STATISZTIKA II. 11. Előadás Dr. Balogh Péter egyetemi adjunktus Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék

Idősorok elemzése alapfogalmak, egyszerű elemzési eszközök Idősor – a megfigyelések sorrendje kötött és ez a sorrend fontos információkat hordoz. pl. ipari termelés éves adatait nem lehet felcserélni!! Idő bekapcsolása a gazdasági, társadalmi vizsgálatokba: Komparatív statika (az egyes időpontokban statikusan vizsgált jelenségek egyszerű összehasonlítása) Dinamika (az időbeni lefolyás komplex elemzése)

Alapfogalmak, egyszerű elemzési eszközök Idősoron az egymást követő, azonos tartalmú megfigyelések sorozatát értjük, és módon jelöljük. Idősor - egy vagy több mennyiség (változó) időben rendezett megfigyelései Ekvidisztáns idősor: a megfigyelések között azonos a távolság. Időbeli megfigyelések vonatkozhatnak időtartamra vagy időpontra. Állapotidősor (stock): egy-egy időpontra (kiválasztott pillanat – eszmei időpont, évkezdet január 1. 0 óra) jellemző megfigyelésekből álló idősor (állományok: népesség, készlet, állatállomány) Tartamidősor (flow):- egy-egy időszakra, időintervallumra (év, hónap stb.) jellemző megfigyelésekből álló idősor pl. termelés, házasságkötések száma

Alapfogalmak, egyszerű elemzési eszközök Idősorok elemzésekor célunk lehet: leírás – tendencia, visszatérő szabályosságok, belső összefüggések feltárása, véletlenek tekinthető zavaró hatások egymástól való elválasztása magyarázat – miért viselkedik úgy az idősor, verbális és formális (oksági modelleket keresünk) magyarázat előrejelzés – az idősor várható alakulását a jövőre előrevetíteni

Egyszerű elemzések Idősorelemzés legegyszerűbb feladata az értékek átlagának meghatározása. Tartamidősor (flow) – egyszerű számtani átlag: Az eredmény az egy időszakra jutó átlagos értéket mutatja. pl. egy hónapra jutó átlagos termelés, egy évben megkötött házasságok átlagos száma

Egyszerű elemzések Állomány típusú (stock) változók – az átlagos állománynagyságot jelenti. Két időpont esetén a nyitó és záró állomány egyszerű számtani átlaga Több időpont esetén a két-két időpont közötti időszakra vonatkozó átlagos állományok egyszerű számtani átlaga Két időpont esetén tehát az y1 és y2 értékek számtani átlaga: adja meg a két időpont közötti időszak átlagos állományát, és ezt az eljárást tovább folytatva a második időszakra az és így tovább, az (n-1)-edik időszakra adódik.

Egyszerű elemzések Ekkor az egész időszakra vonatkozó átlagos állományt az formula adja meg. Kronologikus átlag - speciálisan súlyozott átlag, amelyik állapotidősorok (állományok) nagyobb időszakra jellemző átlagát fejezi ki

Magyarország népmozgalmi adatai 1996–2005 - átlagok

Egyszerű elemzések Határozzuk meg az élveszületések és a halálozások évi átlagos számát, valamint a népesség évi átlagos számát! Az élveszületések évi átlagos száma: A halálozások évi átlagos száma: A népesség évi átlagos száma:

Egyszerű elemzések A szóródás mutatók is számíthatók. Részvények, papírok, befektetések hozamainak idősorait vizsgáljuk, nagyobb szóródás nagyobb kockázatot jelent. Az Antenna Hungária, a TVK, a DÉMÁSZ részvényeinek 2003. évi tőzsdei kereskedési napokon érvényes záró árfolyamából kiindulva határozzuk meg, melyik tekinthető a legelőnyösebbnek hozam és kockázat szempontjából?

Részvények kockázata - szóródásmutatók

Részvények kockázata - szóródásmutatók

Részvények kockázata - szóródásmutatók A részvények relatív hozamai: A kockázat egyetlen mérőszámmal való kifejezésére alkalmas mérőszám lehet a szórás.

