Alapfogalmak Matematikai Statisztika

Az előadások a következő témára: "Alapfogalmak Matematikai Statisztika"— Előadás másolata:

1 Alapfogalmak Matematikai Statisztika
előadó: Ketskeméty László Matematikai Statisztika Gazdaságinformatikus szak, MSc képzés Kötelezően választható tantárgy

2 A sztochasztikus folyamat
Ketskeméty László: Statisztika II.

3 A sztochasztikus folyamat
Ketskeméty László: Statisztika II.

4 Ketskeméty László: Statisztika II.
Jellemzők Ketskeméty László: Statisztika II.

5 Ketskeméty László: Statisztika II.
Jellemzők Parciális autokorrelációs függvény (PACF): Ketskeméty László: Statisztika II.

6 Ketskeméty László: Statisztika II.
Jellemzők keresztkovariancia függvény (CVF) keresztkorrelációs függvény (CCF) Ketskeméty László: Statisztika II.

7 Ketskeméty László: Statisztika II.
Xt és Yt autokorrelációs és keresztkorrelációs együtthatóinak szemléltetése t t+k t-k Xt Yt rXX(k) ccfXY(-k)= ccfYX(k) ccfXY(k) rYY(k) Ketskeméty László: Statisztika II.

8 Ketskeméty László: Statisztika II.
Gyenge stacionaritás Ketskeméty László: Statisztika II.

9 Ketskeméty László: Statisztika II.
Erős stacionaritás Az N-dimenziós eloszlások nem függenek a paraméter helyétől, hanem csak azok egymáshoz viszonyított helyzetétől. Az eloszlások a paraméterek eloszlásával szemben invariánsak. erős stacionaritás  gyenge stacionatritás Ketskeméty László: Statisztika II.

10 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Ha a komponensek nemcsak korrelálatlanok, hanem függetlenek is, akkor független vagy tiszta fehér zajról beszélünk. Amennyiben a komponensek normális eloszlásúak is, akkor a fehér zaj Gaussi vagy normális is. Ketskeméty László: Statisztika II.

11 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
ARIMA(0,0,q)=MA(q) modellek: Gaussi tiszta fehérzaj folyamat, azaz teljesen független, normális eloszlású változók sorozata ahol A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat elemeinek lineáris kombinációjaként áll elő. Xt és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat együtthatói a b0 ,b1 ,…,bq . Ketskeméty László: Statisztika II.

12 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Autoregresszív folyamatok ARIMA(p,0,0)=AR(p) Az autoregresszív folyamat a megelőző p megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy független et hiba összegeként regresszálódik. Az AR(p) folyamat együtthatói az a1 ,…,ap ,  . Ketskeméty László: Statisztika II.

13 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Általános autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q) Integrált autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,d,q) modellek: A d-edik deriváltsor ARMA(p,q) sor első deriváltsor második deriváltsor Stb. Ketskeméty László: Statisztika II.

14 Ketskeméty László: Statisztika II.
A legáltalánosabb esetben még szezonalitás is van, ekkor a jelölés: ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) Az általános formulában P a szezonális autoregresszió rendje, Q a szezonális mozgóátlag rendje, D pedig a szezonális differenciálás foka, amelyek mind az s hosszúságú szezonalitás egész számú többszöröseiként értendők. Pl. Egy s hosszúságú szezonalitást tartalmazó idősor szezonális differenciálásának a definíciója: dYt = Yt – Yt-s A deriválás célja itt is az, hogy az idősort stacionerré tegyük: az eredeti idősor derivált sora így lesz ARMA típusú. Ketskeméty László: Statisztika II.

15 Ketskeméty László: Statisztika II.
AR(4) MA(4) ARMA(4,4) AR(6) ARIMA(6,1,0) ARIMA(2,1,0) Ketskeméty László: Statisztika II.

16 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Markov-folyamat Ketskeméty László: Statisztika II.

17 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Harmonikus folyamat Ketskeméty László: Statisztika II.

18 Néhány fontosabb sztochasztikus folyamat
Gauss-folyamat Ketskeméty László: Statisztika II.

19 Az idősorok alkalmazásai
Előrejelzés, predikció vagy extrapoláció Célunk, hogy a múltbeli lefolyás alapján a folyamat jövőbeli lefolyását szabályozott pontossággal megbecsüljük. Ketskeméty László: Statisztika II.

20 Az idősorok alkalmazásai
Adatpótlás, interpoláció Ilyenkor az a feladat, hogy az idősor adott időléptékű realizációja alapján „köztes” időpontokban becsüljük meg a lehetséges értékeket. Például egy hiányzó hőmérsékleti adatot egy idősorban, vagy napi adatsorban a „délelőtti” (félnapi) adatokat. Ketskeméty László: Statisztika II.

21 Az idősorok alkalmazásai
Folyamatszabályozás Ilyenkor a vizsgált idősor egy most éppen zajló gyártási folyamat adatait tartalmazza. Célunk, hogy kontrolláljuk a folyamatot, ellenőrizzük, hogy minden szabályosan történik, vagy be kell-e avatkoznunk. Ketskeméty László: Statisztika II.

22 Ketskeméty László: Statisztika II.
Az idősorok modelljei Determinisztikus modellek Simító eljárások, exponenciális szűrések Spektrálfelbontás Box-Jenkins modellezés Ketskeméty László: Statisztika II.

23 Az idősorok modelljei I.
Dekompozíciós vagy determinisztikus modellek MULTIPLIKATÍV MODELL A ciklikus hatás ADDITÍV MODELL A trendfüggvény A szezonális hatás A zaj (hibatag) Ketskeméty László: Statisztika II.

