Piaci portfólió tartása (I.) Sharpe-modell William Sharpe (1964), később Nobel-díj Lintner, Mossin, Treynor A modell fő peremfeltételei: Tökéletes tőkepiac: pl. tökéletes informáltság, nincs tranzakciós költség, stb. Kockázatmentes befektetés és hitelfelvétel lehetősége (azonos kamattal) Racionális befektetők (~Markowitz-modellt követik) Homogén várakozások hipotézise: mindenki ugyanazt gondolja a befektetések paramétereiről („tojáshéjuk ugyanott van”)

Piaci portfólió tartása (II.) Egy kockázatmentes (i) és egy kockázatos (j) lehetőség kombinációja: Ha ai negatív szám, akkor kockázatmentes hitelfelvétel (egyúttal a felvett hitel kockázatos befektetése, mert ai + aj = 1)

Piaci portfólió tartása (III.) Ábrázolva: A legjobb lehetőségek az rf – M egyenesen vannak

Piaci portfólió tartása (IV.) Ha a „tojáshéj” mindenkinek „ugyanott van”, akkor az M portfólió is mindenkinél ugyanaz lesz – ezt kombinálják kockázatkerülésüktől függően rf-vel A kockázatos rész tehát minden befektetőnél ugyanaz!

Piaci portfólió tartása (V.) Mindenki ugyanazt az M-et tartja → M összetétele meg kell, hogy egyezzen a világ összes kockázatos értékpapírját tartalmazó ún. piaci portfólióéval Csak az arányok ugyanazok, a befektetett összegek különbözhetnek A legjobb lehetőségek: tőkepiaci egyenes (Capital Market Line, CML) – erről választanak a befektetők:

Piaci portfólió tartása (VI.) A befektetői döntés ennek megfelelően: Passzív portfólió-menedzsment

Választás a Sharpe-modellben – példa (I.) Egy A=2 kockázatkerülésű befektető a piaci portfólió (M) és a kockázatmentes lehetőség (f) kombinálásával alakítja ki portfólióját A paraméterek: rf = 2%, E(rM) = 8%, σ(rM) = 18% Mekkora annak a portfóliónak a várható hozama és szórása, amelyben fele-fele arányban szerepel a két lehetőség? Optimális-e ez a fele-fele arány a befektetőnek? Ha nem, hogyan érheti el az optimumot és mik az optimális portfólió paraméterei? Gondoljuk végig ugyanezt egy A=8 kockázatkerülésű befektetőre! Ábrázoljuk döntéseiket és magyarázatukat! (csak jelleghelyesen)

Választás a Sharpe-modellben – példa (II.) Megoldás Fele-fele arány, tehát af = 0,5 és aM = 0,5 E(rP) = 0,5*0,02 + 0,5*0,08 = 0,05 = 5% σ(rP) = [(0,5*0)2 + (0,5*0,18)2 + 2*0*0,5*0*0,5*0,18]1/2 = 0,5*0,18 = 0,09 = 9% aM,opt = (0,08 – 0,02)/(2*0,182) = 0,93, tehát nem optimális, mivel 0,93 ≠ 0,5 Az optimumhoz növelni kell M súlyát 0,93-ra, illetve csökkenteni f súlyát 1 – 0,93 = 0,07-re Az optimális portfólió paraméterei: E(rP,opt) = 0,07*0,02 + 0,93*0,08 = 0,0758 = 7,58% σ(rP,opt) = 0,93*0,18 = 0,1674 = 16,74%

Választás a Sharpe-modellben – példa (III.) Mi a helyzet az A=8 befektető esetén? A „fele-fele” portfólió várható hozama és szórása ugyanaz marad, viszont az optimum más aM,opt = (0,08 – 0,02)/(8*0,182) = 0,23, tehát a fele- fele megosztás most sem optimális, mivel 0,23 ≠ 0,5 Az optimumhoz most viszont csökkenteni kell M súlyát 0,23-ra, illetve növelni f súlyát 1 – 0,23 = 0,77- re Az optimális portfólió paraméterei: E(rP,opt) = 0,77*0,02 + 0,23*0,08 = 0,0338 = 3,38% σ(rP,opt) = 0,23*0,18 = 0,0414 = 4,14%

