Kombinatorika Véges halmazok

Kombinatorika A kombinatorika a matematika egyik ága, amely véges halmazok elemeinek kiválasztásával és sorba rendezésével foglalkozik. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Permutációk Valamely véges halmaz elemeinek egy lehetséges sorrendjét a halmaz egy permutációjának nevezzük. 2 elem 3 elem 4 elem 2 6 24 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 A permutációk száma 2 elem: P2=2 P2=2·1=2 P2=2! 3 elem: P3=3·2=3·P2=6 P3=3·2·1=6 P3=3! 4 elem: P4=4·6=4·P3=24 P4=4·3·2·1=24 P4=4! 5 elem: P5=5·24=5·P4=120 P5=5·4·3·2·1=120 P5=5! ... Pn=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 n elem: Pn=n·Pn-1 Faktoriális: n!=n·(n-1)·(n-2)·...·2·1 Pn=n! Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A faktoriális tulajdonságai Pl: 4! = 4·3! 12! = 12·11! Oldd meg az egyenleteket: Egyszerűsítsd a törteket: * Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák A „Sorakozó!” vezényszóra 10 tanuló sorakozik fel tetszőleges sorrendben. Hányféleképpen tehetik ezt meg? Írd fel az A = {a, b, c} halmaz elemeinek összes lehetséges sorrendjét. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Hány különböző módon ülhet le 4 személy 4 székre? Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 egy sorba rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hányféleképp ülhet le 6 lány és 6 fiú 12 körbe rakott székre úgy, hogy egymás mellett különböző neműek ülhetnek. Hány lehetséges sorrendje lehet egy futóversenynek, ha a versenyzők száma 8. Hány 5 jegyű, 25-tel kezdődő szám írható fel az 1,2,3,4,5 számjegyekből, úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Hány 6 jegyű 5-tel osztható szám írható fel a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyekből úgy, hogy a számjegyek ne ismétlődjenek? Az 1234 alap-permutációból alkotott permutációk közül hányadik a 3421? Hányadik permutáció a JÓSKA, az AJKÓS alap-permutációból. Hogyan szól az AGIKLO alap-permutáció 586. permutációja? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ismétlés nélküli variációk Egy A halmaz elemeiből alkotható k elemszámú sorozatokat az A halmaz k-ad osztályú ismétlés nélküli variációinak nevezzük (k≤n). 3 elem (n=3) 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ismétlés nélküli variációk száma Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példák Legyen A = {1, 2, 3, 4}. Írjuk fel az A halmaz különböző elemeiből alkotható összes kétjegyű és háromjegyű számot. 8 jelölt vizsgázik szóbelileg matematikából. az első napra 5 jelöltet kell beosztani. Hány beosztás lehetséges az első napra? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Feladatok Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel az 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hány különböző számjegyű 4-jegyű szám írható fel a 0, 1, 2, …, 9 számjegyekből? Hányféleképp tudunk kiválasztani 9 jelölt közül négyet, 4 különböző munkahelyre. 12 versenyző között hányféleképp oszthatjuk ki az arany, ezüst ill. bronzérmet? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Ismétlés nélküli kombinációk Az n elemű A halmaz k elemet tartalmazó részhalmazait az A halmaz k-ad osztályú kombinációinak nevezzük. 4 elem: 1. osztály (k=1) 2. osztály (k=2) 3. osztály (k=3) Tóth István – Műszaki Iskola Ada

A kombinációk száma n=4, k=3 Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Az ismétlés nélküli kombinációk száma Új művelet: „n” a „k” felett Tóth István – Műszaki Iskola Ada

Példa Az iskola sakkcsoportjába 5 tanuló jár. Hányféleképp állíthatunk össze 3 tagú csapatot belőlük? Feltételezzük, hogy a csapatban mindenki egyenrangú – nem fontos a sorrend, csak a csapattagok személye – ismétlés nélküli kombináció:

Feladatok Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek másodosztályú kombinációit. Írjuk fel az 1, 2, 3, 4, 5 elemek harmadosztályú kombinációit. Egy sakktornán 15 sakkozó vesz részt. Ha mindenki mindenkivel pontosan egyszer játszik, hány mérkőzést játszanak ezen a tornán?

