PTE-FEEK Informatikus-könyvtáros Bsc 2007 A logika PTE-FEEK Informatikus-könyvtáros Bsc 2007

Mi a logika? A logika ésszerűséget jelent. Ha valami nem szabályos, akkor az vét az ész szabályai ellen. Logikán minden olyan beszédet, gondolkodást, cselekedetet, viselkedést értünk, amelyben az ésszerűséget véljük felfedezni, a nem logikus dolgokban pedig az ésszerűtlenséget fedezzük fel. A logika az ésszel, a rációval van összefüggésben.

 A logika története A logika a görög logosz szóból származik. Jelentése beszéd, gondolat. Az egyik legrégebbi tudomány, hiszen magába foglalja a klasszikus ókori filozófiai logikát éppen úgy, mint a modern matematikai logikát. A logika – akár a filozófia, akár a matematika részeként tekintjük – a gondolkodás törvényszerűségeit kutatja. A matematikai logika egyrészt önálló ága a matematikának, másrészt annak különböző részterületei közti összefüggéseket is kutatja a megfelelő szimbólumrendszer bevezetésével.

Mi szükség van a logikára? Mi a szerepe, funkciója, értelme a logikának? Az emberi élet elválaszthatatlan eleme, az életben maradás függhet a helyes döntéstől, viselkedéstől. Nem iktatható ki az emberi viselkedés keretei között.

A mindennapi élet logikája Hol, milyen szinten jelenik meg a logika? A döntéshozatal a logika egyik funkciója, gondolati úton, és a helyes döntés meghozatala.   Egy faluban 3 féle ember él: igazmondó, mindig hazudó és felemás (következetesen egyszer igazat mond, aztán hazudik). A tűzoltóságon csörög a telefon. A telefonáló beleszól: „Ég a templom!” A tűzoltóparancsnok visszakérdez: „Melyik csoportba tartozol?” „A felemásba.” - szól a válasz, és a hívó lecsapja a kagylót. Kérdés: Ki kell-e menni a templomhoz.

A mindennapi élet logikája Válasz: Nem kell kimenni! Igazmondó nem lehet (akkor a saját csoportját mondta volna), ha hazudós, akkor nem ég a templom, ha felemás, akkor igazat mondott a csoportjáról, tehát a templom nem ég, mert akkor hazudott.   Preferencia: Támogatott vagy kizáró szempontok. A logika a helyes alternatívák felállítása után a preferenciák alapján szűkíti a kört, és ezúton a leghelyesebb megoldáshoz vezet.

A mindennapi élet logikája A logika mindig közvetett módon nyilvánul meg számunkra. Az egyik hordozó közege a logikának a nyelv, a cselekedet (ez is a gondolkodás által nyilvánul meg), a viselkedés. A nyelv, a beszéd (kommunikáció) teszi lehetővé, hogy valamiről azt mondhassuk, logikus vagy logikátlan. A nyelv egy szélesebb közegbe integrálódik, a kommunikáció folyamatába illeszkedik bele.

Mi a kommunikáció és hol jelenik meg benne a logika? A kommunikáció valamilyen üzenet továbbítása. Mindig van egy közlő és egy befogadó. Az üzenet a közlőben érzés formájában jelenik meg. Az érzetet nem tudjuk megtapasztalni. Ahhoz, hogy az érzetből üzenet váljék, a belül meglévő érzetet kódolni kell. Kódolás: valamilyen megtapasztalható formába átültetni az üzenetet.

Mi a kommunikáció és hol jelenik meg benne a logika? Két formája van: 1. Nem verbális kód alkalmazása (testi kommunikáció). 2. Verbális (nyelvi)kódolás. Az üzenetet a befogadónak értelmeznie (dekódolni) kell. Van verbális és nem verbális dekódolás. Ha ez létrejön, akkor a kommunikáció betölti funkcióját a befogadónál.

