Lineáris függvények

Lineáris függvények ábrázolása 1) Vízszintes, függőleges és ferde grafikonok 2) y = ax + b (Gyakorlás) 3) Ábrázolás táblázat segítségével 4) Ábrázolás az x = 0, y = 0 módszerrel 5) Műveletvégzés gyakorlása Koordináták Negativ számok Behelyettesítés

Vízszintes és párhuzamos egyenesek 1 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 5 (x,y) (3,4) (3,1) x y = -2 (-4,-2) (0,-2) (-4,-2) (3,-5) x = 3 Vissza

Újabb egyenesek y (x,y) (-2,4) y = 2 (-2,1) x (-4,2) (0,2) (-4,2) -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 5 (x,y) (-2,4) y = 2 (-2,1) x (-4,2) (0,2) (-4,2) (-2,-5) x = -2 Vissza

Mi lehet a szabály? (x,y) y 1 x 4 5 2 3 x = 1 x = 5 4 x = -4 3 2 y = 1 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 y = -4 4 -4 -5 5 2 3 Vissza

Ferde egyenesek (x,y) y y = x (-3,3) (3,3) (-1,1) (1,1) x (2,-2) -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 5 y = x (-3,3) (3,3) (-1,1) (1,1) x (2,-2) (-3,-3) (-4,-3) (0,1) (2,3) y = -x Vissza

Mi lehet a hozzárendelés szabálya? y = x + 1 1 -5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 5 3 y = x - 1 y = - x - 2 x y = -x + 2 4 1 2 Vissza

y = ax + b Minden lineáris függvény hozzárendelési szabálya megadható ebben az alakban. ‘b’ az y tengely metszéspontja y = ax + b ‘a’ megmutatja a függvény meredekségét Vissza

y x a és b jelentése b helyettesítési értéke: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 b helyettesítési értéke: megmutatja, hol metszi a grafikon az y tengelyt. Itt b = 3 a helyettesítési értéke: megmutatja a grafikon meredekségét. Megfigyelhetjük, hogy 1 egység jobbra haladásnál 2-t emelkedik a függvény. y = 2x +3 y = ax +b Itt a = 2 Vissza

y x Mit jelent a és b? b helyettesítési értéke: 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 b helyettesítési értéke: megmutatja, hol metszi a grafikon az y tengelyt. y = ax +b y = -x +2 Most b = 2 a helyettesítési értéke: megmutatja a grafikon meredekségét. Megfigyelhetjük, hogy 1 egység jobbra haladásnál 1-et süllyed a függvény. Most a = -1 Vissza

Definiáljuk a függvényeket x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Egyenes 1 a = b = Szabály: 1 2 y = x + 2 Egyenes 2 a = b = Szabály: 1 -1 y = x - 1 Egyenes 3 a = b = Szabály: -2 1 y = -2x + 1 Vissza

Mi a hozzárendelés szabálya? x 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5 Kattintásra megoldás! 3 1) y = x - 2 2) y = -x + 3 3) y = 2x + 2 4) y = -2x - 1 y = 1/2x+5 2 1 4 Vissza

Gyakoroljunk! Ábrázold a következő lineáris függvényeket: 1) y = x + 4 2 10) y = - x + 1 Vissza

Táblázattal dolgozunk Számítsuk ki a függvényértékeket, majd ábrázoljuk a megfelelő eredményt. Például: y = 2x + 1 x = 0 y = 2(0) +1 y = 1 x 1 2 y 3 5 x = 1 y = 2(1) +1 y = 3 x = 2 y = 2(2) +1 y = 5 Vissza

The Table Method x 1 2 y 1 3 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 1 2 y 4 3 1 3 5 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 y = 2x + 1 -3 -4 Vissza

Táblázat Készítsünk táblázatot az egyenesek pontjainak ábrázolásához: 1) y = x + 3 2) y = 2x – 3 3) y = 2 – x 4) y = 3 – 2x x 1 2 y Vissza

4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 3 1 -4 4 2 Vissza

Gyakorlófeladatok Készítsünk táblázatot, majd rajzoljuk meg a grafikonokat. 1) y = x + 2 2) y = x – 3 3) y = 2x + 4 4) y = 2x – 3 5) y = 3x + 1 6) y = 3x – 2 7) y = 1 – x 8) y = 1 – 2x 9) y = 2 – 3x 10) y = x + 1 2 2 Vissza

