Tehetséggondozás, feladatok, tapasztalatok Katz Sándor: Tehetséggondozás, feladatok, tapasztalatok

Bemutatómban minden 3k sorszámú dia két részből áll: A bal oldaliban felsorolom azokat a legfontosabb tevékenységeket, amelyeket a bonyhádi Petőfi Sándor Gimnáziumban végeztem, végeztünk az elmúlt 35 évben A jobb oldaliban feladatokat mutatok be, amelyek valamilyen módon kapcsolódnak a jobb oldalon felsorolt tevékenységhez. (A 3k+1 sorszámú diák a témához, a feladathoz fűzött kommentárt, megjegyzést tartalmaznak. A 3k+2 sorszámú diák a feladat megoldását, vagy csak megoldási ötletet adnak.)

Mit tettünk, teszünk Bonyhádon? Matematikából emelt szintű osztályok 70-es években: Fizika tagozat 80-as években: Emelt szintű csoportok saját tantervvel 1. feladat Ketten felváltva tépdesik egy virág szirmait. Vagy egy, vagy két szomszédos szirmot lehet letépni. Az nyer, aki az utolsó szirmot elveszi. Ki tud nyerni, a kezdő vagy a második?

Kommentár az 1. feladathoz A saját tanterveinkben nagyon fontos szerepet szántunk a matematikatörténeti vonatkozásoknak és a játékoknak. Az 1. feladat egy bármilyen osztályban játszható játékot mutat be. Ezt a feladatot is, és még sok továbbit a Kvant rendkívül gazdag anyagából fordítottam

Az 1. feladat megoldása

Mindegyik saját tantervvel 90-es évektől: 9-12. évfolyamon: Természettudományos osztály 6 osztályos: Matematikából emelt szintű csoport Mindegyik saját tantervvel 2.feladat Egy 10 x 10 telekből álló négyzet alakú területen 9 telket benőtt a gyom. Egy év alatt átterjed a gyom azokra a mezőkre, amelyeknek legalább két oldalszomszédja gyomos. Lehetséges-e a 9 gyomos mezőnek olyan elrendezése, amelynél néhány év alatt minden mezőre átterjed a gyom?

Kommentár a 2. feladathoz Szintén a Kvantból fordítottam ezt a feladatot a 80-as évek elején, ahol nem volt megoldása. Sokáig ez igen nehéz feladatnak számított, aztán fokozatosan közismertté vált. Azóta már több versenyen kitűzték, pedig nem versenyre való feladat. Viszont kiváló példa a lehetetlenségi bizonyításokban az invariáns mennyiség keresésére, alkalmazására.

A 2. feladat megoldása Nincs olyan elrendezés, amelynél minden mezőre átterjed a gyom Vegyük észre, hogy a terjedésnél a gyomos mezők kerülete nem nő! Így az eredeti legfeljebb 9 x 4 =36 egységnyi kerület nem nő. Ha a teljes területre átterjedne a gyom, akkor a kerület 4 x 10 = 40 lenne.

Helyben készült szakmai anyagok Feladatgyűjtemények: Matematika feladatsorok Másod- és magasabb fokú egyenletek Trigonometria Logaritmus Fejér Lipót verseny 3. feladat Melyik a legkisebb természetes szám, amely osztható 56-tal, 56-ra végződik, és a jegyeinek összege is 56?

Kommentár a 3. feladathoz Ez a feladat is a Kvantból származik. Már hetedik osztályban feladható, de nem könnyű. Érdemes hosszabb időt hagyni a megoldásra, esetleg egészen apró ötletekkel segíteni a folyamatot.

A 3. feladat megoldása Mivel az összes jegy összege 56, ezért az 56 előtt álló jegyek összege 45, így az utolsó két jegy előtt még legalább öt jegy áll. Ha pontosan öt jegy állna, az csak úgy lehet, ha mind 9-es. A 9999956 szám viszont nem osztható 56-tal. A szám tehát legalább nyolcjegyű. A százasok helyén páros jegynek kell állni, mert csak úgy lehet a szám 8-cal osztható. Próbáljuk meghatározni az első számjegyét a számnak! Lehet-e az első jegy 1? Ekkor a szám csak 19999856 lehetne, mert hátulról a harmadik jegy nem lehet kilences. Ez nem osztható 56-tal. Tehát az első jegy legalább 2. Ha az első jegy 2, akkor a hiányzó 5 jegy összegének 43-nak kell lennie. A százasok helyén így csak 8 állhat, mert párosnak kell lennie és ha 6 vagy kisebb lenne, akkor nem lehetne a jegyek összege 56. A 2.-5. helyekre ekkor 3 kilencesnek és egy nyolcasnak kell kerülnie. A legkisebb ilyen szám a 28999856, de ez sem osztható 56­-tal. A következő legkisebb ilyen szám a 29899856. Ez egyenlő 56 x 533926-tel, így minden feltételnek megfelel. Tehát a keresett szám a 29899856.

