Geometriai fogalomalkotás valóságos és virtuális modellek együttes alkalmazásával Anna Rybak Uniwersytet w Białymstoku, Instytut Informatyki Lénárt István Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

Célkitűzés: Olyan oktatási szituáció létre- hozása, amelyben a tanulók a tanár irányítása mellett, önálló munkával, kísérletezéssel és következtetéssel jutnak el alap- vető geometriai fogalmak meg- értéséig.

Multimédia alkalmazásának célja az oktatásban: érdeklődés felkeltése és képességek fejlesztése a digitális technológiák és kommunikációs eszközök megfelelő használata terén; az információ hozzá- férése, kezelése, integrálása és értékelé- se; új tudás alkotása; kommunikáció másokkal, hogy hatékonyan vehessünk részt a társadalom formálásában. Lennon et al (2003)

Az összehasonlítás módszere matematikai és természettudományi kompetenciák területén: Két vagy több rendszert egymással összehasonlítva, egymással folyamatosan szembeállítva tanítunk. Az összehasonlítás egyik legfontosabb célja az adott tananyag jobb megértése másféle rendszerekkel történő össze- hasonlítás útján.

Összehasonlító geometria: Két különböző geometriai rendszert egymás mellett, egymással folyamatosan szembeállítva tanítunk. Fogalmakat és tételeket a síkon és a gömbön egyidejűleg vizsgálunk. Később (esetleg már középiskola előtt is) további geometriai rendszerkkel is ismerkedünk (pl. Bolyai-geometria).

Összehasonlító geometria valóságos és virtuális modelleken Három különböző geometria alapfogalmait szemléltetjük valóságos modelleken, illetve virtuális szerkesztő programokkal. Síkgeometria: GeoGebra Gömbi geometria: Spherical Easel Hiperbolikus geometria: NonEuclid (Más lehetőség: Cinderella)

Alapfogalmak síkon és gömbön Pont Egyenes Kör Sokszög Szabályos sokszög Háromszög

Példa összetettebb fogalomra: háromszög köré írt kör Célok: Síkháromszög megismerése, megértése; Gömbháromszög megismerése, megértése; Háromszög köré írt kör definíciója,és szerkesztése; Matematikai következtetés és hipotézis- keresés képességének fejlesztése; Érvelési és vitakészség fejlesztése; Különféle oktatási segédeszközök (valóságos modellek és virtuális programok) használatának elsajátítása.

Példa Felhasznált módszerek: problémamegoldás, irányított megbeszélés, manuális és virtuális geometriai szerkesztőeszközök használata Munkaformák: kiscsoportos és egyéni (csak csoportmunka, ha a rendelkezésre álló eszközök száma nem engedi az esetleg szükséges egyéni munkát) Taneszközök: Számítógépek megfelelő programokkal (GeoGebra, Spherical Easel), földgömb, síkgeometriai és gömbi geometriai szerkesztőeszközök.

A feldolgozás módja síkháromszögek esetén Adott síkháromszög körülírt körének és középpont- jának szerkesztése füzetlapon; Hipotézis felállítása: minden síkháromszöghöz tartozik körülírt kör; Ugyanez a szerkesztés adott síkháromszög esetén a GeoGebra programmal; A síkháromszög alakjának változtatása a GeoGebra programmal, a körközéppont helyzetének vizsgálata a háromszöghöz képest; A hipotézis bizonyítása a háromszög oldalfelező merőlegeseinek definíciója alapján.

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: első eset

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: második eset

Síkháromszögek vizsgálata GeoGebrával: harmadik eset

A feldolgozás módja gömbháromszögek esetén Adott gömbháromszög körülírt körének és középpont- jának szerkesztése gömbön; Hipotézis felállítása: minden gömbháromszöghöz tartozik körülírt kör; Ugyanez a szerkesztés adott gömbháromszög esetén a Spherical Easel programmal; A gömbháromszög alakjának változtatása a Spherical Easel programmal, a körközéppont helyzetének vizsgálata a háromszöghöz képest; A hipotézis bizonyítása a háromszög oldalfelező merőlegeseinek definíciója alapján.

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: első eset

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: második eset

Gömbháromszögek vizsgálata Spherical Easel-lel: harmadik eset

A feldolgozás módja: megbeszélés, összegzés Síkháromszög és gömbháromszög körülírt körének összehasonlítása; Manuális és virtuális szerkesztés előnyeinek és hátrányainak összevetése; Milyen területeken használható a tétel? Milyen továbbfejlesztések lehetségesek? Háromszögek szögösszege; merőlegesség és párhuzamosság; négyszögek; stb.

Hiperbolikus (Bolyai-Lobacsevszkij) geometria körlap (Poincaré) modellje

Hiperbolikus modell egyenesei

Hiperbolikus modell körei

Hiperbolikus modell háromszögei

Kapcsolódó oldalak, honlapok: (ezen belül: Gömbi amőba) Sulinova adatbank matematika, 5. évfolyam (Makara Ágnes – Lénárt I.: Alakzatok); 6. évfolyam (Birloni Szilvia – Lénárt I.: Tengelyes tükrözés); 8. évfolyam (Szeredi Éva – Lénárt I.: Terület síkon és gömbön); 10. évfolyam (Lénárt I.: Bolyai-geometria) Anna Rybak – Lénárt I.: Play computer game – and learn spherical geometry (2009). Power Point. Lénárt, I.: Paper geometry versus orange geometry – comparative geometry on the plane and on the sphere (2009) Bülent GüvenBülent Güven & Adnan Baki: Characterizing student mathematics teachers’ levels of understanding in spherical geometry (2010) International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. Baki