A logika története Bár a logikus gondolkodás mondhatni egyidős az emberiséggel, a logika, mint tudomány, fejlődésének első nagy fordulópontja az ókorra tehető. A logikára nagy hatást gyakorló gondolkodók közül legelsőként az éleai Zénón említhető meg, akinek híres apóriái nagy hatással voltak az őt követő gondolkodókra is. Később Szókratész az indukcióval, fogalmakkal és állításokkal foglalkozott különböző elméletek felállításának kapcsán.

A logika története Arisztotelész logikai szempontból legfontosabb műve az Organon, ezen belül is az Első Analitika és a Második Analitika címet viselő könyvek, melyben tulajdonképpen megalapozta a logikát. Következtetéseket állított fel, ahol már betűkkel jelölte a bennük előforduló változtatható részeket. Három logikai alapszabályt határozott meg, melyek oly sokáig az egyetlen alapját képezték a matematikának. Ezek a következők voltak: azonosság elve, ellentmondás elve és a harmadik kizárásának elve.

A logika története A sztoikusok vezették be a kijelentésváltozókat a logikában. Korábban Arisztotelész csak a fogalmakra használt változókat. A sztoikus filozófiai iskola alapítója a kritoni Zénón volt. Másik nagy alakja pedig Khrűsziposz, akinek nevéhez fűződik sztoikus logika rendszerezése. Az arisztotelészi logika nagy hatást gyakorolt a gondolkodókra, tudósokra mintegy kétezer éven keresztül, hiszen szinte bármely tudományban alkalmazható volt.

A logika története Ennek következtében a középkorban a logika közel azonos szinten maradt. A skolasztikus Occam nevéhez fűződnek fontos eredmények ebben az időszakban. Ugyanebben a korban fontos szerepet játszott Ibn Szina (Avicenna) Alexandriában, aki rendszerezte a görög tudományokat Arisztotelész logikán alapuló rendszerét továbbfejlesztve. Sokáig lassan fejlődött a matematikai logika. A nagy lépés Boole és De Morgan nevéhez fűződik. Boole mutatta ki, hogy a formális logika törvényeit a matematikában is lehet használni, s leírta az általa bevezetett szimbólumokkal a logika legalapvetőbb törvényeit. De Morgan vele egy időben ugyanilyen eredményre jutott.

A logika története A 19. században kapott új lendületet a logika fejlődése. Venn a szimbolikus logika vizsgálatával foglalkozott. Peano pedig a természetes számok vizsgálata során alkalmazott logikai eszközöket. A Cantor által felépített halmazelméletben több ellentmondás (antinómia) is felmerült, melyek közül az elsőt épp Cantor maga tárta fel. Ez a matematikai válság azonban újabb lendületet adott a logika fejlődésének, hiszen az ellentmondások mindegyike a kétértékű logikán, mégpedig a „harmadik kizárásának elvén” alapult. Először Lukasiewicz vetette fel a háromértékű logika lehetőségét, ahol egy állításnak három logikai értéke lehet: - igaz - hamis - harmadik lehetőség (pl. eldönthetetlen).

A logika története Ez az elmélet a gyakorlatban is felhasználható. Kvantummechanikai alkalmazhatóságának egyik felfedezője Neumann János volt. A fuzzy (fuzzy = elmosódott, bolyhos, nem éles határú) logika még tovább ment. Míg a kétértékű logikában csak a 0 (hamis) és az 1 (igaz) logikai érték lehetséges, addig itt bármely 0 és 1 közötti számértéket fölvehet. A többértékű logika gondolatát a halmazelméletben először Zadeh vezette be az ún. fuzzy-részhalmaz fogalmán keresztül. Ebből kiindulva felépíthetővé vált egy teljes matematikai irányzat (fuzzy-matematika), melynek egy ága a fuzzy-logika. Míg a hagyományos kétértékű logika és a technika összefonódásának köszönhető a számítógép, addig a fuzzy-logika főként a vezérlést forradalmasította (videó kamerák, porszívók, mosógépek készülnek ezen technika segítségével)

Mi az ítélet? Az ítélet olyan mondat, amely vagy igaz, vagy hamis. Azt, hogy az adott ítélet igaz vagy hamis, az ítélet logikai értékének nevezzük. Jelölése: i igaz h hamis

Mi az ítélet? A 2 páros és prím. Logikai értéke pedig igaz. A mákos tészta egyik alapanyaga a mustár. Ennek logikai értéke hamis. Most következzen egy mondat, ami nem ítélet: Hazudok. Ennek nem dönthető el a logikai értéke, hiszen: 1. ha igaz, akkor hazudok, tehát hamis 2. ha hamis, akkor igazat mondok, vagyis igaz.