Feladatgyűjtemények kéziratban Matematika feladatsorok kisgimnazistáknak Számelmélet és néhány szakköri téma Katz Sándor, Jakab Tamás: Tehetségfejlesztő feladatsorok az Arany János Tehetséggondozó Program előkészítő évfolyama számára 4. feladat Egy szigeten igazmondók és hazugok élnek. Három szigetlakóval, A-val, B-vel és C-vel találkozunk. - B igazmondó - mondja C. - A és C egyforma - mondja B. Milyen ember A?

Az Arany János tehetségfejlesztő programról Az Arany János Program előkészítő évfolyamára több munkaközösség is kidolgozott tantervet, de az iskolák döntő többsége a miénket fogadta el. A tantervhez készült feladatgyűjteményt egyelőre kéziratban használják a Program iskolái. Ebben sok olyan témakört tárgyalunk, amelyek kedvet csinálnak a gondolkodáshoz, a matematikatanuláshoz. Ezek közé tartoznak a logikai feladatok is Tehetségfejlesztő feladatsorok feladatgyűjtemény tartalomjegyzéke Igazmondók és hazugok. A logika elemei Szöveges feladatok Összegzések I. Százalékszámítás Törtekkel kapcsolatos feladatok. Törtkifejezések összegzése Ismétlődik? Lehet vagy nem? Konstrukciók és lehetetlenségi bizonyítások Mérlegeléssel kapcsolatos feladatok Játékok Kiválasztási és sorbarendezési feladatok Körmérkőzések Skatulyaelvvel megoldható feladatok Skatulyaelv geometria feladatokban Ábrás feladatok Szögekkel, sokszögekkel kapcsolatos feladatok I.-II. Területekkel kapcsolatos feladatok I. Területekkel kapcsolatos feladatok II. Sokszögek. Kombinatorikus geometria Térgeometria feladatok. Feladatok a földgömbön Mi a valószínűbb?

A 4. feladat megoldása A igazmondó. Vizsgáljuk végig a lehetséges 8 esetet A i i i i h h h h B i i h h i i h h C i h i h i h i h Az első állításnak megfelelnek a pirossal írtak, a második állításnak pedig a vastag betűsek. Látható, hogy az 1. és 4. oszlop lehetséges,és mindkettőben A igazmondó

Szakirodalmak CD 5. feladat Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan háromszögszámokból álló pár van, amelyek összege is háromszögszám! (Háromszögszámok az 1, 3, 6, 10, 15, … n(n+1)/2,… számok, mert ennyi db golyót elhelyezhetünk olyan háromszögben, amelynek minden oldala 1, 2, 3, … n,…)

A CD-ről és az 5.feladatról A NAT bevezetésekor állítottam össze ezt a CD-t, amely segítséget nyújthat a NAT témaköreire való felkészüléshez. A CD-n 1100 könyv és 11 folyóirat közel 2000 szakmai cikkének adatai között kereshetünk témakör, cím, szerző, megjelenés helye és ideje szerint. A CD-n 200 cikk olvasható is. A Matematika Tanítása kb. ötven évfolyamának cikkeit végignézve, rengeteg nagyon jó feladatot is találtam. Ezek közül való az 5. feladat, amely egy nem könnyű diophantoszi egyenlet, de a Pascal háromszög segítségével nagyon szép, szemléletes megoldás adható rá.

Az 5. feladat megoldása Tekintsük a Pascal-háromszöget: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …. 1 10 45 … 1 11 55 … A harmadik oszlop számai mind n(n+1)/2 alakúak, azaz háromszögszámok. Ahol a második oszlopban található n szám is háromszögszám, ott megfelelő számpárt találunk, hiszen a két egymás melletti szám összege az alattuk levő számot adja, amely viszont mind háromszögszám. Így végtelen sok párt (hármast) meg tudunk adni. (Ezeken kívül van több is.)

