Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás

Az előadások a következő témára: "Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás"— Előadás másolata:

1 Rezgőmozgás, lengőmozgás, hullámmozgás
A rezgőmozgást általában rugalmas tárgyak képesek végezni. Ilyen tárgy pl. a rugó. Ha egy rugót valamekkora erővel húznak vagy összenyomnak, akkor megnyúlik, vagy összenyomódik. A húzó (vagy összenyomó) erő egyenesen arányos a megnyúlással (vagy összenyomódással), vagyis nagyobb megnyúláshoz nagyobb erő kell. A megnyúlás nagysága függ a rugó „erősségétől” is. A rugó erősségére jellemző adata a rugóállandó. A rugóállandó jele: D mértékegysége: N/m (Newton / méter) Minél nagyobb egy rugó rugóállandója, annál „erősebb” a rugó, annál nagyobb erő szükséges a megnyújtásához. A húzóerő, megnyúlás és rugóállandó közötti összefüggés: F = D · x ahol F az erő (N -ban), x a rugó megnyúlása (méterben) (A megnyúlást lehet y-nal vagy Δl-lel is jelölni.) Minden rugalmas tárgynak megadható, kiszámolható a rugóállandója. Pl. gumikötél, trambulin, radír, íj, …

2 A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás
A rezgőmozgás időben ismétlődő, periodikus mozgás. A rezgő test áthalad azon a helyen, ahol egyensúlyban volt a kitérítés előtt, és két szélső helyzet között periodikus mozgást végez. Egy teljes periódust teljes rezgésnek nevezünk. Példák rezgőmozgásra: dugattyú a motorban, ugródeszka vége, lengéscsillapító, varrógép-tű, jojó, földrengés, trambulin, bungee jumping gumikötele, dobhártya, egyes hangszerek rezgő részei (pl. a gitárhúrnak vagy cintányérnak vagy dob tetejének minden pontja)

3 A rezgőmozgás jellemző adatai:
- Az egyensúlyi helyzettől mért pillanatnyi (előjeles) távolságot kitérésnek nevezzük. Jele: x vagy y , mértékegysége: méter (m) - A legnagyobb kitérést amplitúdónak nevezzük. Jele: A , mértékegysége: méter (m) - Egy teljes rezgés idejét rezgésidőnek (periódusidőnek) nevezzük. Jele: T , mértékegysége: secundum (s) - Egy másodperc alatt megtett rezgések számát frekvenciának vagy rezgésszámnak nevezzük. Jele: f , mértékegysége: 1/s 1 f = ----- T - körfrekvencia: ω = 2 · ¶ · f (kis görög omega betű) A harmonikus (egyenletes, nem csökkenő) rezgőmozgás kitérés – idő függvénye szinuszgörbe.

4 - A rezgőmozgás sebessége a szélső helyzetekben 0, az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor a maximális, vmax. A gyorsulása fordítva, a szélső helyzetekben maximális, középen pedig 0. Összefüggések a rezgőmozgás adatai között: · ¶ f = ω = 2 · ¶ · f ω = vmax = A · ω amax=A · ω2 T T - A harmonikus (egyenletes és nem csökkenő) rezgőmozgás az egyenletes körmozgás vetülete. Ezért a képletei, jellemzői hasonlóak, vagy azonosak: körmozgásban: rezgőmozgásban: periódusidő (T) – rezgésidő (T) fordulatszám (f) – rezgésszám (f) sugár (r) – amplitúdó (A) szögsebesség – körfrekvencia (ω) centripetális gyorsulás (acp) – gyorsulás (a)

