A TŐKEKÖLTSÉG

Tőkeköltség a tőkepiacról Tőkepiac: pénzt cserélünk pénzre Pl. pénzt adok egy vállalatnak valamilyen jövőbeli (várható) kifizetésekért cserébe Az elcserélt pénzek különböznek kockázatosságukban és/vagy időtávjukban Tőkeköltség: a tőke használatának alternatíva költsége ~ azonos kockázatú (és időtávú) tőkepiaci lehetőség várható hozama Várható hozam és kockázat kapcsolata a tőkepiacon: tőkepiaci árfolyamok modellje (Capital Asset Pricing Model, CAPM) – célunk most ennek levezetése…

Várható hasznosság maximalizálása Emlékezzünk: racionalitás: várható hasznosság maximalizálása Matematikai várható érték vs. várható hasznosság Minket nem a vagyon (pénz) érdekel önmagában, hanem a hozzá tartozó hasznosság! Miért más a két célfüggvény?

Csökkenő határhasznosság elve Egy újabb egységnyi vagyonnövekedésre eső hasznosság egyre kisebb… 𝑀𝑈 𝑊 = 𝑑𝑈(𝑊) 𝑑𝑊

Kockázatkerülés A csökkenő határhasznosságból fakad A matematikailag „fair” eset elutasítása Példa: 50% valószínűséggel nyerhetünk, illetve veszthetünk 1 millió Ft-ot – miért nem vágunk bele? Vagyonunk ugyan várhatóan nem változik: E(W) = 0,5*(W0+1) + 0,5*(W0-1) = W0, de: 1 millió Ft megnyerése kisebb öröm, mint amekkora fájdalom 1 millió Ft elvesztése Matekosan: E(U(W)) = 0,5*U(W0+1) + 0,5*U(W0-1) < U(W0) Azaz ha belevágunk, hasznosságunk várhatóan csökken! Minél „görbültebb” a hasznosságfüggvény, annál inkább kockázatkerülő

Hozamok és kockázatkerülés (I.) Vagyon ~ pénzösszeg ~ hozam: jellegükben ugyanazok az összefüggések megmaradnak Ezentúl a hozammal foglalkozunk Hozam – valószínűségi változó Sok, egymástól független véletlen hatás eredőjeként alakul → normális eloszlásúnak feltételezhetjük Így két paraméterrel definiálható: E(r) várható érték és σ(r) szórás A kockázatot matematikailag a szórással ragadjuk meg Tegyük az eddigieket egy modellbe!

Hozamok és kockázatkerülés (II.) Azonos várható hasznosságot jelentő hozamok (egy adott, kockázatkerülő befektetőre): rA E(rC) r E(rB) E(rD)

Hozamok és kockázatkerülés (III.) Egy közömbösségi görbe:

Hozamok és kockázatkerülés (IV.) Várható hozam – szórás preferencia-térkép két eltérő kockázatkerülésű befektetőre:

Hozamok és kockázatkerülés (V.) Várható hozam – szórás kapcsolat analitikusan (közelítő formula): A: kockázatkerülési együttható A kockázatot a matematikai szórással azonosítjuk A hozamokat normális eloszlásúnak feltételezzük Kockázatkerülést tételezünk fel

Hatékony portfóliók tartása (I.) Láttuk: egy befektetésnek van valamilyen várható hozama és kockázata Csökkenthető-e a kockázat úgy, hogy a várható hozam nem változik? Ha igen, és költségmentesen, akkor nyilván élni fogok ezzel a lehetősséggel Modern portfólió-elmélet (Modern Portfolio Theory, MPT) Harry Markowitz, ’50-es évek, később Nobel-díj Portfólió: befektetésekből álló „csomag”

Hatékony portfóliók tartása (II.) Kombináljuk a különféle befektetési lehetőségeket! Diverzifikáció: a tőkénk megosztása több befektetési lehetőség között (~portfólió kialakítása) A portfólió nem szimplán csak az egyedi befektetések összessége A várható hozama nem, viszont a szórása függ az egyes elemek közötti sztochasztikus kapcsolatoktól! Normális eloszlás, E(ri), σ(ri)

Hatékony portfóliók tartása (III.) Egy n elemből álló P portfólió várható hozama: A portfólió szórása:

Hatékony portfóliók tartása (IV.) Nézzük meg n=2-re: És n=3-ra is:

Hatékony portfóliók tartása (V.) Tetszőleges n elemszámú portfólió – mi van, ha minden korreláció 1 (teljes függőség van)? A portfólió szórása ekkor tehát az elemek szórásainak súlyozott átlaga

Hatékony portfóliók tartása (VI.) Ugyanez, csak n db egyformán „átlagos” szórású elemre: Természetesen ugyanazt kaptuk, mint előbb

Hatékony portfóliók tartása (VII.) Nézzük, mi van, ha minden páronkénti korreláció 0! Tekintsünk most is n db egyformán „átlagos” szórású elemet!

Hatékony portfóliók tartása (VIII.) Mi van akkor, ha n → ∞ ?

