P z : egy „elemi” projektív transzformáció M = ( m m m m ); P z = ( ) | m m m m | | | | m m m m | | | ( p p p p ) ( 0 0 r 1 ) az eltűnő sík: [ 0 0 r 1 ] !!

A transzformáció: X’ = P z  X = ( )  (x) = (x ) | | |y| |y | | | |z| |z | (0 0 r 1) (h) (h’); h’ = r  z + h A transzformáció eltűnő síkja: [ 0, 0, r, 1 ]; ez a z = -1/r sík; ennek pontjai: [ x, y, -1 / r, 1 ] T X’ = [ x / h‘, y / h', z / h', 1 ], ha h‘ = r  z + h  0 = [ x, y, z, 0 ], ha h‘ = r  z + h = 0;

= [ x / h', y / h', z / h', 1 ], ha h‘ = r  z + h  0 = [ x, y, z, 0 ], ha h‘ = r  z + h = 0 Z tengely  önmagába; fix egyenes XY koordináta-sík  önmagába; minden pontja fixpont z = -1/r sík  ideális sík; (az „eltűnő sík”)

= [ x / h', y / h', z / h', 1 ], ha h‘ = r  z + h  0 = [ x, y, z, 0 ], ha h‘ = r  z + h = 0 C  C’: a Z tengely ideális pontja vetítő egyenesek képe || a Z tengellyel ideális sík  z = +1 / r sík

= [ x / h', y / h', z / h', 1 ], ha h‘ = r  z + h  0 = [ x, y, z, 0 ], ha h‘ = r  z + h = 0 Z-vel || egyenesek  : XY síkmetszete marad ideális pontja: [0,0,1/r,1] Az XY síkkal || sík  || XY

A C pont képe a Z tengely ideális pontja C = Z tengely × eltűnő sík = [0, 0, -1/r, 1]; „vetítési középpont” X’ = P z  X = ( )  (x) | | |y| | | |z| (0 0 r 1) (h) = [x, y, z, r  z+h] = [x/h',y/h',z/h',1], ha h'=r  z+h  0 = [x, y, z, 0 ], ideális pont, ha h'=r  z+h=0; C’= [x, y, z, r  z+1] = [0, 0, -1/r, 0 ] ~ [0, 0, 1, 0 ] = Z i !!

A vetítő egyenesek képe || a Z’ tengellyel A C - n átmenő egyenesek: „vetítősugarak” A transzformáció illeszkedést tartó: - a z = 0-s döféspont (az XY síkon) helyben marad, - a C pont képe: a Z tengely ideális pontja: A vetítősugarak képe párhuzamos a Z’ tengellyel.

Az ideális sík képe a z = 1/r sík X = [x, y, z, 0] : az ideális síkon X’ = [x, y, z, r  z+h] = [x, y, z, r  z] = [x’, y’, 1/r, 1];

A Z tengellyel || egyenesek képe... z = 1/r-be „összetart” A transzformáció illeszkedést tartó: - ezek XY síkon való pontja helyben marad, - közös pontjuk a Z i - ennek képe: [0, 0, 1/r, 1]

Az XY síkkal || síkok  || XY Párhuzamos síkoknak közös az ideális egyenese; itt ez az XY sík ideális egyenese. de az XY sík minden pontja fixpont, ideális egyenese is fix-egyenes, vagyis helyben marad, ezért mindegyik sík ideális egyenese helyben marad; a síkok párhuzamosok maradnak ! (Helyük átrendeződik, csak az XY sík marad helyben.)

Az origón átmenő síkok fixsíkok Az origó: O = [0, 0, 0, 1] Egy rajta átmenő sík: s = (a, b, c, 0); (s  O = 0) Minden pontjára: s  P’ = (a, b, c, 0)  [x, y, z, 1] = 0, de akkor s  P’ = (a, b, c, 0)  [x, y, z, r  z+1] = 0

= [ x / h', y / h', z / h', 1 ], ha h‘ = r  z + h  0 = [ x, y, z, 0 ], ha h‘ = r  z + h = 0 Z tengellyel || egyenesek  a távolsággal összetartanak A távolságok látszólagos rövidülése A párhuzamosok látszólagos összetartása

Összefoglalva: X’= P z  X esetén A Z tengely fix egyenes C’ = a Z tengely ideális pontja A vetítő egyenesek képe || a Z tengellyel A Z -vel || egyenesek képe z = 1/r -ben metszi a Z tengelyt Az XY sík minden pontja fixpont A z = -1/r sík képe az ideális sík; „eltűnő sík” Az ideális sík képe a z = 1/r sík Az XY síkkal || síkok képe is || XY Az origón átmenő síkok fixsíkok

A tér átrendeződése - olv

A tér átrendeződése

Az eltűnő sík problémája  A kamera mögött kezdődő és előtte végződő szakaszok!  ideális sík  z =1/r –be  kamera síkja (z=0)  ideális sík  kamera elötti (z>0)  kamera előtti, 0 < z < 1/r  kamera mögötti (z<0)  kamera előtti, 1/r < z < +   Megoldás: közelsík; a mögöttes elhagyása („vágás”)  Távolsík: közelképeknél, vágás mélységben, távolképeknél: t = +  (1/t = 0) (a végtelent a 0 ≤ z’ <1/r –re “zsúfolja” be)