Az elemi ítélet és az ítélet Az elemi ítélet olyan ítélet, amely nem bontható tovább más ítéletekre. Minden ítélet egy vagy több elemi ítélet logikai műveletekkel való összekapcsolásával hozható létre. Egy összetett ítélet: A 2 páros és prím. Ez két elemi ítélet összekapcsolása az ÉS logikai művelettel.

Az elemi ítélet és az ítélet

A logikai műveletek

Legyen A illetve B ítélet a következő. A: A gomba növény Legyen A illetve B ítélet a következő. A: A gomba növény. (logikai értéke: h) B: A kukorica növény. (logikai értéke: i) C: A gorilla emlős. (logikai értéke: i) Ebből képezhetünk összetett ítéleteket. Például a következőket.

A negáció Jele: A negáció az ítélet tagadása. Ha p igaz, akkor p hamis. Ha pedig p hamis, akkor p igaz. Példa: p: Süt a nap. Ha a "süt a nap" kijelentés igaz, akkor a "nem süt a nap" kijelentés hamis. Ha a "süt a nap" kijelentés hamis, akkor a "nem süt a nap" kijelentés igaz.

A negáció

A konjunkció Jele:  Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk az ÉS kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a konjunkció. Egy konjunkció logikai értéke csak akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek mindegyike igaz. Egyébként hamis. Példa: r: A hidrogén nemesgáz. s: A hidrogén vegyjele H. A hidrogén nem nemesgáz, tehát az állítások közül az első hamis. A hidrogén vegyjele H, tehát a második állítás igaz. Így a "hidrogén nemesgáz ÉS vegyjele H" állítás  hamis lesz.

A konjunkció

A diszjunkció Jele:  Ha két vagy több ítéletet összekapcsolunk a VAGY kötőszóval, új ítéletet kapunk. Ez a logikai művelet a diszjunkció. Egy diszjunkció logikai értéke akkor igaz, ha a benne szereplő ítéletek közül legalább az egyik igaz. Egyébként hamis. Példa: r: A kukorica növény. s: A kukorica állat. A kukorica növény, tehát az állítások közül az első igaz. A kukorica nem állat, tehát a második állítás hamis. Így a "kukorica növény vagy állat" állítás igaz lesz, mivel legalább az egyik teljesült.

A diszjunkció

Az antivalencia Jele:  Olyan vagy művelet, amely akkor igaz, ha a benne szereplő állítások közül pontosan egy igaz. Egyébként hamis. Példa: r: Rendet rakok a szobámban. s: Kimegyek görkorcsolyázni. A "VAGY rendet rakok a szobámban, VAGY kimegyek görkorcsolyázni." mondat hamis, ha mindkét állítás igaz. Azaz akkor igaz, ha rendet rakok a szobámban, de nem korcsolyázom, vagy ha korcsolyázom, de nem rakok rendet.

Az antivalencia

Az implikáció Jele:  Ha p és q két állítás, akkor a HA p, AKKOR q alakú új állítást implikációnak, vagy következtetésnek nevezzük, és azt jelenti, ha p igaz, akkor q is igaz. Ezt úgy mondjuk, hogy "p implikálja q-t". Az implikáció csak akkor hamis, ha a feltétel igaz, és a következmény hamis ( p igaz, de q hamis). Az implikáció tehát két részből áll:

Az implikáció r: esik az eső s: vizes a járda A r s implikáció így hangzik: "Ha esik az eső, akkor vizes a járda". Ennek logikai értéke igaz. A s r implikáció, ami az előző megfordítása pedig így hangozhat: "Ha vizes a járda, akkor esik az eső". Amint látjuk ennek lehet hamis is a logikai értéke, például, ha egy locsoló kocsi járt arra. Láthatjuk tehát, hogy egy implikációnak és megfordításának nem feltétlenül egyezik meg a logikai értéke.

