Diszkrét idejű bemenet kimenet modellek Diszkrét I/O modellek Diszkrét idejű bemenet kimenet modellek időtartomány értelmezése: csak kitüntetett időpontokban van információnk ezek az időpontok általánosságban tetszőlegesek irányítási gyakorlatban: meghatározott időközönként vizsgáljuk meg a rendszer működését a helyes leíráshoz, működtetéshez alapvető fontosságú a mintavételi időköz megválasztása

Diszkrét I/O modellek kiindulás: folytonos idejű rendszer: leírás differenciálegyenlettel (lineáris, időinvariáns, …) diszkrét idejű rendszer: leírás differenciaegyenlettel feladat: a differenciálhányados közelítése differenciahányadossal:

Diszkrét I/O modellek megoldás a deriválás definíciója alapján: előrefelé vett differenciák módszere

Diszkrét I/O modellek visszafelé vett differenciák módszere

Diszkrét I/O modellek folytonos modell diszkrét modell – előrefelé vett differenciák diszkrét modell – visszafelé vett differenciák

modell tulajdonságai: Diszkrét I/O modellek modell tulajdonságai: lineáris időinvariáns diszkrét idejű inhomogén kezdeti feltételek

operátor tartományban Diszkrét I/O modellek operátor tartományban definíció szerint előrefelé vett differencia visszafelé vett differencia

Operátor tartománybeli jellemzés Diszkrét I/O modellek Operátor tartománybeli jellemzés folytonos idejű eset leírás: átviteli függvénnyel

Diszkrét I/O modellek diszkrét idejű tartomány: ahol u(t) a folytonos bemenet u*(t) a mintavételezett bemenet G(s) a folytonos idejű tag átviteli függvénye y(t) a tag kimenete y*(t) a tag mintavételezett kimenete T a mintavételezési idő a mintavételezők egyszerre zárnak (szinkron üzem)

Diszkrét I/O modellek belátható, hogy ennek a rendszernek az impulzus átviteli függvénye a következő alakú: megjegyzések: csak akkor igaz, ha a tag előtt és után is van mintavételező folytonos átviteli függvényből nem úgy kapjuk a diszkrét impulzus átviteli függvényt, hogy s helyére z-t írunk!!!

Diszkrét I/O modellek soros kapcsolás: a) eset eredő impulzus átviteli függvény: b) eset

Diszkrét I/O modellek visszacsatolt kör eredő impulzus átviteli függvény

Diszkrét I/O modellek stabilitása Def.: Diszkrét BIBO stabilitás Egy lineáris mintavételező rendszert BIBO stabilnak nevezünk, ha korlátos bemenő impulzussorozat (u(kT) < M1, k0  k < ) hatására a kimeneti impulzussorozat is korlátos (y(kT) < M2, k0  k < ), (ahol M1, M2 < , és k0 az első mintavételezési időpont sorszáma) .

Diszkrét I/O modellek stabilitása Tétel: Egy mintavételezett rendszer akkor és csak akkor BIBO stabil, ha azaz a ha a rendszer súlyfüggvényének a mintavételezési időpontokban abszolút értékeiből alkotott végtelen sor korlátos.

Diszkrét I/O modellek stabilitása Def.: Diszkrét aszimptotikus stabilitás Egy lineáris mintavételező rendszert aszimptotiku-san stabilnak nevezünk, ha u(kT)=0 bemenő impulzussorozat és y(-T), y(-2T),…, y(-(n-1)T)  0 kezdeti feltételek esetén a kimeneti sorozat nullához tart:

Diszkrét I/O modellek stabilitása Tétel: a) Egy mintavételezett rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha az eredő impulzus átviteli függvényének valamennyi pólusának abszolút értéke 1-nél kisebb: azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat valamennyi az origó középpontú, egység sugarú körön belül van.

Diszkrét I/O modellek stabilitása stabilitás tartománya x x x x

Diszkrét I/O modellek stabilitása b) ha van a rendszer eredő impulzus átviteli függvényének olyan pólusa, amely(ek)nek az abszolút értéke 1, de minden más pólus abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a rendszer a stabilitás határán van: azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat, van(nak) olyan(ok) ami egység sugarú kör körívén van(nak), a többi pedig a körön belül van.

Diszkrét I/O modellek stabilitása stabilitás határa x x x x

Diszkrét I/O modellek stabilitása c) ha van a rendszer eredő impulzus átviteli függvényének legalább egy olyan pólusa, amelynek az abszolút értéke 1-nél nagyobb, akkor a rendszer instabil: azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat, van(nak) olyan(ok) ami egység sugarú körön kívül van(nak), a többi pólusnak az elhelyezkedése lényegtelen

Diszkrét I/O modellek stabilitása instabilitás tartománya x x x x x

Diszkrét I/O modellek stabilitása Stabilitási tartományok összehasonlítása folytonos idejű rendszer diszkrét idejű rendszer

Diszkrét I/O modellek stabilitása közelítő módszerek alkalmazásának hatása előrefelé vett differenciák azaz ami instabil volt a diszkretizálás előtt, az az is marad, ami stabil volt diszkretizálás előtt az vagy stabil lesz, vagy instabil lesz

Diszkrét I/O modellek stabilitása visszafelé vett differenciák azaz ami stabil volt a diszkretizálás előtt, az az is marad, ami instabil volt diszkretizálás előtt az vagy stabil lesz, vagy instabil lesz