LOGIKA

A filozófia diszciplínái Tematika Logika Nyelvfilozófia Metafizika Ismeretelmélet Tudományfilozófia Elmefilozófia Előadások: http://hps.elte.hu/~gszabo/Filozofiadiszciplinai.html

Magyar nyelvű ajánlott irodalom Ruzsa I., Máté A.: Bevezetés a modern logikába, Osiris, 1997. Farkas K., Kelemen J.: Nyelvfilozófia, Áron Kiadó, 2002. Huoranszki F.: Modern Metafizika, Osiris, 2001. Forrai G.: Mikor igazolt egy hit?, Osiris-Láthatatlan Kollégium, 2002. Laki J. (szerk.): Tudományfilozófia, Osiris–Láthatatlan Kollégium, 1998. Ambrus G.: A tudat metafizikája, Gondolat, 2007.

Mi a logika? Régebbi elnevezés: dialektika (a vitatkozás művészete) analitika (Arisztotelésznél) Logika: az érvényes következtetés elmélete Következtetés: 1. premissza: Ha esik az eső, sáros az út. 2. premissza: Esik az eső. Konklúzió: Sáros az út.

Következtetések Érvényes következtetés: Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Marci jön a keddi filmre, vagy Marcsi jön a keddi filmre. (Rövidebben: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre.) 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. Érvénytelen következtetés: 1. premissza: Ha Marci jön a keddi filmre, akkor Robi nem jön a keddi filmre. 2. premissza: Robi nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marci jön a keddi filmre.

Érvényes-e az alábbi következtetés? Ebben a házban nincs más állat, csak macska. Minden állat alkalmas kedvencnek, amelyik szereti a Holdat bámulni. Ha egy állatot utálok, akkor elkerülöm. Minden húsevő éjjel jár a zsákmány után. Nincs olyan macska, amely nem fog egeret. Csak olyan állat vonzódik hozzám, amely a házbeli. A kenguruk nem alkalmasak kedvencnek. Csak húsevő állatok fognak egeret. Utálom azokat az állatokat, amelyek nem vonzódnak hozzám. Azok az állatok, amelyek éjjel járnak zsákmány után, szeretik a Holdat bámulni. Mindig elkerülöm a kengurukat.

Mikor érvényes egy következtetés? Mit értünk azon, hogy az alábbi következtetés érvényes? Ha esik az eső, sáros az út. Esik az eső. Sáros az út. Érvényes egy következtetés: ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz.

Formalizálás Atomi mondatok: Funktorok: Formulák (összetett mondatok): p: Esik az eső. q: Sáros az út. Funktorok: ~: nem &: és ∨: vagy ⊃: ha … akkor ≡: akkor és csak akkor Formulák (összetett mondatok): A = p ⊃ q: Ha esik az eső, sáros az út. B = p & ~q: Esik az eső, de (és) nem sáros az út.

Formalizálás Természetes nyelvi mondat: Jelölések: Vagy elhiszed, hogy baj van, és adsz pénzt, hogy segíthessek, vagy nem hiszed el, és megnézheted magad. Jelölések: p: elhiszed, hogy baj van q: adsz pénzt, hogy segíthessek r: megnézheted magad Szerkezet: (p & q) ∨ (~p & r)

Szemantika és szintaxis Szemantika felépítés: A következmény-relációt az igaz és a hamis fogalmán keresztül vezeti be. Szintaktikai felépítés: A következmény-relációt a nyelvi jelek kombinációján keresztül vezeti be.

Szemantika Igazságérték: Atomi mondatok igazságértéke: igaz: 1 hamis: 0 Atomi mondatok igazságértéke: a mondat igaz: |p|=1 a mondat hamis: |p|=0

Funktorok igazságtáblázata tagadás (nem) konjunkció (és) diszjunkció (vagy) kondicionális (ha… akkor) bikondicionális (akkor és csak akkor) p ~p 1 p q p&q 1 p q p∨q 1 p q p⊃q 1 p q p≡q 1

Interpretáció Interpretáció: Minden atomi mondathoz igazságértéket rendelünk. Pl. két mondat esetén 4 lehetséges interpretáció van, három mondat esetén 8. n db atomi mondatnak 2n interpretációja van. p q r I1 1 I2 I3 I4 I5 I6 I7 I8 p q I1 1 I2 I3 I4

Érvényes következtetés Érvényes következtetés: Ha a premisszák igazak, akkor a konklúzió is igaz. Vagyis: ha minden olyan interpretációra, amelyben az összes premissza igaz, a konklúzió is igaz. P = {p1, p2 …}: premisszák K: konklúzió Jelölés: P ⇒ K