Az implikáció

Az ekvivalencia Jele:  Ha egy implikációnak és megfordításának logikai értéke megegyezik (vagy egyszerre igaz, vagy egyszerre hamis), akkor ezt ekvivalenciának nevezzük. Ha például p q igaz, és megfordítása q p is egyszerre igaz, akkor implikációnak nevezzük. Vagy ha r s hamis, és megfordítása s r is egyszerre hamis, akkor szintén implikációról beszélünk. Tehát az implikáció így írható fel: (p q) (q p) Az ekvivalenciát a "p akkor és csak akkor, ha q" alakban szoktuk megfogalmazni. Példa: p: A háromszög egyenlő oldalú q: A háromszög minden szöge egyenlő p q: A háromszög akkor és csak akkor egyenlő oldalú, ha minden szöge egyenlő. Ezt megfogalmazhatnánk két implikáció formájában is: Ha a háromszög egyenlő oldalú, akkor minden szöge egyenlő. ÉS Ha a háromszög minden szöge egyenlő, akkor egyenlő oldalú.

Az ekvivalencia

A Sheffer művelet Jele: | Kizárásnak is szokás nevezni. A művelet logikai értéke csak akkor hamis, ha az ítéletek közül mindkettő igaz. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Sheffer művelet akkor igaz, ha legalább az egyik állítás hamis.

Táblázatban ábrázolva: A Sheffer művelet p q p |q i h

A sem-sem művelet Jele: ~ A művelet logikai értéke csak akkor igaz, ha az ítéletek közül mindkettő hamis.

Táblázatban ábrázolva: A sem-sem művelet p q p ~q i h

Legyenek p, q, r és s a következő ítéletek. p: Szép nap van Legyenek p, q, r és s a következő ítéletek! p: Szép nap van. q: Még a rabkocsiból is nóta hangzik. r: Kutyák futkosnak az árokszélen. s: Mindenki remekül tölti az időt. 1. feladat: Fogalmazd meg a következő kijelentéseket! a) p  r b) p  s  q c) r  s

a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen. b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik. c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki remekül tölti az időt.

a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen a) Szép nap van és kutyák futkosnak az árokszélen. b) Ha szép nap van, akkor mindenki remekül tölti az időt, és még a rabkocsiból is nóta hangzik. c) Vagy kutyák futkosnak az árokszélen, vagy mindenki remekül tölti az időt. Írd fel a következő mondatokat logikai jelek segítségével! a) Mindenki remekül tölti az időt, és kutyák futkosnak az árokszélen. b) Ha nem futkosnak kutyák az árokszélen, akkor mindenki remekül tölti az időt. c) Akkor és csak akkor tölti mindenki remekül az időt, ha még a rabkocsiból is nóta hangzik.

a) s  r b) r  s c) s  q

Add meg a következő kifejezés logikai értékét, ha p igaz, q igaz, r hamis, s hamis. a) p  q  b) q  s  c) s  p d)  s e) q  r f) s ~ r

a) igaz, mert ha az implikáció feltétele és következménye is igaz, akkor az implikáció is igaz. b) igaz, mert az antivalencia akkor igaz, ha az ítéletek közül pontosan az egyik igaz, itt pedig q igaz, és s hamis. c) igaz, mert a Sheffer művelet csak akkor hamis, ha mindkét ítélet igaz, itt pedig az egyik (s) hamis. d) igaz, mert s hamis, ezért negációja (tagadása) igaz. e) igaz, mert a diszjunkció akkor igaz, ha legalább az egyik ítélet igaz. f) igaz, mert a sem-sem művelet csak akkor igaz, ha mindkét ítélet hamis. Itt pedig r és s is hamis.

