Hangfrekvencia, Fourier analízis 5. (III. 28) ELTE IV. Környezettudomány 2007/2008 II.félév AKUSZTIKA és ZAJSZENNYEZÉS Hangfrekvencia, Fourier analízis 5. (III. 28) Lebegés, lecsengés, kivágás, hullámcsomag. Diszperziós reláció, fázissebesség, csoportsebesség. Véges időtartamhatás, határozatlansági reláció. Hangspektrum, időállandók. Rezonátorok, Kundt cső, Helmholtz rezonátor.

szuperpoziciója ∑i is megoldás! Helmholtz egyenlet A hullámegyenlet Időfüggés kiemelve Síkhullám, gömbhullám, evanescens hullám megoldások szuperpoziciója ∑i is megoldás! ω – adott, tetszőleges v – adott, ω független Harmonikus hullámok Tetszőlegesen sok ω , csak v = ω/q !

Fourier sorok Fourier összeg

ω – adott Az alak és a frekvencia összekapcsolódik! Fourier sorok A T időben periodikus függvények Fourier-sora ω – adott ω – többszörösei is megjelennek! ω – többszörösei felharmonikusok. ω – a kvantum ω –k diszkrét sorozata A tér és idő összekapcsolódik. Az alak és a frekvencia összekapcsolódik!

Fourier sorok A háromszögrezgések Fourier-sora

Fourier transzformált Általános hullámok ω – nem egyféle Szuperpozíciók Nem harmonikus hullámok Fourier transzformált A fázis  = ωt -kx Áttérés a t időről az ω frekvenciára ! Fourier integrál Hamilton Konjugált párok: ω - t ; E - t k - x ; p - x Határozatlanság: E*t ≈ px*x ≈ ω*t ≈ 1

ω – még diszkrét ω1, ω2 ω - kis eltérés Lebegés ω – még diszkrét ω1, ω2 ω - kis eltérés csoportsebesség → burkoló diszperzió fázissebesség → alaprezgés

ω – már nem diszkrét, folytonos Lecsengés I() ~ E2() Lecsengés /időben/ → kiszélesedés /frekvenciában/ ω – indiszkrét

ω – már nem diszkrét folytonos Kivágás ω – már nem diszkrét folytonos Kivágás /időben/ → kiszélesedés /frekvenciában/

Hullámcsomag v – ω függő ω – nem adott, sokféle csoportsebesség → burkoló „csomag sebesség”

Hullámcsomag A diszperzió A diszperzió → „szétfolyás” A diszperzió → „sietés”

Terc a finomabb felosztás Frekvencia spektrumok A frekvencia skála logaritmikusan A frekvenciaarány a jellemző Frekvencia sávok Oktáv = 2x-es frekvencia Egy oktávval feljebb lévő hang az alaphang kétszerese. Pl. tipikus oktávsávos felosztás az: ⅛, ¼, ½ , 1, 2, 4, 8, 16 kHz sávszélesség relatív sávszélesség Terc (sáv) = 1/3 oktáv Terc a finomabb felosztás A tercsávos felosztást tipikuson zajszintmérés és zajanalízis során használjuk, vagy a zenében. Frekvencia szűrők

cfény = 300 000 km/s vhang = 0.33 km/s

Hangszínkép, spektrális elemzés Frekvenciamérés - hangelemzés Frekvencia-sávokban (tartományokban) Pl. elektronikus szűrőkörökkel (állandó, arányos, terc, oktáv, keskeny sávú…) Elektronikus szűrőkörök frekvencia és időbeli kép (is). A spektrális intenzitás az idő függvényében a fülben is (hallás). Időben bontva észleljük hangmagasságokat, a spektrumot, a hangszínképet.

A hallás időállandói Fizikai terjedési idők Dobhártya: „végtelenül” gyors Hallócsontok: 0.08 ms késés Csiga: 20 Hz: 3 ms késés; 100 Hz: 1.5 ms késés; 1000 Hz: 0.3 ms késés; >3000 Hz: késés nélkül Ideg-impulzus időtartam: 1ms Idegsejt feléledési idő: 1ms Dobhártyától - az agyközpontig: 3 ms – 6 ms 1 ms → 1 kHz 20 kHz → t = 0.05 ms

A hallás időállandói Jel-felismerési idő A fizikai rendszereink „berezgési” ideje - időállandója: mély hangokra: 50 ms magas : 20 ms Következmények: 20 Hz alatti hang nem hallható; 12 Hz kattanás már felismerhető. Felismeréshez megfelelő „számú” idegimpulzus szükséges.

Csőbe zárt levegőben állóhullám kimutatása Kundt-csővel. Rezonátorok Egyes frekvenciák kiemelése /tompítása A hangforrás hangjának általános erősítése Hangelemzés (Kundt cső, Helmholtz-rezonátorok) Hangszerek Hangszigetelés/csillapítás v= f  Csőbe zárt levegőben állóhullám kimutatása Kundt-csővel. A hosszában egyenletesen szétszórt kevés parafa reszeléket tartalmazó, 80-100 cm hosszú, 2-3 cm átmérőjű üvegcső , amelynek mindkét oldalról fémrúddal ellátott dugattyú zárja el. Az egyik rúd gerjeszti a longitudinális állóhullámot (a rúd szabad végét papírral dörzsöljük), a másik dugattyúval állítjuk a (hullám)hosszot.

Helmholtz-rezonátor Egy üregrezonátor kis nyílással. Egy terem (zárt /rezgő/ levegőmennyiség) és egy szűk nyílású kijárattal (kicsatolás). Egy üvegpalack is ilyen üreges rezonátor. Itt a zárt levegőmennyiség az üvegpalack széles része, a szűk nyílás a palack nyaka. A hang az üregrezonátor nyílásában mozgásba hozza a szűkületben lévő levegőt /csillapítás/ (palack nyaka). Itt a kis levegőmennyiség súrlódva rezeg egy nagyobb levegőmennyiség tetején. (Kettős üreg rezonanciája). /A kis rendszernek is van sajátrezonanciája!/ A kettős üreg rezonanciafrekvenciáját a két levegő-térfogat együttes alakja határozza meg. Az elnyelő frekvencia-módosítása egy szűk frekvenciasávra korlátozódik a nagy üreg fo rezonanciafrekvenciája körül. S = nyak nyitott része (m2) V = üreg térfogata (m3) l = nyak mélysége; r = nyak nyílásának sugara fo = rezonancia frekvencia (Hz) v = hang sebessége (340 m/s)

Helmholtz-rezonátor Ennek magassága arányos a nyílás r sugarával, és fordítottan arányos a nyílás magassága l és az üreg térfogata V szorzatának négyzetgyökével.

A rezonancia tulajdonságok és a lecsengés a)Lecsengés hosszabb ⇒ Éles rezonancia görbe Nagyobb hatásfok b)Lecsengés rövid ⇒ Lapos rezonancia görbe Egy jó hangszer Rosszabb hatásfok • mert sok hangot emel ki • az időbeli lecsengése gyors játékot tesz lehetővé.

A rezonancia tulajdonságok és a lecsengés Terem akusztika Terem rezonancia /saját hangok/: f< 500 Hz 10-14 dB Utózengés: 100 Hz - 4kHz sávban 0.2- 0.3 s Utózengés funkció szerint: Beszéd célú: 0.5- 1 s Zenei célú: 0.8- 1.8 s Túl hosszú utózengés zavaró !