Előadások, szemináriumok Tanároknak Vándorgyűlésen Tanfolyamokon „Kölcsönben” az országban Diákoknak Megyei szakkörökön Veszprémben Matek táborokban 6. feladat Egy piaci árus tyúk- és kacsa-tojásokat árul. A tojások kosarakban vannak, az egyes kosarakban 4, 6, 12, 13, 22 és 29 tojás van, de mindegyik kosárban van mindkét fajta tojásból. „Ha ebben a kosárban levő tojásokat eladom, akkor pontosan kétszer annyi tyúktojás marad, mint kacsatojás.” - gondolja az árus. Melyik kosárra gondolt?

Megjegyzés a 6. feladathoz Ezt a feladatot alsó tagozaton tanítóknak javasoltam egy tanfolyamon, de túl nehéznek, nem alsó tagozatra valónak tartották. Néhány év múlva más tanítóknak úgy mutattam be, mint Zrínyi versenyen harmadikosoknak kitűzhető feladatot. Így már teljesen elfogadhatónak találták. Szerintem fontos az, hogyan közelítünk egy feladathoz. Sose azt keressük, hogy miért nem oldható meg, hanem azt, hogy milyen megközelítés visz közelebb a megoldáshoz.

A 6. feladat megoldása A 29-esre gondolt. Vegyük észre, hogy ha a kiválasztottat elveszi, akkor a megmaradt tojások száma osztható kell, hogy legyen 3-mal. Olyat kell elvennünk, hogy a maradék osztható legyen 3-mal. Próbálgatás helyett gyorsabb a következő meggondolás: Az összes tojás számának 3-as maradéka 2, és a kosarak közül csak 29-é lesz 2. Tehát csak ez vehető el.

Szakkörök általános iskolásoknak 6., 7. és 8. osztályban 7. feladat a) Van egy 7 szemből álló nyitott láncunk. Minden szem 1 g. 1 g-tól 7 g-ig minden egész grammot szeretnénk mérni a lánc szemeivel. Legfeljebb hány helyen kell elvágni? b) 2 szem, c) n szem elvágásával hány grammig tudunk mérni? d) És ha mindkét serpenyőbe tehetünk súlyokat?

Megjegyzés a 7. feladathoz Általános iskolás szakköreink témakörei nem a szorosan vett tananyaghoz kapcsolódnak, hanem inkább érdeklődést felkeltő, tipikus szakköri témák: Logikai feladatok, mérlegelés, skatulya elv, számolás maradékokkal, érdekes összegzések. A 7. feladat a szokásos láncdarabolós logikai feladatot mérlegelési problémával köti össze. Ajánlom azért is, mert a kérdések sok szinten folytathatók.

A 7. feladat megoldása

További módszerek „Szorgalmi” feladatok rendszere Feladatok „hosszabb (A legtöbb siker és legtöbb kudarc.) Feladatok „hosszabb távra” 8. feladat Hány különböző eleme van a következő sorozatnak?

A „szorgalmi” feladatokról A matematikából emelt szintű csoportjainkban is nagyon szórt a tanulók képessége, ezért folyamatosan differenciált feladatanyaggal dolgozunk. A mindenki számára kötelező házi feladatok mellett ún. szorgalmi feladatokat is kapnak amelyeket a képességek, szorgalom arányában adnak be, és ezekért plusz pontokat, ötösöket kaphatnak. A nehezebb feladatokhoz a következő órán segítséget kaphatnak, és így újabb megoldók léphetnek be. A 8. és 9. feladat ilyen szorgalmi szintű.

A 8. feladat megoldása Amíg a belső függvény, értékei 1-nél nem nagyobb értékkel nőnek, addig 0-tól kezdve egyetlen egész szám sem marad ki az egészrészek közül, ezután viszont minden egészrész különböző lesz. … (Javasoljuk itt is, de szinte minden feladatnál, hogy a tanulók tegyenek fel további kérdéseket. Itt pl. azt lehet „kiprovokálni”, hogy vajon az évszámmal együtt minden évben nő a feladat eredménye? Legközelebb mikor nem nő?)

További lehetőségek Megyei szakkörök Kezdő: Freller Miklós 9-10. évfolyam (Több mint 30 éve) Haladó: Jakab Tamás 11- 12. évfolyam 9. feladat Jelölje an a –hez legközelebbi egész számot! (n∈ N) a) Mennyi a1 + a2 + ....+ a2008 ? b) Mennyi ?