Következményreláció Érvényes következtetés: 1. premissza: Marci vagy Marcsi jön a keddi filmre. 2. premissza: Marci nem jön a keddi filmre. Konklúzió: Marcsi jön a keddi filmre. Formalizálás: p: Marci jön a keddi filmre. q: Marcsi jön a keddi filmre. Premisszák: 1. premissza: p ∨ q 2. premissza: ~p Konklúzió: q Kérdés: {p ∨ q, ~p} ⇒ q p q p∨q ~p 1

Feladatok Érvényesek-e az alábbi következtetések? {~p & q, p ⊃ q, ~p} ⇒ p & ~q {p & ~q, ~p ∨ q} ⇒ p ∨ q Igazolja az alábbi következtetések érvényességét! {p ⊃ q, p} ⇒ q (leválasztási szabály, modus ponens) {p ⊃ q, ~q} ⇒ ~p (modus tollens) {p ⊃ q, q ⊃ r} ⇒ p ⊃ r (láncszabály) {p ∨ q, ~q} ⇒ p {p ∨ q, ~p} ⇒ q p ≡ q ⇒ p ⊃ q p ≡ q ⇒ q ⊃ p {p ≡ q, q ≡ r} ⇒ p ≡ r

A logika fajtái Extenzionális logika Intenzionális logika Kijelentéslogika (nulladrendű logika): nem bontjuk fel az atomi mondatokat. (Ez volt eddig.) Predikátumlogika (elsőrendű logika): felbontjuk az atomi mondatokat. Intenzionális logika Modális logika Temporális logika

Mondat és név Alapkategóriák: Funktorok (függvények): mondat: „A portás kabátja piros” (individuum)név: „Albert Einstein”, „a portás kabátja” Funktorok (függvények): mondatfunktor: mondat → mondat „Péter azt mondja, hogy …” ; „ … és …” névfunktor: név → név „ … anyja”; „ … és … gyermeke” predikátum: név → mondat „ … piros”; „… nagyobb, mint …” Faktuális érték (extenzió): mondat: igaz (1), hamis (0) név: az az objektum, amit a név jelöl

Extenzionális és intenzionális logika Extenzionális funktor: a bemenet faktuális értéke meghatározza a kimenet faktuális értékét. mondatfunktor: mondat → mondat „Nem igaz, hogy …” ; „ … és …” predikátum: név → mondat „Péter látja/hallja …-t” Intenzionális funktor: a bemenet faktuális értéke nem határozza meg a kimenet faktuális értékét. „Péter tudja/gondolja/azt hiszi , hogy …” ; „ … mert …” „Péter ismeri …-t”

Elsőrendű extenzionális logika A névmások jelölésére változókat használunk: x, y, z Ő álmos. → x álmos. A változók segítségével nyitott mondatot kapunk: x kezet fogott y-nal. szabad változó: a helyén nevek szerepelhetnek. kötött változó: a helyén nem szerepelhetnek nevek. Nyitott mondat: tartalmaz szabad változót. Zárt mondat: csak kötött változót tartalmaz. Hogyan lehet változókat lekötni? → Kvantorokkal.

Kvantorok Univerzális kvantor: ∀ (minden) Egzisztenciális kvantor: ∃ (van olyan) Nyitott mondat: x álmos. Kvantort eléírva: ∀x (x álmos): Minden x-re, x álmos. Röviden: Mindenki álmos. ∃x (x álmos): Van olyan x, x álmos. Röviden: Van, aki álmos. Kvantor alkalmazásának sémája: kvantor – változó – (hatókör) A kvantor leköti a nyitott mondat szabad változóját. Az egyváltozós nyitott mondatból zárt mondatot csinál.

Példák Kétváltozós nyitott mondat: (x ember) ⊃ (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor y barátja x-nek. Kössük le y-t egzisztenciális kvantorral: (x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek) Kiolvasás: Ha x ember, akkor van olyan y, hogy x barátja y-nak. Röviden: Ha x ember, akkor x-nek van barátja. Kössük le x-et univerzális kvantorral: ∀x [(x ember) ⊃ ∃y (y barátja x-nek)] Kiolvasás: Minden x-re: ha x ember, akkor x-nek van barátja. Röviden: Minden embernek van barátja.