Részvények kockázata - szóródásmutatók Megnevezés ANTENNA TVK DEMASZ Átlag 0,047 0,018 0,049 Szórás 1,906 1,551 1,566 Relatív szórás 40,517 88,147 31,961 Az átlaghozam és a szórás alapján nem egyértelmű a döntés – relatív szórás alapján döntünk!!!!

Egyszerű elemzések A változás átlagos mértéke ( ) és a változás átlagos üteme ( ). Növekedés átlagos mértéke - mutatószám, amely megadja, hogy az idősor egy időszakra vetítve eredeti mértékegységben átlagosan mennyivel nőtt I csökkent. A változás mértékét úgy kaphatjuk meg, hogy az egymást követő időszakokra kiszámítjuk a változás mértékét, majd azokból egyszerű számtani átlagot számolunk. Így

Egyszerű elemzések Ez akkor jellemző, ha a szóródás kicsi, azaz ha az egyes egymást követő időszakok változása nagyjából hasonló. Közelítőleg lineáris fejlődést leíró idősorok alaptendenciáinak tömör jellemzésére használható. Az idősor első és utolsó adatától függ!!!

Egyszerű elemzések A változás átlagos ütemét úgy számítjuk ki, hogy az egymást követő időszakok változási ütemeit vesszük, és ezekből számítunk mértani átlagot. Növekedés átlagos üteme - mutatószám, amely megadja, hogy az idősor egy időszakra vetítve átlagosan mennyivel nőtt I csökkent százalékosan

Egyszerű elemzések Mértani átlag: Az mutató a változás átlagos (egy időszakra jutó) ütemét mértékegység nélküli viszonyszámmal adja meg. Általában %-os formában fejezzük ki. Akkor célszerű számítani, ha az idősor értéke időszakról időszakra nagyjából azonos ütemben változik, azaz közelítőleg exponenciális fejlődést mutat.

A felsőoktatásban résztvevő hallgatók száma - a növekedés/csökkenés átlagos mértéke Az éves változás (növekedés) mértéke nagyjából hasonló az egyes években

A felsőoktatásban résztvevő hallgatók száma - a növekedés/csökkenés átlagos mértéke

A pamutszövet termelése - a növekedés/csökkenés átlagos üteme Az egyes időszakok közötti %-os csökkenés jellemző (állandó)

A pamutszövet termelése - a növekedés/csökkenés átlagos üteme

Egyszerű elemzések Az idősor egyes értékeit pontdiagrammal ábrázoljuk. Tartamidősorok – pontok az időintervallumok közepén Állományi típusú változók – pontok az időintervallum szélén (időszak eleji vagy időszak végi adatok)

Dekompozíciós idősormodellek A társadalmi-gazdasági élet idősorai nem megismételhetők, egyszeri lefutásúak. Kísérletező tudományok (fizika, biológia, kémia) – a folyamatok laboratóriumban megismételhetők, így több idősor is rendelkezésre áll Idősorelemzés különféle modelljei: feltételezések a szakmai ismereteink alapján és matematikai állítások. Dekompozíciós modellek – legrégebbi, legnépszerűbb, legegyszerűbb

Dekompozíciós idősormodellek A dekompozíciós modellek alapelve az, hogy az idősorok négy fő, egymástól elkülöníthető komponensekből tevődnek össze. Ezek: a hosszú távú irányzatot kifejező trend, az ettől szabályos (többnyire havi vagy negyedéves) ingadozásokkal eltérő szezonális komponens, a (többnyire hosszabb távú) szabálytalan ingadozást, hullámzást kifejező ciklikus komponens és a véletlen összetevő. Ezek az összetevők alapvetően két módon: összegszerűen, illetve szorzatszerűen kapcsolódhatnak egymáshoz, az előbbi az ún. additív, az utóbbi a multiplikatív modellekhez vezet.