Választás a Sharpe-modellben – példa (IV.) E(r) UoptA=8 > U0,5A=8 UoptA=2 > U0,5A=2 M 8% optA=2 7,58% 5% 0,5 Csak hozzávetőleg, jellegében helyes ábrázolás! optA=8 3,38% 2% f σ(r) 4,14% 9% 16,74% 18%

Választás a Sharpe-modellben – példa (V.) Akit jobban érdekel a téma, ill. gyakorlásra: Az előzőekben említett kombinációkhoz tartozó hasznosságértékek (U) kiszámítása és ellenőrzése, hogy az optimálisé tényleg nagyobb Az optimális súly számítására vonatkozó képlet levezetése (ötlet: af = 1 – aM, majd egy egyváltozós szélsőérték feladat) Pontosabb grafikus ábrázolás „Hardcore”: a béta és a CAPM képletét (lásd később) felhasználva annak bizonyítása, hogy M-en keresztül fut a legmeredekebb tőkeallokációs egyenes

A béta kockázati paraméter (I.) Piaci portfólió tartása → van egy egységes, „általános” viszonyítási alap Egy tetszőleges i befektetési lehetőség kockázata: nem önmagában, hanem a befektetői portfólióban! A befektetői portfólió a Sharpe-modell szerint: rf és M a befektető kockázatkerülésének megfelelő kombinációja De i „érzékelt” kockázata szempontjából csak az M-vel való sztochasztikus kapcsolat számít! Tehát lényegtelen, hogy ki milyen rf – M arányt tart Vizsgáljuk meg i és M hozamai közötti sztochasztikus kapcsolatot!

A béta kockázati paraméter (II.) Karakterisztikus egyenes (regressziós, OLS) Az egyenes meredeksége: βi Ha βi > 1, akkor növeli M szórását Ha βi < 1, akkor csökkenti M szórását βi negatív is lehet, akkor erősebben csökkenti M szórását εi feltételes eloszlás, várható értéke 0, szórása σ(εi) Adott rM-hez megadja ri szórását

A béta kockázati paraméter (III.) Az ábrából (regresszióból) következően σ(ri) felírható egy M-től függő és nem függő rész összegeként: Mivel az ε-os tag független M-től, így eliminálódik a portfólióban (M nagy elemszámú) A β-s tag viszont teljesen összefügg M-mel, így: Tehát ekkora szórásúnak látjuk i-t „M-en keresztül nézve”

A béta kockázati paraméter (IV.) Egy i befektetés teljes kockázata σ(ri), két részből áll: Releváns kockázat (piaci, nem diverzifikálható, szisztematikus): βiσ(rM) Feltéve persze, hogy a befektető kockázatos részként a piaci portfóliót tartja Egyedi kockázat (diverzifikálható, nem szisztematikus): σ(εi) Eltűnik a piaci portfólióban Tehát nem az érdekel, hogy önmagában mekkora egy befektetési lehetőség szórása, hanem hogy a piaci portfólión keresztül mennyit érzékelek belőle! Pl. lehet, hogy önmagában nagyon kockázatos, de ha pl. bétája nulla, akkor kockázatmentes számomra!

Néhány jellegzetes példa…

A tőkepiaci várható hozamok és a béta (I.) A β (és csak a β) megadja egy befektetés releváns kockázatát → A várható hozamoknak a β függvényének kell lenni Az összefüggés lineáris Ez az összefüggés a CAPM (Capital Asset Pricing Model), a tőkepiaci árfolyamok modellje

A tőkepiaci várható hozamok és a béta (II.) A CAPM-ben visszaköszön a tőkeköltség két forrása: A CAPM megadja, hogy adott kockázathoz (amit a bétával mérünk) a tőkepiacon mekkora várható hozam tartozik → Ha ismerjük egy befektetési lehetőség bétáját, meg tudjuk adni a tőke alternatíva költségét Reálértelemben – mert a CAPM reálhozamok közötti kapcsolatot ír le (minket mindig a reálhozamok érdekelnek) Nem a CAPM az egyetlen tőkepiaci egyensúlyi modell…

