Logika 6. Logikai következtetések Miskolci Egyetem Állam- és Jogtudományi Kar Jogelméleti és Jogszociológiai Tanszék 2011. március 17.

Érvényes következtetések, következményreláció igaz premisszák  a logika szabályainak betartása esetén szükségszerűen igaz konklúzió Az érvényességet kizárólag 1. az állítások logikai szerkezete és 2. a logikai szavak jelentése biztosítja Az állítások között feltárható viszony, kapcsolat 1. nem maguk az állítások között, hanem 2. az állítások – formulákkal, sémákkal kifejezett – logikai szerkezete között áll fenn. Logikai következtetés: állítások logikai szerkezete közötti olyan viszony feltárása, amelyben az egyik állítás a többi logikai következményeként szerepel  ezt a viszonyt következményrelációnak nevezzük: P  K, {A1, A2, …, An}  B

Érvényes következtetések A következtetési séma (mint formulák nem üres halmaza) kielégíthető: lehetséges a benne szereplő paraméterek (betűjelek) olyan interpretálása, hogy a sémát alkotó formulák együttesen igazak legyenek kielégíthetetlen: nem lehetséges ilyen interpretáció; logikai törvény zárja ki a kielégíthetőséget  logikai lehetetlenség, logikai ellentmondáson alapul releváns: a konklúzióban szereplő valamennyi nem-logikai alkatrész paramétere (erős relevancia), de legalább egyikük (gyenge relevancia) előfordul a premisszák valamelyikében  tényleges kapcsolatteremtés: az a konklúzió azoknak a premisszáknak a következménye érvényes: a premisszák igazsága – a logikai szerkezet és a logikai szavak jelentése folytán – szükségszerűen eredményezi a konklúzió igazságát  a premisszák igazsága és a konklúzió hamissága együttesen logikai lehetetlenség

Nevezetes következtetési formák Elvileg végtelen számú következtetési forma eredményezhet érvényes következtetést Néhányat korábban már említettünk: logikai igazság: A bármely premissza mellett érvényes következtetés pl.: (p  p), (p  p),  (p & p) logikai ekvivalencia: A  B a két formula kölcsönösen egymás következménye: A  B és A  B, azaz A  B Vannak a hagyomány által nevesített következtetési formák – középkori elnevezésekkel (ezeket vesszük sorra a következő oldalakon) A következtetési sémákban formulák betűjelei szerepelnek  a következtetések a formulák tetszőleges logikai sémákkal való behelyettesítésük esetén is érvényesek

Nevezetes következtetési formák Modus ponendo ponens – „állítva állító mód” (T41) {A  B, A}  B Igaz kondicionálisból az igaz előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag is igaz. {„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Esik az eső.”}  „Sáros a mező.” Modus tollendo tollens – „tagadva tagadó mód” (T42) {A  B, B}  A Igaz kondicionálisból a hamis utótagot leválasztva a következtetésként fennmaradó előtag is hamis. {„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Nem sáros a mező.”}  „Nem esik az eső.”

Nevezetes következtetési formák Modus ponendo tollens – „állítva tagadó mód” (T43) {(A & B), A} B  {A  B, A}  B Állító előtagból és tagadó utótagból álló igaz kondicionálisból az állító előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag tagadó. {„Nem igaz, hogy (esik az eső és süt a Nap).” (azaz: „Ha esik az eső, akkor nem süt a Nap.”), „Esik az eső.”}  „Nem süt a Nap.”

Nevezetes következtetési formák Modus tollendo ponens – „tagadva állító mód” (T44) {A V B, A} B  {A  B, A}  B Tagadó előtagból és állító utótagból álló igaz kondicionálisból a tagadó előtagot leválasztva a következtetésként fennmaradó utótag állító. {„Vagy esik az eső, vagy süt a Nap.” (azaz: „Ha nem esik az eső, akkor süt a Nap.”), „Nem esik az eső.”}  „Süt a Nap.”

Nevezetes következtetési formák Tiszta hipotetikus szillogizmus: olyan kétpremisszás következtetési forma, amelyek tisztán csak feltételes állításokat (hipotetikus állításokat) tartalmaz (T45) {A  B, B  C}  A  C (ez az ún. láncszabály, vagy tranzitív tulajdonság) {„Ha esik az eső, sáros a mező.”, „Ha sáros a mező, haragszik a katona.”}  „Ha esik az eső, haragszik a katona.”

Kategorikus szillogizmusok { (G, H), (F, G) }  (F, H) Példa: „Ha minden ember halandó, és minden görög ember, akkor az összes görög halandó.” felső tétel (premissa maior) alsó tétel (premissa minor) konklúzió

Kategorikus szillogizmusok Kategorikus szillogizmus: olyan kétpremisszás következtetési forma, amelyek kategorikus állításokat (a, e, i, o) tartalmaz { (G, H), (F, G) }  (F, H) terminusok: a kategorikus állításokat felépítő predikátumok (F, G, H) Az egyik premisszában H és G terminusok, közülük H a konklúzió állítmánya  felső tétel (premissa maior) A másik premisszában G és F terminusok, közülük F a konklúzió alanya  alsó tétel (premissa minor) Kapcsolatteremtő G, az ún. középfogalom (tertium medium)

