Matematikai logika

Kijelentés Kijelentés vagy ítélet: egy olyan kijelentő mondat, amelyről egyértelműen el lehet dönteni, hogy igaz (i) vagy hamis (h) Axióma: olyan kijelentés, amelyet igaznak fogadunk el. Sejtés: olyan kijelentés, amelyről nincs igazolva, hogy igaz. Tétel: olyan kijelentés, amelyről igazolva van, hogy igaz.

Kijelentés tagadása (negációja) a nem szócska segítségével a P ítélet tagadásának jelölése P Melyik tagadása a következő mondatnak: „Zsolt magasabb Eszternél”? Eszter magasabb Zsoltnál. Zsolt nem magasabb Eszternél. Nem igaz, hogy Zsolt magasabb Eszternél. Zsolt alacsonyabb Eszternél. Zsolt ugyanolyan magas, mint Eszter.

Kijelentések összekapcsolása Konjunkció Ha két ítéletet az és kötőszóval kapcsolunk össze, akkor konjunkciót kapunk. Jelölés: Ha P és Q két ítélet, akkor a két ítélet konjunkcióját PQ-val jelöljük. Két ítélet konjunkciója akkor és csak akkor igaz, ha mindkét ítélet igaz.

Kijelentések összekapcsolása Diszjunkció Ha két ítéletet a vagy kötőszóval kapcsolunk össze, akkor diszjunkciót kapunk. Jelölés: Ha P és Q két ítélet, akkor a két ítélet diszjunkcióját PQ-val jelöljük. Két ítélet diszjunkciója akkor és csak akkor igaz, ha legalább egyik ítélet igaz.

Kijelentések összekapcsolása Implikáció Legyen P és Q két ítélet. A „ha P akkor Q” összetett ítéletet implikációnak nevezzük. Jelölés: Ha P és Q két ítélet, akkor a két ítélet implikációját PQ-val jelöljük. A PQ ítélet akkor és csak akkor hamis, ha P igaz és Q hamis, minden más esetben igaz.

Kijelentések összekapcsolása Ekvivalencia Legyen P és Q két ítélet. A „P akkor és csak akkor ha Q” összetett ítéletet ekvivalenciának nevezzük. Jelölés: Ha P és Q két ítélet, akkor a két ítélet ekvivalenciáját PQ-val jelöljük. A PQ ítélet akkor és csak akkor igaz, ha a P és Q ítéletek logikai értéke megegyezik.

Feladat Igazoljuk, hogy a PQ ítélet ekvivalens a PQ ítélettel.

Összetett kijelentések tagadása A konjunkció és a diszjunkció tagadására vonatkozó szabályt a de Morgan képletek adják meg: (PQ)  (P)(Q) (PQ)  (P)(Q) Mi a tagadása a következő ítéleteknek? A váza magas és kék. Rita zongorázik vagy hegedül.

Összetett kijelentések tagadása Az implikáció tagadása esetén az implikációt felírhatjuk diszjunkció segítségével, és a diszjunkció tagadására a de Morgan képletet használjuk: (PQ)  (PQ)  P(Q) Mi a tagadása a következő ítéletnek? Ha szombaton szép idő van, akkor kirándulni megyek. Ha sokat tanulok, akkor jól vizsgázom.

Következtetési sémák Modus ponens: Ha P igaz és PQ igaz, akkor Q igaz. Példa: Adott a következő két állítás: Ha szombaton szép idő van, akkor kirándulni megyek. Most szombaton szép idő van.  Most szombaton kirándulni megyek.

Következtetési sémák Modus tollens: Ha Q igaz és PQ igaz, akkor P igaz. Példa: Adott a következő két állítás: Ha szombaton nincs szép idő, akkor nem megyek kirándulni. Most szombaton kirándulni megyek.  Most szombaton szép idő van.

Következtetési sémák Modus tollendo ponens: Ha PQ igaz és P igaz, akkor Q igaz. Példa: Adott a következő két állítás: Szombaton vagy vasárnap kirándulok. Szombaton nem kirándulok.  Vasárnap kirándulok.

Következtetési sémák Modus barbara: Ha PQ igaz és QR igaz, akkor PR igaz. Példa: Adott a következő két állítás: Ha szombaton szép idő van, akkor kirándulni megyek. Ha kirándulni megyek, akkor jól érzem magam.  Ha szombaton szép idő van, akkor jól érzem magam.

Feladat Az alábbi ítéletpárokból fogalmazz meg következtetést: a) Márta matematikából vagy fizikából érettségizik. Márta nem érettségizik fizikából. b) Ha tanulok, akkor jól sikerül az érettségim. Ha jól sikerül az érettségim, akkor bejutok az egyetemre. c) Ha esik az eső, akkor autóval megyek a városba. Esik az eső.

Predikátum Predikátum: Egy olyan kijelentő mondat, mely egy vagy több változótól függ, és amely ezen változók minden megengedett rögzített értékeire egy ítéletet ad. Jelölés: P(x). Zárójelbe írjuk azokat a változókat, amelytől a predikátum függ. Példák: P(x):”Az x természetes szám kisebb mint 5.” predikátum. x=3-ra a “3 kisebb mint 5” igaz kijelentést kapjuk; x=6-ra a “6 kisebb mint 5” hamis kijelentést kapjuk.

Logikai kvantorok Univerzális kvantor: „minden x-re ...”. Jelölés:  Egzistenciális kvantor: „létezik x amelyre ...”, „van olyan x, hogy ...” Jelölés: 

Univerzális kvantotokat tartalmazó kijelentések tagadása Egy olyan kijelentést tagadva, amely logikai kvantorokkal van megfogalmazva, az univerzális kvantifikátor átalakul egzisztenciális kvantifikátorrá, az egzisztenciális kvantifikátor átalakul univerzális kvantifikátorrá. Mi a tagadása a következő ítéleteknek? Minden madár télen elköltözik melegebb vidékre. Van olyan állat, aki nem alszik téli álmot.