További példák Júliát mindenki szereti: Júlia mindenkit szeret: ∀x (x szereti Júliát) Júlia mindenkit szeret: ∀x (Júlia szereti x-et) Mindenki szeret valakit: ∀x ∃y (x szereti y-t) Mindenkit szeret valaki: ∀x ∃y (y szereti x-et) Mindenki szeret mindenkit: ∀x ∀y (x szereti y-t)

Egzisztenciaállítások Egzisztenciaállítás: ∃x.F(x) Létezik páros szám: ∃x (x páros szám) Egyéb esetek: Van olyan F, amely G: ∃x [F(x) & G(x)] Van olyan gomba, amelyik mérgező: ∃x (x gomba & x mérgező) Van olyan F, amely nem G: ∃x [F(x) & ~G(x)] Van olyan madár, amelyik nem repül: ∃x [x madár & ~(x repül)] Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & G(x)] Nincs olyan diák, aki megbukott. ⇔ Egyetlen diák sem bukott meg. ~∃x [F(x) & G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ ~G(x)] Nincs olyan F, amely G: ~∃x [F(x) & ~G(x)] Nincs olyan ló, amelyik nem négylábú. ⇔ Minden ló négylábú. ~∃x [F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x ~[F(x) & ~G(x)] ⇔ ∀x [F(x) ⊃ G(x)]

Univerzális állítások Univerzális állítás: ∀x.F(x) Minden mozog: ∀x (x mozog) Egyéb esetek: Minden, ami F, az G: ∀x [F(x) ⊃ G(x)] Minden ló négylábú: ∀x (x ló ⊃ x négylábú) A madarak tojásrakók: ∀x (x madár ⊃ x tojáslakó) Feladat: Formalizáljuk az alábbi mondatokat! Csilla vett valamit, de elcserélte azt valakivel valamire. Mindenki gyanús nekem, aki él. Péter minden barátjának van gyereke. A pályázók közül csak a kiskorúak nem feleltek meg.

Modális logika „Szükségszerű, hogy minden gerincesnek van szíve.” „Lehetséges, hogy Anna lekéste a vonatot.” „Esetleges, hogy holnap lesz tengeri csata.” „Lehetetlen, hogy senki sem látta a balesetet.” ⃞p: szükségszerű, hogy p ⃟p: lehetséges, hogy p ~⃞p: esetleges, hogy p ~⃟p: lehetetlen, hogy p ⃟p = ~⃞~p: lehetséges = nem lehetetlen ⃞p = ~⃟~p: szükségszerű = nem esetleges

Lehetséges világok szemantikája Leibniz: „számtalan világ van, amelyek közül az Istennek szükségképpen a legjobbat kellett kiválasztania” Lehetséges világok: @ v1 v2 … ⃞p: szükségszerű, hogy p, ha p minden világban igaz. ⃟p: lehetséges, hogy p, ha van olyan világ, amelyikben p igaz.

Lehetséges világok szemantikája „Öt meg hét szükségszerűen tizenkettő:” „Öt meg hét minden világban tizenkettő” „Szókratész lehetett volna ostoba”: „Szókratész bölcs @-ban, de létezik egy v, ahol Szókratész ostoba” Kérdés: Hogyan lehetett Szókratész ostoba egy másik világban, amikor Szókratész az aktuális világban létezik?

Modális realizmus és aktualizmus A lehetséges világok konkrét univerzumok, amelyek nem állnak egymással téridőbeli kapcsolatban. Az aktuális világ indexikusan értelmezendő. Modális aktualizmus (antirealizmus): Csak az aktuális világ létezik, a lehetséges világok absztrakt reprezentációk, propozíciók maximális és konzisztens rendszerei. Míg az idő tekintetében inkább realisták vagyunk, addig a modalitások tekintetében inkább antirealisták.

De dicto és de re modalitás de dicto: a mondatról A modális funktor zárt mondatra hat: ⃞∀x (F(x) ⊃ G(x)) „Szükségszerű, hogy aki athéni, az athéni.” igaz „Szükségszerű, hogy a Naprendszerben a bolygók száma nagyobb, mint hét.” hamis de re: a dologról A modális funktor nyitott mondatra hat: ∀x (F(x) ⊃ ⃞G(x)) „Aki athéni, az szükség-szerűen athéni.” hamis „A Naprendszerben a bolygók száma szükségszerűen nagyobb, mint hét.” igaz

Kontrafaktuálisok A □→ B: ha A volna a helyzet, akkor B volna a helyzet „Ha a kenguruknak nem lenne farkuk, hanyatt esnének.” → igaz „Ha a nagymamámnak hat kereke volna, ő lenne a villamos” → hamis Lehetséges világok: @ v1 v2 … A □→ B igaz: ha nem létezik olyan világ, amelyben A igaz (A □→ B üresen igaz), vagy ha a legközelebbi olyan világ, amelyben A igaz, abban B is igaz (A □→ B nem üresen igaz).