További megjegyzések a „szorgalmi” feladatokról A nehezebb szorgalmi feladatokat célszerű nem a következő órára, hanem kicsit hosszabb távra, pl. egy hétvégére, szünetre, egy hetes vagy akár hosszabb időtartamra feladni, és sokféle ösztönzést kipróbálni, hogy minél többen oldják meg. A szokásosnál kissé nagyobb az érdeklődés a tanulókban az évszámhoz kötött feladatok iránt. Sok feladat átfogalmazható ilyenné. Szoktassuk rá a tanulókat, hogy az eredmény megadásával nincs készen a feladat, jutalmazzuk az okos kérdéseket, megjegyzéseket, általánosításokat!

Ötlet a 9. feladat megoldásához Először azt mutassuk meg, hogy bármely k szám pontosan k+1-szer szerepel az an sorozatban!

Helyi versenyek rendszere Általános iskolásoknak: Bátaszéki Bátaszéki levelező Középiskolásoknak: Megyei verseny 9-12. éfolyamon Három (4) megye versenye 11-12. évfolyamon 10. feladat Az a paraméter mely értékei esetén van pontosan egy megoldás?

Baranya-Somogy-Tolna-Zala megyék versenye A magyar matematikatanításnak igen fontos és hasznos sajátossága a regionális versenyek rendszere, amelyben sok tanuló jut sikerélményhez, és sok új, érdekes feladat kerül be a szakmai köztudatba. Több mint 20 éve szervezzük a két fordulós BST versenyt, amely az utóbbi évtől Zala megyével egészült ki. 20 évig állítottam össze a Baranya megyei Fejér Lipót verseny feladatait. Ezekből való a 10. feladat, amelyet azért tartok érdekesnek, versenyre való feladatnak, mert a tanulók nagy része úgy érzi, hogy sikerült megoldania, de a teljes megoldás sok apró elemből tevődik össze.

A 10. feladat megoldása Akkor és csak akkor van pontosan egy gyök, ha a t2 -(a-1)t +2a+3=0 egyenletnek I.) egy gyöke van és az pozitív vagy II.) két gyöke van és azok közül pontosan egy pozitív. I.) D=0, ha a= -1, ekkor t = -1 ez nem jó, vagy a=11 ekkor t=5, ez jó, (1.)-nek egy gyöke van x=1. II.) D>0 és 2a+3 <0 esetén egy pozitív és egy negatív gyök van. D>0, ha a<-1 vagy a>11. 2a+3<0, ha a< -3/2 . Ha 2a+3 =0, akkor az egyik gyök 0, de a másik negatív, ezért ez nem lehet. Tehát (1.)-nek pontosan egy gyöke van, ha a=11 vagy a< -3/2.

További lehetőségek 11. feladat Levelezős versenyek Abacus Bátaszéki Curie Kömal Ebben a tanévben 48 tanulónk szerepel a KÖMAL pontversenyében, évfolyamán az első 100 között. 11. feladat Egy szigeten 11 kék, 12 zöld, 13 barna kaméleon él. Ha két különböző színű találkozik, akkor mindkettő a harmadik színre vált. Lehet-e egy idő után minden kaméleon azonos színű?

Levelezős versenyek, szakirodalom-olvasás Iskolánk működési szabályzata tartalmazza, hogy minden emelt szintű osztályba járó tanulónak részt kell venni egy, az osztály profiljának megfelelő levelezős versenyen. Ez nagyban segíti a rendszerességre való szoktatást, és az ötletek, gondolatok precíz leírásának elsajátítását. Fontosnak tartjuk, hogy tanulóink ne csak feladatmegoldással foglalkozzanak, hanem minél több nekik megfelelő szintű szakmai cikket olvassanak. A 11. feladat az ABACUS-ban megjelent rövid cikkemben szerepelt.

A 11. feladat megoldása 11 10 9 8 10 … 12 11 10 9 8 … 13 15 17 19 18 … Milyen közös tulajdonsága van az összes számhármasnak? Vizsgáljuk a hármas maradékokat! Mindig lesz 0, 1, és 2 is! Mutassuk meg, hogy ez a tulajdonság megőrződik, ezért a 0, 0, 3 számhármas semmilyen sorrendben nem érhető el!