5 Eösszes = Emozg. + Erug. + Ehely. = állandó
A rezgőmozgás mechanikai energiája Mozgási energia Mivel van sebessége, van mozgási energiája, ami ott a legnagyobb a mozgása során, ahol a sebessége, vagyis középen, és a szélső helyzetekben 0. Rugalmas energia Ha munkavégzéssel megfeszítünk egy rugót, energiája lesz, elengedve munkát képes végezni, ez a rugalmas energia. Ott a legnagyobb, ahol a rugó a legjobban kifeszül, vagy összenyomódik, tehát a szélső helyzetekben, az egyensúlyi helyzeten való áthaladáskor pedig 0. Helyzeti energia Ha a rezgő rendszer, rugó függőlegesen mozog, akkor változik a rendszer helyzeti energiája (ami a magasságtól függ (h)). Képletük: Emozg. = ·m·v Erug.= ·D·x E hely.=m·g·h A rezgőmozgást végző rendszer mechanikai energiája; a mozgási energia, a rugalmas energia és a helyzeti energia összege állandó. (Az energia megmaradás törvénye érvényes a rezgőmozgásra is.) Eösszes = Emozg. + Erug. + Ehely. = állandó

6 Saját rezgés, szabad rezgés
Ha egy rezgésre képes rendszert egy lökésszerű erőhatással hozunk mozgásba és magára hagyjuk, akkor a rendszerre jellemző rezgésidővel szabad rezgést, más néven saját rezgést végez. Rezgésideje és frekvenciája nem függ a kitérésétől csak a rugó erősségétől, rugalmasságától (rugóállandótól, D) és a rezgő test tömegétől (m). Periódusideje: m Képletben: T = 2·π· D Fonálinga A fonálinga, ha kilendítjük szintén szabad lengést végez. Lengésideje nem függ a kitérésétől, és a lengő test tömegétől sem. Csak a fonal hosszától (l) és a gravitációs erőtől, gravitációs gyorsulástól (g) függ. Periódusideje: l g

7 Ha a fonal hosszabb, a lengésidő is hosszabb lesz.
Ha a lengő testre ható gravitációs erő, és gyorsulás kisebb (pl. a Holdon), akkor a lengés ideje hosszabb lesz. Mivel a lengőmozgás lengésideje a Föld gravitációs terében csak az inga hosszától függ, időmérésre lehet használni. (Ingaóra) Az inga szélső helyzetében a mozgási energiája 0, a helyzeti energiája maximális, a középső helyzetében a mozgási energiája maximális a helyzeti minimális (vagy 0, ha onnan számoljuk a magasságot). Miközben az egyik átalakul a másik energiává, a két energia összege a mozgás során állandó (energiamegmaradás). Más példa lengőmozgásra: hinta, kugli (lengőteke), házbontó lengősúly

8 Csillapodó (csillapított) rezgés, lengés
A rezgésekre, lengésekre ható fékező erők (súrlódás, légellenállás) miatt a rezgő, lengő rendszerek csillapodó rezgést, lengést végeznek. Ekkor a rezgésidejük, lengésidejük nem változik csak az amplitúdójuk. A csillapodó rezgés kitérés-idő grafikonja: Ha a csillapodást valamilyen erővel pótolják, vagy a súrlódás, légellenállás elhanyagolható, akkor a rezgés, lengés nem áll le. Ezt csillapítatlan rezgésnek nevezik. (Pl. harmonikus rezgőmozgás) Kényszerrezgés, rezonancia Amikor a rezgő rendszer egy külső gerjesztő hatásnak megfelelően kénytelen rezegni, kényszerrezgést végez. Ekkor nem a saját rezgésének frekvenciájával rezeg. Ha a kényszerrezgés frekvenciája közel azonos a saját szabad rezgésének frekvenciájával (sajátfrekvencia), akkor rezgésének amplitúdója nagyon megnő. Ez a rezonancia jelensége. Ilyenkor az amplitúdó olyan nagymértékben megnőhet, hogy a rezgő rendszer tönkremegy. Ez a jelenség a rezonancia-katasztrófa. Pl. Takoma-híd leomlása.

9 Egyéb példák a gyakorlatban
Példák rezgőmozgásra, rugó felhasználására: - Járművek kerekeinek ütődéseit rugók csillapítják. (lengéscsillapító) - Hangszerek: gitárhúr, dob felülete, cintányér,...stb rezgőmozgást végeznek, a kiadott hang magassága függ a rezgés frekvenciájától. - felhúzós rugós órák - dobhártya, hangszál Példák ingamozgásra: - Ingaórák, hinta, házfalbontó lengősúly, lengőteke Példák rezonanciára: - Széllökések hatására berezonálhatnak az ablaküvegek. - Ha az autóban kilazult egy csavar, bizonyos motorfordulatszámnál (frekvenciánál) berezonál a motor, vagy az autó egy alkatrésze. - Hidakon nem szabad katonáknak egyszerre lépve menni.

