A matematika tehetségfejlesztés néhány lehetősége Sopron, nov. 21.

Az előadások a következő témára: "A matematika tehetségfejlesztés néhány lehetősége Sopron, nov. 21."— Előadás másolata:

1 A matematika tehetségfejlesztés néhány lehetősége Sopron, 2017. nov. 21.

2 Miért aktuális ez most? Közoktatásunk jelenleg az egy korosztályba járó tanulóknak kb %-át készíti fel a műszaki, természettudományos, matematikai és informatikai (MTMI) pályákra. A szükséges arány % lenne.

3 A PISA felmérésben 2003 óta szereplők heti iskolai matematikafoglalkozásának ideje
2003. 2012. változás Minutes 1. Canada 222.7 313.8 91.1 6. United States 221.9 254.1 32.2 11. Japan 216.3 234.7 18.4 12. Italy 213.3 231.3 18 15. Russian Federation 207.37 222.47 15.10 OECD átlag 198.49 211.78 13.29 24. France 208.07 207.02 -1.05 29. Poland 205.51 198.11 -7.40 30. Germany 182.27 196.77 14.50 32. Czech Republic 168.79 182.33 13.54 35. Finland 156.13 175.47 19.34 38. Austria 166.4 156.4 -10 40. Hungary 162.8 149.8 -13

4 Abban a 65 országban, akik csak 2012-ben vettek részt a PISA felmérésben, a 62. helyen állunk.
A lista vége: ország Matematika Anyanyelv és irodalom Természettudomány 58. Slovenia 160.3 168.9 184.9 59. Austria 156.4 144.3 199.8 60. Uruguay 155.7 137.9 152.5 61. Serbia 154.4 145.2 149.7 62. Hungary 149.8 164.2 193.1 63. Croatia 147.1 164.4 182.2 64. Montenegro 142.2 149.6 105.2 65. Bulgaria 133.9 140.6 257.5

5 Milyen lehetőségek vannak?
Matematikából emelt szintű és emelt óraszámú csoportok és osztályok indítása. Hol? - Az iskolák többségében. Mikortól? Ötödik, de legalább 7. osztálytól az iskolák többségében legyen matematikából emelt szintű osztály vagy csoport. Középiskolában pedig legyen matematikát és (vagy) természettudományokat emelt szinten tanuló osztály vagy csoport.

6 Miért ez a legfontosabb?
A jelenlegi óraszámok mellett a fakultációs rendszer nem tudhat az MTMI irányú továbbtanuláshoz elegendő számú, megfelelően felkészült tanulót biztosítani.

7 További lehetőségek Szakkörök, iskolai és regionális - Versenyek
levelezős, zárthelyi, csapatverseny Országos szervezésű tehetségfejlesztő rendezvények Hosszabb távú, egy tanévre szóló, alkalmi, pl nyári.

8 Néhány tehetségfejlesztő tevékenység a Bonyhádi Petőfi S. EV
Néhány tehetségfejlesztő tevékenység a Bonyhádi Petőfi S. EV. Gimnáziumban A jobb oldalon feladatokat mutatok be, amelyek valamilyen módon kapcsolódnak a bal oldalon felsorolt tevékenységhez. A bal oldalon felsorolom azokat a legfontosabb tevékenységeket, amelyeket a Bonyhádi Petőfi Sándor Ev. Gimnáziumban végeztünk.

9 Mit tettünk, teszünk Bonyhádon?
Matematikából emelt szintű csoportok, osztályok 70-es években: Fizika tagozat 80-as évektől Emelt szintű csoportok 4 osztályos: mat-fiz-info (mat. 5 ó.) term-tud (mat. 3 ó.) 6 osztályos: matematika emelt szintű (mat. 5 ó) Mindegyik saját tantervvel. Jellemzői: Kevés plusz anyag. Sok, érdeklődést felkeltő feladat. 1. feladat Mutassuk meg, hogy egy 4k-1 alakú természetes szám nem lehet tökéletes szám! Egy n számot tökéletesnek nevezünk, ha egyenlő nála kisebb osztóinak összegével: n = s(n), vagy (n)=2n. Pl.: 6 =1+2+3, 28 = , …

10 Az 1. feladat megoldása Ha n = 4k-1, akkor osztó és társosztó közül az egyik mindig 4a-1, a másik 4b+1 alakú: a b (a+b) c d+1 4(c+d) 63 … 45 4x y (x+y) (n) = 4m (1.) 21 Ha n=4k-1, és n tökéletes, akkor (n)=2n=8k-2, ez ellentmond (1.)-nek.