Tőkeköltség kiszámítása példák Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 1,3, a kockázatmentes hozam 2% reálértelemben, a piaci portfólió várható hozama pedig 8% reálértelemben? Milyen értelmű a meghatározott tőkeköltség? Behelyettesítve a CAPM képletébe: ralt = 2% + 1,3*(8% - 2%) = 9,8% Reálértelmű, mert minden paraméter reálértelmű Mekkora a projekt tőkeköltsége, ha a bétája 0,75, a kockázatmentes hozam 3% reálértelemben, az átlagos piaci kockázati prémium pedig 8% reálértelemben? Átlagos piaci kockázati prémium: a β=1-hez tartozó kockázati prémium, azaz E(rM) – rf Behelyettesítve így a CAPM képletébe: ralt = 3% + 0,75*8% = 9% (Természetesen most is reálértelmű a tőkeköltség)

Tőkeköltségek és értékek függetlensége Láttuk: egy befektetési lehetőség tőkeköltsége a bétájától függ (persze csak akkor, ha igaz a CAPM) A bétája pedig csak a piaci portfólióval való sztochasztikus kapcsolattól függ → Tőkeköltségek függetlensége: egy üzleti projekt tőkeköltsége független a vállalati környezettől (azaz a vállalat többi projektjének tőkeköltségétől) Mivel „érték = tőkeköltséggel diszkontált pénzáramok”, ezért Pénzáramok függetlensége + Tőkeköltségek függetlensége = Értékek függetlensége Az egyes üzleti projektek értékelése elválik a vállalati környezettől Más szóval a projektek „mini-vállalatokként” tekintendők

Belső megtérülési ráta (IRR) „Egységnyi tőke egységnyi időre vonatkoztatott várható hozama” Matematikailag: az a tőkeköltség (diszkontráta), amelynél az NPV zérus: A projekt megvalósítandó akkor és csak akkor, ha IRR > ralt, ami ekvivalens azzal, hogy NPV > 0 Az IRR-nek számos gyakorlati problémája van, ezért inkább az NPV-t használjuk… Pl. kiszámítása nem mindig egyértelmű, összehasonlításra is alkalmatlan

CAPM paraméterei a gyakorlatban (I.) Kockázatmentes hozam Egyértelmű, általános kockázatmentes eszköz nincs Hogyan becsüljük tehát? Nemfizetés kockázata → legnagyobb biztonság: állampapírok De legtöbbször ez is csak nominális ígéret! Inflációs kockázat → infláció-indexelt állampapírok A stabilitás miatt leginkább USA állampapírok Lejárat: a vizsgált projekt időtávjához hasonló Általános becslés: évi kb. 2-3% reálértelemben

CAPM paraméterei a gyakorlatban (II.) Piaci portfólió Az összes elérhető befektetési lehetőség – mi az „elérhető”? A fejlettebb tőkepiacok többnyire átjárhatók → globális megközelítés → Az árak is globálisan határozódnak meg Többletkockázatot vállal a csak otthon befektető → érdemes nemzetközileg diverzifikálni Mo. esete: sok nagy, külföldi befektető → globális árazódás vs. csak itthon befektető hazaiak → Globális piaci portfólió ~ globális tőzsdeindex: pl. MSCI (All Country) World Index, vagy akár S&P, Dow Jones, stb. Várható hozam: múltbeli hozamok átlagával (időbeli stabilitás!) Általában inkább a kockázati prémium (rM – rf) becslése, évi kb. 6% reálértelemben (tehát E(rM) ≈ évi 8% reálértelemben)

CAPM paraméterei a gyakorlatban (III.) Üzleti projekt bétája ~üzleti tevékenység érzékenysége a világgazdaság ingadozására Iparágakra jellemző értékek figyelhetők meg → iparági béták Részvények csoportosítása 100-300 iparág szerint, múltbeli hozamadatokból béták Béták időbeli stabilitása kell, hogy múltbeli adatokból becsülhessünk Sok vállalatból számolnak egy iparágban – feltehetően megbízható becslés Az egyik iparághoz soroljuk projektünket és annak bétáját használjuk, esetleg több iparág súlyozott átlagát Iparági bétatáblázat – példák: Energia 0,53, Bank 0,37, Autóalkatrész 1,47, Biotech 1,07, Szoftver 0,92, Építőanyag 0,99