Hatékony portfóliók tartása (IX.) Ha van negatív korrelációjú tag, akkor kevesebb elemszám esetén is nulla lehet a portfólió szórása Akár már két elem is elegendő lehet Ha minden tag 0 és 1 közötti korrelációjú, akkor csökken a szórás, de nem nulláig Ha mindenféle korreláció előfordul, akkor lehet nulla, de ha többségében pozitív kapcsolat, akkor valamilyen pozitív értékig csökken csak (a szórás negatív nem lehet!) Általános szabály: ha nincs teljes függőség, akkor nagyobb elemszám → kisebb szórás, és minél kisebb korrelációk, annál „gyorsabban” Cél: úgy kombinálni a befektetési lehetőségeket, hogy minél nagyobb várható hozamhoz minél kisebb szórás

Hatékony portfóliók tartása (X.) Példa: Részvény Danubius (i) Pannonplast (j) Várható hozam (%) 2,5 3,3 Szórás (%) 11,4 17,1

Hatékony portfóliók tartása (XI.) Ábrázoljuk a lehetséges portfóliókat különféle korrelációk esetén: A korrelációk persze a valóságban adottak…

Hatékony portfóliók tartása (XII.) Nézzük meg a három különböző elemből összeállítható portfóliókat (feltüntetve a páronként lehetséges portfóliókat is): Látható, hogy a három befektetési lehetőséggel együtt érhető el a legnagyobb szórás- csökkenés…

Hatékony portfóliók tartása (XIII.) Nézzük meg a „világ összes” kockázatos befektetési lehetőségét: Hatékony portfóliók Az adott befektetőnek a B pont maximalizálja a hasznosságát Feltételezések: 1) nincsenek szélsőséges hozam-szórás párok, 2) egy adott kockázati szint alatt nincs lehetőség, 3) a szórás nem csökkenthető nulláig

Hatékony portfóliók tartása (XIV.) Hatékony portfólió: adott várható hozamnál a legkisebb kockázatot, ill. adott kockázatnál a legnagyobb várható hozamot adja (nem diverzifikálható tovább) A kockázat alakulása a diverzifikáltság mértékével:

Hatékony portfóliók tartása (XV.) A különböző preferenciájú befektetők választása: A kockázatkerülési együtthatójuktól függ, hogy melyik hatékony portfóliót választják

Hatékony portfóliók tartása (XVI.) A Markowitz-féle modell problémái Egy befektetésnek az összes többi befektetéssel való korrelációs kapcsolatát ismerni kell A tartott hatékony portfóliók befektetőnként eltérőek → egy-egy befektetés ténylegesen érzékelt kockázata befektetőnként eltérő A modell gyakorlati alkalmazása „szinte reménytelen”

Portfólió-választás példa (I.) Adott két befektetési lehetőség: i: E(ri) = 12%, σ(ri) = 15% j: E(rj) = 7%, σ(rj) = 9% ki,j = 0,3 Mekkora az ezen két elemből összeállított portfólió várható hozama és szórása, ha I.: ai = 0,2 és aj = 0,8 II.: ai = 0,8 és aj = 0,2 Az I. és a II. portfólió közül melyiket választaná egy A=2, illetve egy A=8 kockázatkerülésű befektető? Ábrázoljuk grafikusan is! (csak jelleghelyesen)

Portfólió-választás példa (II.) Megoldás I. portfólió: E(rP) = 0,2*0,12 + 0,8*0,07 = 0,08 = 8% σ(rP) = [(0,2*0,15)2 + (0,8*0,09)2 + 2*0,3*0,2*0,15*0,8*0,09]1/2 = 0,0859 = 8,59% II. portfólió: E(rP) = 0,8*0,12 + 0,2*0,07 = 0,11 = 11% σ(rP) = [(0,8*0,15)2 + (0,2*0,09)2 + 2*0,3*0,8*0,15*0,2*0,09]1/2 = 0,1266 = 12,66%

Portfólió-választás példa (III.) Portfóliók várható hasznossága, ha A=2: I. portfólió: U = 0,08 – 0,5*2*0,112 = 0,0726 II. portfólió: U = 0,11 – 0,5*2*0,12662 = 0,0940 Mivel UII > UI, ezért a II. portfóliót választaná Portfóliók várható hasznossága, ha A=8: I. portfólió: U = 0,08 – 0,5*8*0,112 = 0,0505 II. portfólió: U = 0,11 – 0,5*8*0,12662 = 0,0459 Mivel UI > UII, ezért az I. portfóliót választaná

Portfólió-választás példa (IV.) E(r) UIA=8 > UIIA=8 UIIA=2 > UIA=2 i 12% 11% II. I. 8% Csak hozzávetőleg, jellegében helyes ábrázolás! 7% j σ(r) 8,59% 9% 12,66% 15%

Portfólió-választás példa (V.) Gyakorlásra: Kétféle portfólió 3 db elemből: Korrelációk: ki,j = -0,2; ki,z = 0,7; kj,z = 0,5 Az I. vagy II. portfóliót választaná egy A=8 befektető? (Megoldás: a II.-t, mert UII = 0,0456 > UI = 0,0387, mivel I.-re E(rP) = 7,60% és σ(rP) = 9,66%, és II.-re E(rP) = 6,60% és σ(rP) = 7,14%) E(r) σ(r) I. II. i 10% 20% 0,4 0,2 j 8% 12% z 5% 0,6

Portfólió-választás példa (VI.) Csak akit jobban érdekel a téma, és szeret számolni: Előző kételemű példához: i-hez és j-hez önmagában tartozó hasznosságok Legkisebb szórású portfólió meghatározása Legnagyobb hasznosságú portfólió meghatározása (Utóbbi kettőhöz az ötlet: aj = 1 – ai, majd egy egyváltozós szélsőérték feladat) Aki rajzolni is szeret: pontosabb grafikus ábrázolás a fentiek ismeretében…