Erdős Pál tehetséggondozó iskola További lehetőségek Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Erdős Pál tehetséggondozó iskola Balatonberényi tábor 12. feladat Nemzetközin kitűzött feladat: Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AC és BC befogójának úgy vesszük fel a D és E pontokat, hogy DE párhuzamos AB-vel és DE+EA=AB. Mekkora az EAB szög?

Megjegyzés a 12. feladathoz Az egyes témakörök tanításához, ill. különböző versenyekre elég sok feladatot szerkesztettem, találtam ki. A 12. feladat az egyik kedvenc feladatom a saját szerkesztésűek közül, mert egészen kevés előismeretet kíván. A Nemzetközi Magyar Matematikaversenyre tűztem ki.

A 12. feladat megoldása Legyen P és Q a D és E pont vetülete az AB átfogón! ABC∢=45, ezért EQ=QB=DP=AP= x, és legyen DE=PQ= y. DE+AE=AB , ezért AE=AB-DE=(2x+y) - y =2x =2EQ. Ha egy derékszögű. háromszögben az egyik befogó az átfogó fele, akkor a vele szemközti szög α=30.

További helyi lehetőségek Közös matektábor a brüsszeli Európa 1. iskolával „Csillag Program” Kutatómunka (Út a tudományhoz) Az s(n) függvény vizsgálata 13. feladat Mutassuk meg, hogy egy 4k-1 alakú természetes szám nem lehet tökéletes szám! Egy n számot tökéletesnek nevezünk, ha egyenlő nála kisebb osztóinak összegével: n = s(n)

Csillag Program és a kutatómunka Iskolánkban két olyan terület is van, ahol a tanulók kis csoportjával, akár 1-2 fővel dolgozunk. Az egyikben 11-12-edikes tanulók augusztusban levizsgáznak egy számukra nem érettségi tárgyból, és a felszabaduló órá(k)ban, amikor az osztályuknak az adott órája van, velük egy szaktanár foglakozik, versenyekre, magasabb szintű szakmai munkára készíti őket. Ezt nevezzük Csillag Programnak. Ezen kívül évek óta néhány tanulóval részt veszünk az „Út a tudományhoz” programban, ahol a matematika egy részterületével ismerkedünk mélyebben. Ez az elmúlt években a számelméleti függvények vizsgálata volt. Ehhez kapcsolódik a 13. feladat.

A 13. feladat megoldása Ha n=4k-1, akkor osztó és társosztó közül az egyik mindig 4a-1, a másik 4b+1 alakú: 1 315 4a-1 4b+1 4(a+b) 105 4c-1 4d+1 4(c+d) 63 … 45 4x-1 4y+1 4(x+y) 35 S(n) = 4m (1.) 15 21 Ha n=4k-1, és n tökéletes, akkor S(n)=2n=8k-2, ez ellentmond (1.)-nek.

Még két kapcsolat Magyarországi evangélikus iskolák Arany János Tehetséggondozó Program Mindkét csoporttal közös szakmai programok, felmérők, verseny 14. feladat Egy háromszögről három állítás hangzik el: - A háromszög derékszögű. A háromszög egyenlő szárú. A háromszögnek van 45- os szöge. A három állítás közül kettő igaz egy hamis. Mekkorák a háromszög szögei? ……. , ……. , …….

Evang. iskolák, Arany J. Program Mindkét iskolacsoportban a matematika tantárgygondozója vagyok. Mindkét helyre év elején közös felmérőt állítok össze. Ezekből van a 14. feladat. Az Arany J. Programban évente matematika-versenyt szervezünk. A felmérők és a verseny anyagai megtalálhatók iskolánk honlapján a Hivatkozások menüpont alatt. Évente legalább egyszer szakmai konferenciát szevezünk.

A 14. feladat megoldása 67.5o, 67.5o, 45o. (Meglepő, hogy milyen kevesen tudják megoldani ezt az igen egyszerű elemi geometriai ismeretet és logika állítást összevonó feladatot.)

Konklúzió? Mint a fentiekből látható, nagyon sok mindennel foglalkoztunk, sok mindennel próbálkozunk kollégáimmal. Arra vonatkozóan, hogy hogyan kell csinálni, hogy mi az igazán célravezető, nem lehet egyértelmű konklúziót levonni. Továbbra is keressük azokat a módszereket, tevékenységeket, amelyek tanítványaink fejlődését szolgálják.