Az x = 0, y = 0 eset Egy újabb lehetséges megoldás, ha megvizsgáljuk, mikor lesz az x és az y értéke 0. Például: x + 2y = 4 Egy egyenes megrajzolásához 2 pontra van szükség. Vissza

Ha ismerjük a grafikon két pontját, azokat összekötve megrajzolhatjuk az egyenest. Az egyik pontot akkor kapjuk, ha x = 0 (vagyis az y tengely metszéspontja) és ha y = 0 (az x tengely metszéspontja). Vissza

y x 8 7 6 5 Itt halad át a grafikon az x – tengelyen (y=0) 4 3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Itt halad át a grafikon az x – tengelyen (y=0) Itt halad át a grafikon az y – tengelyen (x=0) Vissza

Használjuk ki a függvények ábrázolásánál a tengelyeken való metszéspontok koordinátáinak ismeretét. Vissza

Gyakoroljunk! Feladat: Ábrázoljuk az 2x + y = 4 függvényt Megoldás 1pont koordinátái = (0,4) y = 0 2x + 0 = 4 2x = 4 x = 2 2pont koordinátái = (2,0) Vissza

y x A két pontot összekötve megkapjuk a grafikont. 2x + y = 4 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 2x + y = 4 Vissza

Gyakorlás Ábrázold a függvényeket az x=0, y=0 módszerrel. 1) x + y = 5 Vissza

y x Megoldás 3x + 2y = 6 x + 2y = 2 2x + 3y = 6 x - 3y = 3 8 7 6 5 4 3 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 Megoldás 3x + 2y = 6 x + 2y = 2 2x + 3y = 6 x - 3y = 3 Vissza

Gyakorlás Ábrázoljuk az x = 0, y = 0 módszerrel a függvények grafikonjait: 1) x + y = 4 2) 2x + y = 2 3) x + 2y = 2 4) x + 3y = 6 5) 2x + 5y = 10 6) x – y = 3 7) 2x – y = 2 8) 2x – 3y = 6 9) x + 2y = 1 10) 2x – y = 3 Vissza

Mennyi a jelzett pontok koordinátája? -1 1 -5 -4 -3 -2 5 4 3 2 (x,y) Mention the order of cartesian co-ordiantes (x is a-cross) Vissza

Negativ Számok (1) 2 + 3 (2) 6 - 5 (3) 3 - 7 (4) -2 + 6 Összeadás és kivonás (1) 2 + 3 (2) 6 - 5 (3) 3 - 7 (4) -2 + 6 (5) -1 - 2 (6) -4 + 5 (7) -2 - 2 (8) 0 – 4 (9) -3 + 6 (10) -4 - 1 (11) 6 - 8 (12) -5 - 2 (13) -8 + 4 (14) -5 - (- 2) (15) 0 - (- 1) (16) 7 - 12 + 9 (17) -4 - 9 + -2 (18) 14 - (- 2) (19) -45 + 17 (20) 4 - 5½ Vissza

Negative Számok (1) 4 x (-3) (2) (-7) x (-2) (3) -5 x 4 (4) 28 ÷ (-7) Szorzás és osztás (1) 4 x (-3) (2) (-7) x (-2) (3) -5 x 4 (4) 28 ÷ (-7) (5) -21 ÷ -3 (6) -20 ÷ 5 (7) -2 x 3 x 2 (8) -18 ÷ -3 x 2 (9) -2 x -2 x -2 (10) 2.5 x -10 Vissza

Helyettesítési érték kiszámítása Feladat Számítsuk ki a kifejezések értékét, hax = 4 : 1) x – 2 2) 2x 3) 3x + 2 4) 1 – x 5) 3 – 2x 2 8 14 -3 -5 6) 4 - 2x 7) x - 3 2 8) 3 - x 9) 2x – 6 -4 -1 1 2 Vissza

Helyettesítési érték kiszámítása, ha x = -1 : Feladat Helyettesítési érték kiszámítása, ha x = -1 : 1) x – 2 2) 2x 3) 3x + 2 4) 1 – x 5) 3 – 2x -3 -2 -1 2 5 6) 4 - 2x 7) x - 3 2 8) 3 - x 9) 2x – 6 6 -3½ 3½ -8 Vissza