A HÁROMSZÖGSZÁMOKRÓL - SZEMLÉLETESEN

Az előadások a következő témára: "A HÁROMSZÖGSZÁMOKRÓL - SZEMLÉLETESEN"— Előadás másolata:

1 A HÁROMSZÖGSZÁMOKRÓL - SZEMLÉLETESEN
Dr. Molnár István Borbola Gábor Szent István Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudományi Kar XIX. Hajnal Imre Matematika Tesztverseny és Módszertani Nap Gyula, március 21.

2 Bevezető feladat A dominójáték készletében a dominókon különböző számú pontok ( ) kombinációi találhatók. A készletben minden lehetséges párosítás pontosan egyszer fordul elő. Hány darabból áll a teljes dominó készlet?

3 Bevezető feladat megoldása
7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 =28

4 Háromszögszámok fogalma
Definíció A háromszögszámok olyan számok, amelyek előállnak az első néhány egymást követő pozitív egész szám összegeként. Jelölés Jelölje Tn az n-edik háromszögszámot. Kiszámítása

5 Háromszögszámok fogalma

6 Háromszögszámok tulajdonságai

7 1. tulajdonság Bizonyítás

8 1. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

9 2. tulajdonság Bizonyítás

10 2. tulajdonság Szemléletes bizonyítás n

11 3. tulajdonság Bizonyítás

12 3. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

13 4. tulajdonság Bizonyítás

14 4. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

15 5. tulajdonság Bizonyítás A 3. és 4. tulajdonság felhasználásával:
Az 2. tulajdonság alapján:

16 5. tulajdonság Szemléletes bizonyítás 2n+1 2n+1

17 6. tulajdonság Bizonyítás
A kilences számrendszerbeli szám a tízes számrendszerben háromszögszám. Bizonyítás

18 6. tulajdonság Szemléletes bizonyítás
A kilences számrendszerbeli szám a tízes számrendszerben háromszögszám. Szemléletes bizonyítás

19 7. tulajdonság Bizonyítás
Egy háromszögszám kilencszereséhez egyet hozzáadva újabb háromszögszámot kapunk. Konkrétan: Bizonyítás

20 7. tulajdonság Szemléletes bizonyítás 3n+1
Egy háromszögszám kilencszereséhez egyet hozzáadva újabb háromszögszámot kapunk. Szemléletes bizonyítás 3n+1

21 Háromszögszámok váltakozó előjelű összegekben

22 8. tulajdonság Bizonyítás a) ha n páros, azaz , akkor

23 8. tulajdonság Bizonyítás (folytatás)
b) ha n páratlan, azaz , akkor (figyelembe véve az a) pont eredményét)

24 8. tulajdonság Szemléletes bizonyítás – ha n páros

25 8. tulajdonság Szemléletes bizonyítás – ha n páratlan

26 9. tulajdonság Bizonyítás

27 9. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

28 10. tulajdonság Bizonyítás felhasználva a 9. tulajdonságot

29 10. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

30 Háromszögszámok néhány további tulajdonsága

31 11. tulajdonság Bizonyítás

32 11. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

33 Tetraéderszám A összeg egy tetraéderszám. Szemléletes bizonyítás

34 Pascal-háromszög % Természetes számok Háromszögszámok Tetraéderszámok

35 Piramisszám Két egymást követő tetraéderszám összege egy piramisszám.
Bizonyítás Mivel és a 2. tulajdonság alapján

36 Piramisszám Két egymást követő tetraéderszám összege egy piramisszám.
Szemléletes bizonyítás

37 12. tulajdonság Bizonyítás

38 12. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

39 13. tulajdonság Bizonyítás 1. tulajdonság alapján
Ezért

40 13. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

41 14. tulajdonság Bizonyítás Mivel , továbbá a 13. tulajdonság szerint ,
ezért

42 14. tulajdonság Szemléletes bizonyítás

43 Köszönjük a figyelmet! borbola.gabor@gk.szie.hu