24 Dekompozíciós (determinisztikus) modellek I.
X1, X2, …, Xt, …, XN Az idősor adatok Xt = Tt + St + Ct + Zt t = 1, 2, …, N (additív modell) A hosszútávú tendenciát kifejező, a teljes időtartományon megmutatkozó hatás Tt A trendfüggvény St Rövidebb ismétlődő periódusokban jelentkező hatás A szezonális hatás Hosszabb, szabálytalanul ismétlődő ciklikus hatás Ct A ciklikus hatás Zt A zaj A mérési hibatag: fehér zaj (0 várhatóértékű, kis szórású) Ketskeméty László: Statisztika II.

25 Dekompozíciós (determinisztikus) modellek I.
X1, X2, …, Xt, …, XN Az idősor adatok Xt = Tt * St *Ct * Zt t = 1, 2, …, N (multiplikatív modell) A hosszútávú tendenciát kifejező, a teljes időtartományon megmutatkozó hatás Tt A trendfüggvény St Rövidebb ismétlődő periódusokban jelentkező hatás A szezonális hatás Hosszabb, szabálytalanul ismétlődő ciklikus hatás Ct A ciklikus hatás Zt A zaj A mérési hibatag: fehér zaj (1 várhatóértékű, kis szórású) Ketskeméty László: Statisztika II.

26 Az idősorok modelljei II.
Simító eljárások (exponenciális szűrés) A simító eljárások a sztochasztikus modellezésnél egyszerűbb, áttekinthetőbb modelleket állítanak fel. A determinisztikus modellezésnél jobban figyelembe veszik az idősor véletlen jellegét, belső összefüggéseit. Ugyanakkor a „valódi” sztochasztikus modellezésnél egyszerűbb, áttekinthetőbb modelleket állítanak fel. Egyfajta „közbenső” pontosságú és komplexitású modell-családot alkotnak. Ez a modell-család onnan kapta a nevét, hogy az idősor t-edik elemét a múltbeli elemek exponenciálisan csökkenő súlyokkal vett lineáris kombinációjával becsüli. Ketskeméty László: Statisztika II.

27 Az idősorok modelljei III.
Sztochasztikus modellek (ARIMA-modellek ) A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az idősor adatai között meglévő, valamilyen belső sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetőleg a jövőbeni lefolyás során is jelen lesz. Ketskeméty László: Statisztika II.

28 Az idősorok modelljei III.
Sztochasztikus modellek (ARIMA-modellek ) A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA modellekben lehetséges. Az ARIMA modellek az idősor adatai között valamilyen meglévő, belső sztochasztikus koherenciát feltételeznek, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetőleg a jövőbeni lefolyás során is jelen lesz. Ha ezt a belső koherenciát sikerül azonosítani, az ennek alapján felállított ARIMA modell igen pontos előrejelzéseket képes adni. Ketskeméty László: Statisztika II.

29 Az idősorok modelljei III.
Sztochasztikus modellek (ARIMA-modellek ) Az ARIMA modellek lényege, hogy az időben lejátszódó folyamatokat saját korábbi értékeik, valamint a véletlen hatások (zajok) függvényeként írják le, meghatározó szerepet biztosítva ezzel a véletlen és a tehetetlenség folyamatalkotó szerepének. Elsősorban a folyamatokban meglévő rövidtávú ingadozások leírására és előrejelzésére alkalmasak. Mivel az egyes időpontokra gyakran csak egy-egy megfigyelés - a megfigyelt idősor - áll rendelkezésre, a változókra nézve korlátozó feltételezéseket kell bevezetni. Ilyen feltételezés a stacioneritás: E(Xt), Var(Xt) és Cov(Xt, Xt-k) időbeli állandósága (a folyamat csak akkor stabil, ha „időinvariáns”). Ketskeméty László: Statisztika II.

30 Az idősorok modelljei III.
Sztochasztikus modellek (ARIMA-modellek ) Az ARIMA betűszó egy rövidítés: ARIMA = AutoRegressive Integrated Moving Averages Az AR (AutoRegressive) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értékét a múltbeli idősor értékek súlyozott összege (lineáris kombinációja) és egy korrelálatlan hibatag összege adja meg. Az MA (Moving Averages) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értéke a múltbeli fehérzaj értékek súlyozott összegeként (lineáris kombinációjaként) állítható elő. Az I (Integrated) modellt akkor alkalmazzuk, ha az Xt idősor nem stacioner, de véges számú deriválással azzá tehető. Tipikusan ez a helyzet, ha az idősor kumulatív hatásokat tükröz. Pl. a raktárkészletet nem határozzák meg egyetlen időszak beszerzései és eladásai, ezek csupán a raktárkészlet változásait határozzák meg. Ketskeméty László: Statisztika II.

31 Alkalmazási területek
Közgazdaságtan Természettudományok Meteorológia Orvostudomány Szociológia Pszichológia Biztosítás Ipar, gépgyártás Ketskeméty László: Statisztika II.

32 Alkalmazási területek
Idősorelemzések gyakorlati alkalmazásai: meteorológiai adatok (pl. napi átlaghőmérsékletek, csapadékmennyiségek, napsütéses órák száma, UV sugárzás intenzitása, etc.), gazdasági adatok (pl. éves GDP, adósságállomány, acélgyártás, búzatermelés, napi tőzsdeindexek, etc.), mezőgazdasági adatok (pl. éves búzatermelés, bortermelés, megművelt földterület, etc.), egészségügyi adatok (pl. bizonyos új megbetegedések napi száma, új AIDS fertőzöttek évi száma, etc.), munkapszichológiai adatok (pl. munkahelyi emberi hibák, balesetek napi száma, éves fluktuáció, etc.), biológiai jelek, mintázatok (pl. EKG, EEG, EMG, PET, fMRI, etc.), etc. mérési adatok elemzése, feldolgozása. Ketskeméty László: Statisztika II.