - bevezetés Bara Zoltán www.barazoltan.sk

Content 1. Játékelmélet története 2. Fogolydilemma 3. Nash-egyensúly 4. Kooperáció vagy versengés

Neumann János A játékelmélet alapjait Neumann János rakta le egy 1928-as munkájában, majd az Oskar Morgenstern neoklasszikus matematikus- közgazdásszal közösen írt „Játékelmélet és gazdasági viselkedés” című (The Theory of Games and Economic Behavior, 1944) művében. A matematika, a közgazdaságtan, a szociológia, a pszichológia, és a számítástechnika a játékelmélet által legérintettebb tudományok. A mesterséges- intelligencia kutatás is felhasználja eredményeit.

Alapfogalmak A Játék a játékosok lehetséges viselkedését és lényeges körülményeket meghatározó szabálysor által leírt folyamat. Az információs halmaz (ismeret) meghatározó. Például a játék tökéletes információs, amennyiben a résztvevők birtokolják az összes vonatkozó adatot (szabályok, lehetséges választások, eddigi események), és a játék véges. A stratégia a szabályokat alkalmazó, az ellenfél érzékelt hibáit felhasználó – győzelemre, de minimum döntetlenre segítő módszer. Zéró összegű az a játék, amelyben a játékosok csak egymás kárára növelhetik nyereségüket. Nem zéró összegű játszma az, mikor a két fél nemcsak egymástól, hanem egymással együttműködve valamilyen külső forrásból is nyerhet. Egy játék lehet két-, vagy többszemélyes. Kooperatív a játék akkor, ha a játékosok között kialakul az együttműködés. Nem kooperatív játék esetén a játékosok versengenek egymással.

Optimális stratégia Valamennyi kétszemélyes zéró összegű játékban létezik mindkét fél számára optimális stratégia, mégpedig az egyéni tiszta stratégiák tervezetten véletlen keveréke. Ésszerű feltételezni, hogy minden játékos a lehető legnagyobb nyereség elérésére, és a veszteség kockázatának minimalizálására törekszik. Minden véges játék legalább egy egyensúllyal rendelkezik. (Ezt az eredményt John Nash bizonyította be az 1950-es években.)

Fogolydilemma A klasszikus fogolydilemma a következő: Egy súlyos bűntény kapcsán két gyanúsítottat letartóztat a rendőrség. Mivel nem áll rendelkezésre elegendő bizonyíték a vádemeléshez, ezért elkülönítik őket egymástól és mindkettejüknek ugyanazt az ajánlatot teszik. Amennyiben az első fogoly vall és társa hallgat, akkor az előbbi büntetés nélkül elmehet, míg a a másik, aki nem vallott, 10 év börtönt kap. Ha az első tagadja meg a vallomást és a második vall, akkor az másodikat fogják elengedni és az első kap 10 évet. Ha egyikük sem vall, akkor egy kisebb bűntényért 1 évet kapnak mindketten. Ha mindketten vallanak, mindegyikük 5 évet kap.

Nash-egyensúly Nash bebizonyította, hogy ha a kevert stratégiákat is figyelembe vesszük, akkor minden n-szereplős játéknak, amelyben a stratégiák száma véges, létezik Nash- egyensúlya. Egy játéknak lehet Nash-egyensúlya a tiszta stratégiák halmazán, vagy lehet Nash- egyensúlya a kevert stratégiák (azaz amikor bizonyos fix gyakorisággal az egyik, bizonyos fix gyakorisággal pedig egy másik stratégiát játszik a szereplő) halmazán. http://www.youtube.com/watch?v=_bI_7_abwfI&f eature=related

John Nash

Nemek harca Az alaphelyzet szerint egy házaspár mindkét tagja szeretné az estét a párjával együtt tölteni, de a feleség színházba menne szívesebben, a férj pedig inkább futballmeccsre. Döntésüket a játszma szerint külön hozzák meg, tehát egymás döntéseiről nem tudnak.

Terminátor és Barbie Arnold színházba megy Arnold meccsre megy Barbie színházba megy 4,2 0,0 Barbie meccsre megy 1,1 2,4

Gyáva nyúl Gyáva nyúl-játék az 50-es években Amerikában dívó tinédzser-játékról kapta nevét. A fiúk (lopott) autókkal, nagy sebességgel indultak el egymás felé egy szûk úton. Amelyikük kitért a másik elöl, a többiek "gyáva nyúl"-nak (angolul: Chicken, azaz csirke) titulálták és mélyen megvetették. Itt az egyik számára az a legjobb, ha kitart és a másik rántja félre a kormányt, azaz õ verseng és ellenfele kooperál. Ennél valamivel rosszabb, ha mindketten kitérnek, mert akkor életben maradnak és egyikükre sem mondják, hogy gyáva nyúl. A legrosszabb helyzet a frontális ütközés, ennél mégis jobb gyáva nyúlnak lenni, de életben maradni. http://www.youtube.com/watch?v=-Tf79UQzU80 (9:20- tól kezdődik)

Rambo III. Rambo kitér Rambo nem tér ki Pilóta kitér 3,3 2,4 Pilóta nem tér ki 4,2 1,1