A király két ajtó elé állította a rabot, majd így szólt: - Két ajtót láthatsz. Azt nem lehet tudni, hogy melyik hova vezet. Lehet, hogy mindkettő a halálba, lehet, hogy mindkettő a szabadsághoz, de az is lehet, hogy az egyik ide, a másik oda. Az ajtókon feliratokat találsz. Vagy mindkét felirat igaz, vagy mindkettő hamis. Válassz! Legalább az egyik ajtó a szabadságba vezet A másik ajtó mögött a hóhér vár.

Ha a második felirat hamis lenne, akkor az első ajtó a szabadságot jelentené. Tehát teljesülne az első felirat. Márpedig vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Így kizártuk, hogy mindkettő hamis, ezért mindkét felirat igaz. Ekkor a rab a 2. ajtót választotta, és megmenekült.

A király ismét kiválasztott egy rabot, és a két ajtó elé állította: - A társad megmenekült, s ha te is szeretnél szedd össze magad, mert nehezítettem a feladaton. Ha a szabadságba vezet az 1. ajtó, akkor a rajta lévő felirat igaz, ha a halálba, akkor hamis. A 2. ajtónál pedig pont fordítva. Ha a szabadságba vezet, akkor hamis, ha a halálba, akkor igaz. Melyik ajtót nyissuk ki? Mindkét ajtó a szabadságba vezet.

A két felirat egyforma, tehát vagy mindkettő igaz, vagy mindkettő hamis. Nézzük meg először azt az esetet, ha mindkettő igaz. Eszerint mindkét ajtó a szabadságba vezet. Tehát a második is. Ekkor viszont a második feliratnak hamisnak kell lennie, és ez ellentmond annak, hogy mindkét felirat igaz. Tehát csak egy lehetőség maradt: mindkét felirat hamis. Ekkor pedig az első ajtó mögött a hóhér várja a rabot, a második mögött pedig a szabadság.

Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet. A király ismét kiválasztott egy rabot, és őt is a két ajtó elé állította, s mivel bosszantotta, hogy a két első rab megmenekült, a feliratokat a harmadik rab kezébe nyomta: - Döntsd el te, hogy melyik való az első és melyik a második ajtóra! Csak ne feledd, hogy ha a szabadságba vezet az 1. ajtó, akkor a rajta lévő felirat igaz, ha a halálba, akkor hamis. A 2. ajtónál pedig pont fordítva. Ha a szabadságba vezet, akkor hamis, ha a halálba, akkor igaz. Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet. Mindkét ajtó a halálba visz

Nézzük meg először azt az esetet, ha az első felirat az első ajtóra kerül: Ekkor ha az első ajtó az életet jelentené, akkor igaznak kéne lenni a rajta lévő feliratnak, de az hamis. Ha viszont az első ajtó a halálba vinne, akkor a rajta lévő felirat hamis lenne, de ebben az esetben igaz. Tehát mindenképpen ellentmondásra jutunk, ezért a feliratokat pont fordítva kell elhelyezni:   Ha az első ajtó az életet jelentené akkor igaz lenne, tehát mindkét ajtó mögött hóhér állna. Viszont ekkor az első felirat hamis lenne, és ez ellentmondás. Ezért az első ajtó a halálba visz, s a rajta lévő felirat hamis. Tehát van egy az életbe vezető ajtó, ez pedig a második ajtó.   Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet. Mindkét ajtó a halálba visz Mindkét ajtó a halálba visz Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet.

Már csak egy rab maradt a tömlöcben Már csak egy rab maradt a tömlöcben. A király mivel már nagyon vágyott egy jó kis kivégzésre, úgy gondolta, hogy most három ajtó közül kell választani, és abból kettő mögött hóhér várja a rabot, egy mögött viszont a szabadság. Mivel azonban akart adni egy kis esélyt a rabnak, elárulta, hogy legfeljebb az egyik felirat igaz. Melyiket válassza?   Ez az ajtó a hóhérodhoz vezet. Ez az ajtó visz a szabadsághoz. A második ajtó mögött hóhér vár.