Dekompozíciós idősormodellek Dekompozíciós modell - egyszerű idősormodell, mely feltételezi, hogy összetevői (hosszú távú irányzat, szabálytalan ciklus, szezonális ingadozás, véletlen komponens) egymástól függetlenek, ezért szeparáltan lehet őket elemezni

Dekompozíciós idősormodellek Felírásuk: a hosszútávú alapirányzat, vagy trend s illetve a szabályos rövid távú (szezonális) ingadozást leíró komponens, c illetve a szabálytalan hosszabb távú ingadozásokat leíró ciklikus komponens (konjunktúraciklus), és illetve a zavaró hatásokat leíró véletlen változók, amelyekről többnyire csak azt feltételezik, hogy 0, illetve 1 körül ingadoznak, azaz várható értékük 0, illetve 1.

Dekompozíciós idősormodellek Additív modell - olyan dekompozíciós modell, amelyiknél az összetevők összegszerűen kapcsolódnak egymáshoz Azt feltételezi, hogy mind a ciklus, mind a szezonális hatás, mind pedig a véletlen tag – állandó, a trendtől független – ingadozásokat végez. Multiplikatív modell - olyan dekompozíciós modell, amelyiknél az összetevők szorzatszerűen kapcsolódnak egymáshoz Itt az ingadozások a trendhez viszonyítva, annak arányában állandók.

Dekompozíciós idősormodellek A gyakorlati idősorok esetében nem mindig figyelhető meg az összes komponens!!!! Pl. Rövid idősorokból általában hiányzik a szabálytalan ciklus. A születések számában nem jellemző az éven belüli szezonalitás.

Dekompozíciós idősormodellek Ha csak a trend és a szezonális ingadozás van jelen: A szezonális ingadozás kilengése a trenddel arányosan változik: A szezonális ingadozás kilengése állandó:

Dekompozíciós idősormodellek A dekompozíciós modelleknél azt feltételezzük, hogy az egyes komponensek egymástól függetlenek, egymástól elkülöníthetők, ezért azok külön-külön vizsgálhatók - a dekompozíció elnevezése erre utal

Az idősorelemzés további modelljei Determinisztikus modellek: A véletlen passzív szerepet játszik, nem képezi lényeges alkotóelemét a modellnek. Akkor jó a modell, ha a véletlen minél kisebb befolyást gyakorol a folyamatra. Sztochasztikus modellek: Rövidebb távú elemzésekben, a véletlen a folyamat alkotó elemévé, aktív részesévé válik. Pl. a gazdaságban sokk (háború, természeti katasztrófa, külpiaci változások – gazdasági világválság)

Az idősorelemzés további modelljei Simító-előrejelző modellek: a múlt időbeli összefüggéseit vetítik előre egyszerűen kívülről adott vagy kalibrált paraméterekkel. ARMA-ARIMA (AutoRegresszív (Integrált) Mozgó Átlagolású) típusú modellek: sztochasztikus szemléletűek, az idősorok korábbi értékeinek és véletlen komponenseknek a bonyolult rendszerét tekintik alapul. Ezek a modellek általában az alakban írhatók fel. A mindenkori állapotot a korábbi állapotok és különböző késleltetésű véletlen komponensekkel ragadják meg, így a véletlennek aktív szerepet biztosítanak.

Az idősorelemzés további modelljei ARMA-ARIMA (AutoRegresszív (Integrált) Mozgó Átlagolású) típusú modellek folytatás: A paramétereket becslésekkel határozzák meg, a paraméterek és az egész modell érvényességét statisztikai próbákkal ellenőrzik – zárt logikájú rendszerben (Box–Jenkins–modellek) Frekvenciatartományon épített modellek: a látszólag szabálytalan ingadozások mögött különböző hullámhosszú szabályos periodikus mozgások vannak. spektrálanalízis (trigonometrikus függvények használata) waveletanalízis (más periodikus függvények alkalmazása) Idősoros regressziószámítás: idősorok közötti kapcsolatok leírása

Simítás, szűrés, előrejelzés Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Az analitikus trendszámítás a leggyakrabban alkalmazott szűrő és simító eljárás. Az analitikus trendszámítás gondolatmenete nagyon egyszerű: az idősor alkotta pontokra valamilyen, előre meghatározott típusú függvényt illesztünk úgy, hogy az a lehető legjobban illeszkedjék a pontokra, azaz a lehető legjobban leírja a pontok által hordozott tendenciát. Analitikus trend - a hosszú távú irányzatot leíró, előre meghatározott típusú (leggyakrabban lineáris vagy exponenciális) függvény, melynek független változója a t időváltozó