Kategorikus szillogizmusok Lehet több lehetőség is, ezek csak példák! Módozatok: aaa : „Minden ember halandó. – Minden ember férfi – Minden férfi halandó.” eae : „Egy hüllő sem emlős. – Minden kígyó hüllő. – Egy kígyó sem emlős.” aii : „Minden tigris ragadozó. – Némely állat tigris. – Némely állat ragadozó.” { felső tétel, alsó tétel }  konklúzió a Barbara e Celarent i Darii

Kategorikus szillogizmusok A szillogizmus alakzatán a középső terminus helyzetének megadását értették A II. alakzatra egy példa: „Minden becsületes ember fizeti az adókat. – XY nem fizeti az adókat. – XY nem becsületes ember.” Felső tételben Alsó tételben I. alanyként állítmányként II. III. IV. I II III IV G–H F–G H–G G–F felsőtétel (premissa maior) alsótétel (premissa minor) alany – állítmány

Kategorikus szillogizmusok A legegyszerűbb és legfontosabb szillogizmus az I. alakzat aaa (Barbara) módozata: „Ha minden ember halandó, és minden görög ember, akkor az összes görög halandó.” { (G, H), (F, G) }  (F, H) { x.[G(x)  H(x)], x.[F(x)  G(x)] }  x.[F(x)  H(x)] ez a kvantifikációs láncszabály

Szillogizmusok és a JOG A szillogizmusok alapja és modellje: a kategorikus szillogizmusok Számunkra (= a jog számára) a hipotetikus szillogizmusok bírnak kiemelkedő jelentőséggel A tiszta hipotetikus szillogizmus: mindkét premisszája és konklúziója is hipotetikus állítást tartalmaz (ezt vizsgáltuk a mai órán már: 8. slide) „Ha a gyerek lázas, akkor beteg. – Ha beteg, akkor orvost kell hozzá hívni. – Ha a gyerek lázas, akkor orvost kell hozzá hívni.” Vagy pedig felső tétele tartalmaz hipotetikus állítást „Ha a lélek mindig mozog, akkor a lélek halhatatlan. – A lélek mindig mozog. – Tehát a lélek halhatatlan.”  a jogalkalmazás logikai szerkezete „Ha valaki (Aki) másnak vétkesen és jogellenesen kárt okoz, köteles azt megtéríteni. [normaszöveg, törvényi tényállás] – XY vétkesen és jogellenesen kárt okozott másnak. [történeti tényállás] – Tehát XY köteles a kárt megtéríteni. [jogalkalmazás]”

Következtetések ellenőrzése Az analitikai táblázat módszere A premisszákban és a konklúzióban szereplő igazságfunktorok egybevetésén alapuló módszer A következtetés akkor érvényes, ha az igaz premisszákból és a hamis/negált konklúzióból álló formulahalmaz nem elégíthető ki (indirekt bizonyítás) A módszer alkalmazása: Logikai elemzés: a logikai szerkezet feltárása, betűjelekből és logikai jelekből álló formulákban való kifejezése Az alternatív igazságfelvételeket sorra véve kell levezetni, hogy alkot-e logikai ellentmondást a premisszákkal a negált konklúzió – ha igen, akkor a konklúzió helyes, a következtetés érvényes

Következtetések ellenőrzése Az analitikai táblázat módszere Az analitikai táblázat módszerét mi is alkalmaztuk már, igaz egyszerűsített formában (erősebb alkalmazására nem is lesz szükségünk), logikai ekvivalenciákra (ahol, ha az egyik oldal premissza, akkor a másik oldal konklúzió – és természetesen megfordítva) Mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve vezettük le, mutattuk meg a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás) (tehát mi a konklúziót nem negáltuk, és azt vezettük le, mutattuk meg, hogy nincs logikai ellentmondás) A konjunkció és az alternáció duálisainál láttuk például, hogy: p V q  (p & q) p q p q p V q p & q (p & q) 1

Következtetések ellenőrzése Az analitikai táblázat módszere Nézzünk meg egy olyan esetet, ahol a felírt/feltételezett ekvivalenciánk nem állja ki az analitikai táblázat módszerével történő ellenőrzés próbáját! p V q  p  q Itt mindkét oldal alternatív igazságfelvételeit sorra véve igyekszünk megmutatni a két oldal igazságértékeinek megfelelő egybeeséseit (direkt bizonyítás), miközben logikai ellentmondásra jutunk. A 4. előadás 11. diáján megtalálható a fenti törvény érvényes módosítása (T18), és annak táblázatos ellenőrzése/igazolása is. p q p V q p  q p q p  q 1

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramok módszere A logika és a halmazelmélet egymásra vonatkoztatása Az elkészítendő ábrán egy négyzet jelképezi a tárgyalási univerzumot, az azon belül elhelyezett körök/oválisok a formulákban szereplő predikátumok terjedelmét. Az egymást metsző alakzatok által kimetszett mezők jelzik a logikai kapcsolatokat (pl. a közös tartomány a predikátumok konjunkcióját) – a logikai műveletek tárgyalásánál (3. előadás) mi is minden esetben megnéztük az egyes műveletek halmaz-ábráit, Venn-diagramjait is Ellenőrzés/bizonyítás menete: Ábrázoljuk ilyen módon a premisszákat, és előáll a konklúzió ábrája, vagy ábrázoljuk ekként a premisszákat és a konklúziót is, és ugyanazt az ábrát kapjuk.

Következtetések ellenőrzése Venn-diagramok módszere Nézzük meg most is p V q  (p & q) ellenőrzését! Mind a két módszert érdemes egyszerűbb logikai törvények, logikai következtetések ellenőrzésére/igazolására önállóan is kipróbálni.