A második és a harmadik felirat ellentmond egymásnak, tehát az egyik biztos igaz, a másik biztosan hamis. És mivel legfeljebb egy felirat lehet igaz, ezért az első biztosan hamis. Tehát az első ajtót kell választani.

Egy szigeten lovagok és lókötők élnek Egy szigeten lovagok és lókötők élnek. Az első járókelőtől megkérdezzük: - Ön lovag? Mit fog válaszolni?

Feladat. Egy szigeten lovagok és lókötők élnek Feladat. Egy szigeten lovagok és lókötők élnek. Az első járókelőről szeretnénk meg­tudni, hogy lovag-e, vagy lókötő. Egyetlen eldöntendő kérdést tehetünk fel neki. Mi legyen ez?

Seholsincs szigeten járunk, ahol van hazugmondók városa és igazmondók városa, de a városlakók átjárogatnak egymáshoz látogatóba. Mit kérdezzen a vándor, ha meg akarja tudni, melyik városban van?

Egy vándor egy útkereszteződéshez ér, ahol az út kétfelé ágazik, az egyik a szakadékba, a másik a városba vezet. A kereszteződében áll egy ház, ahol egy ikerpár él, az egyikük igazmondó, a másikuk hazugmondó. Amikor a vándor megérkezik, csak az egyikük van otthon, de nem tudni, hogy melyikük. A vándor egyetlen kérdést tehet fel, hogy megtudja, melyik városban van. Mi legyen ez a kérdés? Tegyünk fel

A lovagok és lókötők szigetén a lakók az igen és nem szavak helyett a plink és plank szavakat használják, de nem tudjuk, hogy melyik melyik. Melyik az a kérdés, amiből ez eldönthető?

A műveletek sorrendje Egy többszörösen összetett művelet logikai értékét többféleképpen lehetne értelmezni, ha nem állítanánk fel egy műveleti sorrendet. A logika műveleteknél ez a következő. 1. negáció 2. konjunkció 3. diszjunkció 4. implikáció 5. ekvivalencia Egyenértékű jelek esetén pedig balról jobbra végezzük el a műveleteket.

Nézzük meg, hogy milyen értékeket vehet fel a kifejezés attól függően, hogy milyen sorrendet határozunk meg. 1. Először a negációt végezzük el, azután a konjunkciót:

2. most nézzük meg milyen igazságértékeket kapunk, ha a konjunkciót végezzük el először, és csak azután a negációt:

Láthatjuk, hogy két teljesen különböző eredményt kaptunk, tehát fontos, hogy figyeljünk a helyes műveleti sorrendre.

Logikai érték kiszámítása igazságtáblával A több állításból álló ítéletek logikai értékének kiszámítása nehezen követhető, ha segítség nélkül próbáljuk végiggondolni. Az igazságtábla segít rendszerezni a különböző műveletek logikai értékét. Példa: (pq )(pr) A logikai értékek meghatározásához tudnunk kell a pq és a pr kifejezések logikai értékét. A pr meghatározható közvetlenül a p és az r logikai értékeiből, de a pq meghatározásához még szükségünk van a q értékeire is.

Először beírjuk p, q és r összes variációját Először beírjuk p, q és r összes variációját. Majd q alapján q-t határozzuk meg. Így könnyen megadható pq kifejezés. Ezután megadjuk pr logikai értékeit. pq és pr alapján meghatározható a végeredmény.

Határozd meg a következő ítéletek lehetséges logikai értékeit igazságtábla segítségével! a) (AB)(AB) b) (p q)(qr)

A műveletek tulajdonságai

Három szigetlakó (X, Y, Z) áll a tengerparton. Megkérdezzük X-et: Te igazmondó vagy?, de nem értjük mit mond. Megkérdezzük Y-t: Mit mondott X? Mire Y: X azt mondta, hogy nem. Mire közbeszól Z: Ne higgyen Y-nak, hazudik. Van-e köztük igazmondó? és hazugmondó?