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Két kérdés: Milyen típusú függvénnyel akarjuk leírni az idősort? - lineáris és exponenciális függvény Hogyan mérjük az illeszkedést, és mikor tekintünk egy illeszkedést jónak? - a legkisebb négyzetek módszerét használják Legkisebb négyzetek módszere - a függvényillesztés leggyakrabban alkalmazott módszere: olyan függvényt keres, amelyik esetén a megfigyelések és az illesztett függvény megfelelő pontjai közti eltérések négyzetösszege minimális

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Az illesztett függvény és a megfigyelések közti pontonként vett távolságok előjele változhat – négyzetre emelés – a négyzetösszeg lesz az illeszkedés mérőszáma – minimalizálás azaz olyan paramétereket választunk a függvénynek, amelyek mellett ez a négyzetösszeg minimális.

Illesztés a legkisebb négyzetek módszerével trend megfigyelés trend eltérés (reziduum) eltérés (reziduum) megfigyelés Jó illeszkedés Rossz illeszkedés

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Lineáris trendszámítás esetén az idősort az függvénnyel írjuk le. ahol a t az időváltozót kifejező értékek sorozata, a a lineáris trendfüggvény paraméterei, az εt a t-edik időponthoz tartozó véletlen változó, és feltételezzük, hogy a várható értéke 0. A függvényt a paraméterek meghatározásával becsüljük, segítségükkel az idősor trend szerinti értékei a megfigyelési időszakra t=1, 2, …, n előállíthatók, és előre is tudunk becslést végezni velük (t=n+1, n+2, …).

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Az egyenlet a becsülni kívánt paraméterekkel felírva adódik, ahol becsült paraméterek úgy kaphatók, hogy minimalizáljuk a négyzetösszeget. Ezután a kifejezés minimumát kell keresnünk függvényében. Deriválva ezt szerint, majd a deriváltakat egyenlővé téve 0-val és átrendezve kapjuk az ún. normál-egyenleteket.

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek A paraméter a t=0 időponthoz tartozó trendértéket (tengelymetszet), a pedig a trendfüggvény konstans meredekségét jelenti, azaz azt, hogy egy időegység alatt mennyivel változik a trend. Ez egyben azt is mutatja, hogy mekkora az idősorban az egy időszakra jutó átlagos változás (növekedés vagy csökkenés) mértéke. Mértékegységük az idősor eredeti mértékegységével azonos. A figyelembe veszi az idősor valamennyi értékét – ellentétben -vel.

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek A t értékeket be kell helyettesíteni a trendegyenletbe és megkapjuk a trendfüggvény becsült értékeit (ex post előrejelzések). ismeretében minden időpontra kiszámíthatók a véletlen változó tapasztalati értékei, az ún. reziduumok: Minél jobb a lineáris függvény illesztése, a reziduumok értékei abszolút értékben annál kisebbek lesznek.

Analitikus trendszámítás, lineáris és exponenciális trendek Az illeszkedés jóságát a – szórásnégyzet analógiájára – a mutatóval számítjuk. Mivel a becslésre alkalmazott eljárás tulajdonságaiból adódóan 0, így az illeszkedés jóságát általában az reziduális variancia mutatójával szoktuk mérni. Alsó korlátja (tökéletes lineáris idősor esetén) 0, felső korlátja nincs, nagyobb értékei rosszabb illeszkedésre utalnak.

Felsőoktatásban résztvevő hallgatók száma

Lineáris trend számítása A becslést a legkisebb négyzetek módszerével elvégezve először felírjuk a normálegyenletek számokkal kitöltött formáját majd az egyenletrendszert megoldva adódik.

Felsőoktatásban résztvevő hallgatók száma 1989 – 2004 között ezer fő t=évek sorszáma

Lineáris trend számítása A két becsült paraméter azt jelenti, hogy t=0 esetén, azaz 1988-ban a trend szerint 54,17 ezer hallgató iratkozott be és számuk évente átlagosan 10,73 ezer fővel nőtt. A függvény jó illeszkedését az ábra is megerősíti.