Ismétléses permutációk Ha az A halmaz elemeiből álló sorozatban az x1 elem k1-szer, az x2 elem k2-ször, … az xn elem kn-szer szerepel, a sorozatot az A halmaz ismétléses permutációjának nevezzük.

Az ismétléses permutációk száma Összesen hány olyan hatjegyű számot írhatunk fel az 1, 2, 3 számjegyekből, amelyekben az 1 kétszer, a 2 háromszor és a 3 egyszer szerepel? 112223 112232 112322 113222, stb. 11122122233 6 különböző elem összes sorrendje: Megoldás:

Az ismétléses permutációk száma Hányféleképp lehet egy polcon egymás mellé rakni 3 angol, 2 francia és 5 német szótárt, ha az azonos nyelvű szótárak között nem teszünk különbséget?

Feladatok Írd fel az 1,2,2,3,3 elemek összes permutációit! Három angol, két német és három orosz futó áll rajthoz a futóversenyen. Hányféle sorrend lehetséges, ha csak a nemzetek közötti eredmény a mérvadó? Hányféle gyöngysor készíthető 10 fehér és 15 türkizkék gyöngyből?

Ismétléses variációk Ha az A halmaz elemeiből álló k tagú sorozatban vannak egyenlő eleme is, akkor ezt a sorozatot az A halmaz k-ad osztályú ismétléses variációjának nevezzük.

Ismétléses variációk Az A = {1, 2, 3, 4} halmaz elemeiből alkotható kétjegyű számok: 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 14 24 34 44 A számjegyek ismétlődnek! Összesen 16 = 42 ilyen szám van.

Az ismétléses variációk száma Az x1x2...xk sorozatban az elemek ismétlődhetnek. Bármely helyre az A halmaz bármelyik eleme tehető: n·n·... ·n=nk eset.

Példa Hány háromjegyű számot írhatunk fel az 1,2,3,4,5 a 0,1,2,3,4,5 számjegyekből?

Feladatok Írd fel az 1,2,3,4 elemek harmadosztályú ismétléses variációit! A széf „kombinációs” zárán 4 tárcsa található, melyek mindegyikén a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C jelek láthatóak. Hány különböző variáció lehetséges a zár kinyitásához? A sportfogadás szelvényen 13 mérkőzés eredményére lehet fogadni (1 – hazai győzelem, 2 – vendéggyőzelem és 0 – döntetlen). Hány szelvényt kell kitölteni a biztos találathoz?

Ismétléses kombinációk Ha n elem k-ad osztályú kombinációjában megengedjük, hogy ugyanaz elem többször is szerepeljen, akkor n elem k-ad osztályú ismétléses kombinációját kapjuk. Például: A={1,2,3,4}. Másodosztályú ismétléses kombinációk: 11 12 13 14 22 23 24 33 34 44

Az ismétléses kombinációk száma Hét versenyző hányféleképpen vihet el öt első díjat egy öttusaversenyen? Négy ötdinárossal hány különböző dobás lehetséges (fejek és írások száma)?

Binomiális tétel Binom: kéttagú algebrai kifejezés (a+b). Binomok hatványai:

Binomiális tétel Általában: Minden tagot, minden taggal szorozunk: A kifejtett binom egy tagja: Mennyi a Bk+1? Ismétléses permutáció!!

Binomiális tétel Rövidebben:

A Pascal háromszög 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 A Pascal háromszög n-edik sorának k-adik eleme:

Feladatok Hogyan szól a kifejezés 5. tagja? A kifejezés melyik tagja nem tartalmaz x-et?