10 Csatolt rezgés Két rezgés (vagy lengés) összeköttetésben (csatolásban) van egymással. A csatolás miatt átadják egymásnak energiájukat, és így az egyik rezgését (lengését) átveszi a másik, és aztán fordítva. Az anyagok belsejében a részecskék között van kapcsolat, így a részecskék át tudják adni a rezgőmozgásuk energiáját a szomszédjuknak, így a sorozatos „csatolt rezgések”-ből alakul ki egy anyagban a hullámmozgás.

11 Két fajta terjedési módot különböztetünk meg:
Mechanikai hullámok Mechanikai hullámnak nevezzük, ha egy anyagban az anyag részecskéinek rezgésállapota továbbterjed. A mechanikai hullám terjedéséhez tehát szükség van valamilyen anyagra (légüres térben nem terjed). Két fajta terjedési módot különböztetünk meg: 1. Az anyag részecskéinek rezgése merőleges a hullám terjedésének irányára (transzverzális hullám). Hullámhegyek és hullámvölgyek alakulnak ki. 2. Az anyag részecskéinek rezgése párhuzamos a hullám terjedési irányával (longitudinális hullám). Sűrűsödések és ritkulások alakulnak ki az anyagban.

12 A haladó hullámra jellemző mennyiségek:
Amplitúdó: a legnagyobb, maximális kitérés nagysága jele: A, SI mértékegysége: m (egyéb mértékegységek: dm, cm, mm, …) Hullámhossz: két azonos rezgési fázisban levő pont távolsága jele: (lambda) SI mértékegysége: m Periódusidő: az az időtartam, amely alatt az anyagban terjedő hullám egy hullámhossznyi utat tesz meg. jele: T SI mértékegysége: s (sec) Frekvencia: Az anyag egy pontján 1 s alatt áthaladt hullámok száma, amely egyenlő az anyag részecskéinek az 1 s alatti rezgéseinek számával jele: f SI mértékegysége: 1/s (Hz, Hertz) Terjedési sebesség: a hullám által 1 s alatt megtett út jele: c vagy v SI mértékegysége: m/s A hullám terjedési sebessége különböző anyagokban különbözik.

13 Összefüggések a mennyiségek között
A víz felületén kialakuló hullám egy speciális hullám – felületi hullám –, a víz felületén merőlegesen kialakuló hullámhegyek és hullámvölgyek követik egymást, de a víz belsejében nem.

14 A hullámok fajtái alakjuk szerint:
Körhullám (térben gömbhullám): a hullámhegyek és a hullámvölgyek körök (térben gömbök) Egyenes hullám (térben síkhullám): a hullámhegyek és a hullámvölgyek egyenesek (térben síkok)

15 Hullámok visszaverődése, törése
Ha a hullám két anyag határához ér, akkor ott egy része visszaverődik, egy másik része behatolhat az új anyagba. Visszaverődéskor a hullám sebessége, hullámhossza nem változik, a beesési szög megegyezik a visszaverődési szöggel. (első képen, α = β ) Ha a hullám behatol a másik anyagba, akkor a két anyag felületén megtörik. Ekkor megváltozik a hullám haladási iránya ( α = β ), sebessége és hullámhossza. A frekvenciája nem változik. (2. kép)

16 Hullámok találkozása, interferenciája, állóhullám
A hullám törésére vonatkozó összefüggés: Az n2;1 a 2. anyag 1.-re vonatkozó törésmutatója (c1 a hullám sebessége az 1. anyagban, c2 a 2.-ban. Lehet jelölni v-vel is.) Hullámok találkozása, interferenciája, állóhullám Hullámok találkozásakor a kitérések összeadódnak, így a hullámhegyek erősítik egymást, a hullámhegyek hullámvölgyekkel találkozva gyengítik, kiolthatják egymást. Ez az interferencia jelensége. Szemben haladó azonos hullámhosszú hullámok találkozásakor, interferenciájakor állóhullámok jöhetnek létre, ahol kialakulnak olyan álló pontok, amelyek nem mozognak: csomópontok.

