A Birodalmi lépegetőtől… Egy játék matematikája

Egyszer volt… Ha megnőnek a gyerekek, akkor a matematikusnak marad a solitaire :( Van k darab doboz 1-től k-ig megszámozva, néhányukban golyók, összesen n darab. Van még egy urna, amely kezdetben üres. Az a cél, hogy a golyókat összegyűjtsük az urnába. Ehhez az egyes dobozokat ki lehet üríteni, az i-ediket akkor, ha éppen i darab golyó van benne. Ennek során a golyókat egyesével elpotyogtatjuk az i-nel kisebb sorszámú dobozokba, az utolsót pedig betesszük az urnába. Ha ezután megint van kiüríthető doboz, akkor folytatjuk. Ha az összes golyó az urnába kerül, akkor nyertünk. Ha ez sikerül, akkor az n golyó elrendezéséről, vagy röviden elrendezésről beszélünk.

IDE JÖNNE AZ ELSŐ ANIMÁCIÓ Geogebra -- Maya2.ggb De még fogalmam sincs, hogy lehet beilleszteni

Ha az i-edik doboz kiüríthető, akkor azt mondjuk, hogy ez a doboz teli van. A játék láthatóan determinisztikus, minden egyes lépésben a legkisebb sorszámú teli dobozt kell kiüríteni. AKKOR MI EBBEN A JÁTÉKBAN A JÓ ??? Például a következő kérdés: Aszimptotikusan hány dobozra van szükség n golyó elrendezéséhez?

1.Tétel n darab golyó egyértelműen rendezhető el alkalmas számú k(n) darab dobozba úgy, hogy valamennyit össze lehessen gyűjteni az urnába. Például k(41)=10, ahogy láttuk. Bizonyítás Mondjuk a látott eljárás nyomán teljes indukció. A tétel megfordítása nem igaz, pontosabban: adott k-hoz vannak olyan 0 < m(k) < M(k) egészek, hogy minden n  [m(k); M(k)] esetén el lehet rendezni n darab golyót k darab dobozban. Az intervallum mérete r(k) = M(k)-m(k)+1. Például m(10)=34 és M(10)=41, így r(10)=8. Állítás: (könnyű) r(k) páros.

Most már értelmesebb a kérdés: Mit csinál k(n) ha n  ?

Jelölések x = (x 1, x 2,…, x k, 0, 0,…) -- nemnegatív egész vektor (k az utolsó nem üres doboz sorszáma) T i = ∑ m≥i x m -- az i-edik farokösszeg Elrendezési tétel x akkor és csak akkor elrendezés, ha a)i ≤ x i : i =1, 2,…, továbbá b)i | T i : i = 1, 2,…, Jelölések t i = T i / i : pozitív egész ha i ≤ k; ennyiszer nyúlunk legalább i sorszámú urnához a kiürítés során. n = t 1 > t 2 > … > t k > t k+1 = 0 =,… d i = t i -t i+1 : pozitív egész ha i ≤ k; ennyiszer ürítjük ki az i-edik urnát. Állítás: d i nem növő (Elég szemléleletes -- kisebb sorszámú urnákat gyakrabban kell kiüríteni.)