A korlátozott síkbeli háromtestprobléma
Newton II. axiómája A test mozgásmennyiségének megváltozása arányos a rá ható erővel, és annak az egyenes vonalnak az irányában megy végbe, amelyben az erő hat. Ha a tömeg állandó az egyenlet F = ma –ra egyszerűsödik.
A mozgásegyenlet megoldása Néhány egyszerű erőtörvény esetében a mozgásegyenlet analitikusan is megoldható Általában csak numerikusan Ha ismerjük az erőtörvényt, egy adott helyen és pillanatban kiszámítható a gyorsulás Ha a testnek gyorsulása van, akkor egy kis idő múlva megváltozik a sebessége Ha test mozog, egy kis idő múlva máshol lesz. Az új helyet és időpontot visszaírva az erőtörvénybe a mozgás nyomon követhető Numerikus módszerek pl.: Euler, leapfrogging (Feynman), Runge-Kutta
Newton általános tömegvonzási törvénye Nem lineáris
A kéttest probléma Határozzuk meg két, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! A feladat megoldható (centrális erőtér => síkmozgás, megmaradó mennyiségek: energia és impulzusnyomaték)
A háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat! (A több mint két évszázados kutató munka ellenére a lehetséges megoldások összességét ma sem ismerjük.)
A korlátozott síkbeli háromtest probléma Határozzuk meg három, tömegpontnak tekinthető test mozgását, ha rájuk csak a Newton-féle kölcsönös gravitációs vonzóerő hat, az alábbi korlátozó feltételek mellett: Két test körpályán kering a közös tömegközéppont körül. A harmadik test az előző kettő keringési síkjában mozog tömege olyan kicsi, hogy az semmilyen hatást nem fejt ki a másik két testre
Elrendezés és jelölések Együtt forgó vonatkoztatási rendszer
Dimenziótlanítás* után Marad egy paraméter: * ld. pl. Tél Tamás - Guiz Márton: Kaotikus dinamika, Nemzeti Tankönyvkiadó Rt., Budapest, 2002., 285.-289. o.
A forgó rendszer potenciáltere = 0,2
Lagrange-pontok L1, L2 és L3 instabil (nyeregpontok), L4 és L5 stabil (egyenlő szárú háromszögek csúcspontjai)
A potenciálteret kirajzoló Matlab kód % % Két, egymás körül körpályán mozgó tömeg közös potenciálja együtt forgó vonatkoztatási rendszerben [x,y]=meshgrid(-2:0.01:2); mu2 = 0.2; % a kisebbik tömeg mu1 = 1 - mu2; s1 = sqrt((x + mu2).*(x + mu2) + y.*y); % a vonzócentrumoktól s2 = sqrt((x - mu1).*(x - mu1) + y.*y); % való távolságok for i=1:401 % a zéróval való osztás elkerülése for j=1:401 if s1(i,j)<0.01 s1(i,j)=0.01; end; if s2(i,j)<0.01 s2(i,j)=0.01; end z=-mu1./s1-mu2./s2-(x.*x+y.*y)/2-mu1.*mu2/2; % a potenciál értéke for i=1:401 % a szintvonalak sûrûségének beállítása if z(i,j) < -3 z(i,j) = -3; surfc(x,y,z),xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z'); shading flat
Futtatási eredmények Rendszer: Nap – Jupiter ( = 0,001) Az L1 pont energiája E1 = -1,5198 Kaotikus tartományok jelennek meg, ha -1.55 < E < E1, ahol E a próbatest összenergiája A következő futtatási eredmények az E = -1,525 értékre vonatkoznak
#1: (x;y)=(0.2;0), (vx;vy) = (0;2.633211) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52422
#2: (x;y)=(0.3;0), (vx;vy) = (0;1. 918786075) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52486
#3: (x;y)=(0.4;0), (vx;vy) = (0;1. 44806) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52499
#4: (x;y)=(0.5;0), (vx;vy) = (0;1. 092264) A kiszámított pontok száma: 2000x50 Összenergia a számolás végén: -1,52499
#5: (x;y)=(0.6;0), (vx;vy) = (0;0. 800299944) A kiszámított pontok száma: 2000x200 Összenergia a számolás végén: -1, 52471
#6: (x;y)=(0.7;0), (vx;vy) = (0;0. 545802162) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: -1,52500
#7: (x;y)=(0.8;0), (vx;vy) = (0;0.30893365) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: - 1,52500
#8: (x;y)=(0.85;0), (vx;vy) = (0;0. 186386695) A kiszámított pontok száma: 2000x100 Összenergia a számolás végén: - 1,52500
A futtatások összesítése
Néhány érdekes pályagörbe - 1 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.3) Összenergia= -1,28000
Néhány érdekes pályagörbe - 2 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (1.4; 0.7) Összenergia= -0.90000
Néhány érdekes pályagörbe - 3 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0.2; 0.96) Összenergia= -1.64420
Néhány érdekes pályagörbe - 4 (x;y)=(0.499;0), (vx;vy) = (0;1.16) Összenergia= -1.45220
Néhány érdekes pályagörbe - 5 (x;y)=(0.499;0.8), (vx;vy) = (0; 0.2008) Összenergia= -1.48484