Dinamikai rendszerek kaotikus viselkedése 3. előadás

Nemlineáris jelenségek a természetben

Kaotikus rendszerek Pillangóhatás: kaotikus rendszerek érzékenysége a kezdeti állapotra determinisztikus káosz

Ökológiai rendszerek Szigeten élő rovarfaj: az egyedek nyáron felnőnek és tojásokat raknak, ezek következő tavasszal kelnek ki diszkrét időlépésenként következik be a populáció növekedése korlátozatlan populáció, végtelen növekedés figyelembe veszünk korlátozó tényezőket (pl. a terület eltartóképességét) sűrűségfüggő növekedés nemlineáris!!! újraskálázott egyenlet: helyettesítéssel kontroll paraméter logisztikai térkép

Feladatok Tanulmányozzuk a rendszer viselkedését r = 0.24 paraméterre különböző x0-ra. Igazoljuk, hogy az x=0 egy stabil fixpont. Tanulmányozzuk a rendszer viselkedését r = 0.26, 0.5, 0.74 és 0.748-ra. Egy fix pont instabil, ha az összes hozzá közeli x0-bol kiindulva a rendszer divergál. Igazoljuk, hogy az x=0 instabil, ha r > 0.25. Igazoljuk, hogy egy kezdeti tranziens időszak után a rendszer viselkedése állandósul (a hosszútávú dinamikai viselkedése 1 periódusú). Igazoljuk, hogy r < ¾ esetén bármilyen kezdőállapot az x = 1-1/4r –hez konvergál. stabil attraktor Tanulmányozzuk a rendszer dinamikáját r = 0.752, 0.76, 0.8 és 0.862-re. (kb 1000 tranziens lépés után) Igazoljuk, hogy kicsivel 0.75 fölött a rendszer két stabil érték között oszcillál (2 periódusú). az r érték, ahol a viselkedés átvált 2 periódusúba a bifurkációs pont Keressük meg a stabil attarktorokat r = 0.863, 0.88, 0.89, 0.891, 0.8922 – re. Melyek a megfelelő periódusok?

Bifurkációs diagram A tranziens időszak után ábrázoljuk az x értékeket az r függvényében. Kvalitatív tulajdonságok Azonosítsuk a 2, 4, 8 periódusú tartományokat. Hány periódus duplázódás észlelhető? r∞= 0.892486417967... Változtassuk meg az ábrázolás skáláját, hogy megállapítsuk a 4-16 periódusú tartományokat. Hogy néz ki a diagram az új skálán az eredetihez képest? A bifurkációs pont közelében a pálya alakja miatt „vasvilla bifurkációnak” nevezik. Kaotikus viselkedés r > r∞ esetén két nagyon közeli kezdőálapot nagyon különböző pályákoz vezet. pl. r = 0.91, x0 = 0.5, 0.5001 Hány iterációra van szükség, hogy a pályák több mint 10%-ban különbözzenek? Mi történik r = 0.88 esetén? A számítógép pontosságának hatása. Végezzük el az előbbi iterációt azzal a módosítással, hogy minden lépésben elvégezzük az x = x/10 és az x = x*10 műveleteket (ezzel levágjuk az utolsó számjegyet). Hasonlítsuk össze a pályákat! Mik a rendszer tulajdonságai r = 0.958-ra?

Feingenbaum szám a bifurkációs pontok közötti r intervallumok csökkennek feltételezzük, hogy mértani haladvány szerint ez csak végtelen határesetben lesz igaz Néhány bifurkációs pont alapján határozzuk meg a Feingenbaum számot és segítségével becsüljük meg az r∞ értékét!

A káosz mérése Kaotikus rendszer érzékeny a kezdeti állapotra A számítógép véges pontossága miatt csak rövid idejű pályák számolhatók. A logisztikai térkép determinisztikus, a pálya előrejelzése mégis korlátozott!!! Számszerűsítés Két azonos rendszert nagyon közeli kezdőállapotból kiindítva, vizsgáljuk a két pálya közti különbséget. A pályák eltérése exponenciális. Lyapunov exponens A kaotikus viselkedést a szomszédos pályák exponenciális divergenicája jellemzi. r = 0.91, x0 = 0.5, 0.5001 Mivel az exponens értéke függet x0 megválasztásától, sok x0-ra ki kell átlagolni. Mivel x a [0,1]-en vesz fel értékeket, ez eleve korlátozza a Dx-et.

A káosz mérése logaritmáljuk a kifejezést a teljes pályára, a tranziens időszak után írhatjuk, hogy nagyon közeli pályák különbsége Feladat Határozzuk meg a Lyapunv exponens értékét az első módszerrel. Mi történik nagy n esetén? (r = 0.91, 0.97, 1.0, x0 = 0.5, Dx0 = 10-6). Változik az érték az x0 és Dx0 változtatásával? Határozzuk meg a Lyapunov exponens értékeit a második módszerrel az r = [0.7,1.0] intervallumban 0.01 lépésenként. Milyen előjelű, ha a rendszer nem kaotikus? Ábrázoljuk az r függvényében és értelmezzük az eredményt a bifurkációs diagram segítségével!