Klasszikus mechanikai kéttestprobléma és merev test szabad mozgása állandó pozitív görbületű sokaságon Kómár Péter témavezető: Dr. Vattay Gábor

2 Az előadás vázlata I.Görbült Univerzum II.Háromgömb ( S 3 ) III.Kéttestprobléma S 3 -on IV.Számítógépes szimuláció V.Merev test mozgása S 3 -on VI.Következtetés

3 I. Görbült Univerzum ○Kozmológiai elv –Homogenitás –Izotrópia ○Kozmológiai modellek –3+1 dimenziós sokaságok ○Asztrofizikai mérések → görbület  0 (  hiba) R t A B

4 ○Sokaság(3+1) = térbeli(3) × időbeli(1) ○Homogén és izotróp geometriák: – S 3 – szférikus – R 3 – euklideszi – H 3 – Bolyai-féle ○Reprezentáció: I. Görbült Univerzum y z x w S3S3 R3R3 H3H3

5 II. Háromgömb ○Definíció: –„A négydimenziós gömb felszíne” ○Tulajdonságai: –Minden irányban „körbeér”, főkörök mentén –Térfogata véges (2  2 R 3 ), de nincs határa –Szimmetriái: SO(4)

6 III. Kéttestprobléma S 3 -on ○Mozgásegyenletek –4 komponensű vektorok + kényszer – U * ( d ) = U ( r 1  r 2 ) kölcsönhatási potenciál d : invariáns távolság: –Hamilton-elvből: d r1r1 r2r2 (és ugyanez 1  2 cserével)

7 ○Tömegközépponti és relatív koordináta: –Kényszerek ( Q, D ) –Mozgásegyenletek ( Q, D ) –DE nincs Galilei-invariancia  Nem szeparálható a mozgás! ○Perturbációs közelítés: –együttmozgó koordinátarendszer –kis méret, gyors belső forgás  tehetetlenségi erők  D Q r1r1 r2r2 III. Kéttestprobléma S 3 -on

8 IV. Számítógépes szimuláció ○Gravitációs kölcsönhatás: ○Algoritmus: ○Cél:, ahol Negyedrendű Runge-Kutta max. 5%-os energia hibával Görbület + transzláció → TKP mozgás perturbációja

9 ○TKP mozgása: –Speciális eset: –TKP pályasugara, r TKP ( R ) IV. Számítógépes szimuláció Belső forgásTranszláció S 2 -re korlátozott mozgás É D egyenlítő

10 V. Merev test mozgása S 3 -on ○4D-s forgómozgás: –Pozíció: –Duális szögsebesség: –Duális tehetetlenségi nyomaték: 3D-s merev test S 3 -on = 4D-s m. t. egy ponton rögzítve

11 ○Főtengely rendszer: ○Euler-egyenletek: V. Merev test mozgása S 3 -on diagonalizálható „diagonalizálható” ( a. és b. tengelyek síkjában történő forgás) Impulzusmomentum megmaradás: Főtengely rendszerbeli derivált (6 csatolt, elsőrendű, nemlineáris diff. egy.  * 6 komponensére)

12 ○Euler-szögek: –SO(4) paraméterezése 6 szöggel: –4D + 3D + 2D polár rendszer egymásban ○Szimmetrikus merev test mozgása S 3 -on: –„Szimmetria”: 1 = 2 = 3  4 –2 Euler-szög változik, egyenletesen       Keringés + Forgás V. Merev test mozgása S 3 -on

13 VI. Következtetés ○Perturbációs közelítés: ○Számítógépes szimuláció: ○Merev test: A TKP pályáját eltérítő „tehetetlenségi” erő. S 2 -re korlátozott esetben a TKP egy < R sugarú körön mozog. Szimmetrikus eset: Forgás és keringés, egyenletesen. Univerzalitás: (Kis méretű pontrendszerekre) Belső paraméterek → TKP mozgás perturbációja (belső forgás)(oldalirányú eltérítés)

14 Összefoglalás I.Görbült Univerzum II.Háromgömb III.Kéttestprobléma S 3 -on IV.Számítógépes szimuláció V.Merev test mozgása S 3 -on VI.Következtetés (tehetetlenségi erők) ( r TKP, R ) (4D-s forgás, Főtengely renszer, Euler-egyenletek, Euler-szögek, Szimmetrikus eset) (univerzalitás)

Köszönöm a figyelmet!

16 ○Szférikus koordináták: Jacobi-determináns: II. Háromgömb (kép: Claudio Rocchini) O RR (,)(,)

17 ○Megmaradó mennyiségek: –Energia: (időeltolás) –4D-s impulzusmomentum: (SO(4)) III. Kéttestprobléma S 3 -on pl.: (0,0,0, R ) helyen lévő pontrendszerre: Transzláció Rotáció J (3) p S3S3

18 ○Belső mozgás: –Relatív távolság szélső értékei ( D max, D min ) –Közöttük eltelt idő ( T /2) –Az  kitevő R függése: IV. Számítógépes szimuláció (minden E k és E b –re) Kepler-törvény:  = 2/3

19