17 Hullámok elhajlása Keskeny résen áthaladó hullám nemcsak a rés mögött, hanem a rés melletti fal mögött is kialakulva halad tovább. Ez az elhajlás jelensége.

18 Hanghullámok A hanghullám forrása is egy rezgő tárgy (pl hangszál). Bizonyos frekvenciájú mechanikai hullámokat az ember hangérzetként észlel. Ez a frekvenciasáv: kb. 20 Hz – Hz (egyénenként változó) Az alacsony frekvenciájú hangokat mélynek, a nagy frekvenciájú hangokat magas hangnak érzékeljük. Idős korban a magas hangok észlelési sávja lecsökken re. Hang kiadására szolgáló elektronikus eszközök szokásos sávszélessége: 20 Hz – Hz A hanghullám is visszaverődik (visszhang), megtörik (vízben gyorsabban halad), elhajlik (ajtó melletti fal mögött is hallható) és interferál (erősíthetik, gyengíthetik egymást). A hanghullám jellemzői: Longitudinális hullám, anyagban terjed, légüres térben nem. Hangsebesség: Különböző anyagokban különbözik a hangsebesség. A levegőben m/s, vízben 1500 m/s, vasban 5000 m/s Hangerősség: a hangrezgés energiájától függ – dB-ben (decibelben) mérik: 0 dB a leghalkabb érzékelhető hangerő, 10 dB 10-szeres hangenergiát jelent. A 20 dB 10·10=100-szoros hangerősséget jelent. 130 dB-nél kiszakad a dobhártya. Hangmagasság: a hanghullám frekvenciája adja meg. Nagyobb frekvencia - magasabb hang. Pl. a normál „A” hang frekvenciája 440 Hz. Oktáv: kétszeres vagy feles frekvencia (pl. alsó „A” hang 220 Hz)

19 Hangszín: Egy hang megszólalásakor több, különböző csomópontszámú állóhullám; „felhang” is megszólalhat, így ezek együtt szólnak és ezek összessége adja a hang hangszínét. Doppler jelenség Ha a hangforrás mozog a megfigyelőhöz képest, akkor a közeledő hangforrás előtt a hullámok hossza kisebb, mint mögötte. Így pl. közeledő szirénázó jármű hangját magasabbnak halljuk, mint amikor távolodik. A hatás megfigyelhető vízhullámnál is, pl. egy vízben mozgó állatnál.

20 A hallható hang sávszélessége: kb. 20 Hz – 20000 Hz
Hangszerek, hangsáv A hallható hang sávszélessége: kb. 20 Hz – Hz A hangszerek által kiadott hang magassága (frekvenciája és hullámhossza) függ a hangszer méreteitől. Ennek oka, hogy a hangszerben (síp, húr) keltett rezgésekből állóhullám alakul ki, és a mérettől függ ennek a hullámhossza. A hullámhossz pedig a frekvenciát határozza meg, az epdig a hang magasságát. (Minél nagyobb a hullámhossz, annál kisebb a frekvencia, annál mélyebb a hang. Pl. Sípok hangja a hosszuktól függ. Orgonasípoknál a rövidebb hangja magasabb. (kisebb hullámhossz, nagyobb frekvencia) Pl. A húroknál a hegedűn, gitáron a nyelén különböző helyeken lefogott húrnak rövidebb lesz az alsó, rezgő része. Pl. hangforrás: gitár, zongora, hárfa, stb. rezgő húrjai, fúvós hangszerek belsejében, a levegőben kialakuló állóhullámok, dob tetejének rezgése, stb. A hangforrások alá, mögé helyezett hangdobozok felerősítik a hangforrás hangját. Pl. Hangfal, dob, zongora, hegedű, ...