11 Sok feladatot fordítottam a
Az emelt szintű osztályokban való tanításhoz feladatanyagot gyűjtöttünk, konstruáltunk. Sok feladatot fordítottam a Kvant és a Matematika v skolje folyóiratokból 2.feladat Egy 10 x 10 telekből álló négyzet alakú területen 9 telket benőtt a gyom. Egy év alatt átterjed a gyom azokra a mezőkre, amelyeknek legalább két oldalszomszédja gyomos. Lehetséges-e a 9 gyomos mezőnek olyan elrendezése, amelynél néhány év alatt minden mezőre átterjed a gyom?

12 A 2. feladat megoldása Nincs olyan elrendezés, amelynél minden mezőre átterjed a gyom Vegyük észre, hogy a terjedésnél a gyomos mezők kerülete nem nő! Így az eredeti legfeljebb 9 x 4 =36 egységnyi kerület nem nő. Ha a tejes területre átterjedne a gyom, akkor a kerület 4 x 10 = 40 lenne.

13 További lehetőségek Bekapcsolódtunk a matematikai közéletbe
Ált. és középiskolai szaktanácsadók helyi versenyrendszert alakítottunk ki. Bekapcsolódtunk a Nemzetközi Magyar Matematikaversenybe, a XX. versenyt mi szerveztük. Mindezekhez sok feladatot készítettem. 3. feladat Nemzetközin kitűzött feladat: Az ABC egyenlő szárú derékszögű háromszög AC és BC befogójának úgy vesszük fel a D és E pontokat, hogy DE párhuzamos AB-vel és DE+EA=AB. Mekkora az EAB szög?

14 A 3. feladat megoldása Legyen P és Q a D és E pont vetülete az AB átfogón! ABC∢=45, ezért EQ=QB=DP=AP= x, és legyen DE=PQ= y. DE+AE=AB , ezért AE=AB-DE=(2x+y) - y =2x =2EQ. Ha egy derékszögű. háromszögben az egyik befogó az átfogó fele, akkor a vele szemközti szög α=30.

15 Egy megújításra váró program
Arany János Tehetséggondozó Program Tanterv és feladatgyűjtemény Év eleji felmérők ( Matematika verseny (Csorba Ferenc: Aranyos matematikai feladatok Zalamat 2013.) 4. feladat Egy szigeten igazmondók és hazugok élnek. Három szigetlakóval, A-val, B-vel és C-vel találkozunk. - B igazmondó - mondja C. - A és C egyforma - mondja B. Milyen ember A?

16 A 4. feladat megoldása A igazmondó.
Vizsgáljuk végig a lehetséges 8 esetet: A i i i i h h h h B i i h h i i h h C i h i h i h i h Az első állításnak megfelelnek a pirossal írtak, a második állításnak pedig a vastag betűsek. Látható, hogy az 1. és 4. oszlop lehetséges,és mindkettőben A igazmondó

17 Helyben készült szakmai anyagok
Feladatgyűjtemények: Matematika feladatsorok (Mozaik Kiadó 1995.) Másod- és magasabb fokú egyenletek Trigonometria Logaritmus Matematika Versenyfeladatok (Zalamat 2009.) A Fejér Lipót verseny feladatai Játékos matematika (Zalamat 2016.) Szakirodalmi CD 5. feladat Ketten felváltva tépdesik egy virág szirmait. Vagy egy, vagy két szomszédos szirmot lehet letépni. Az nyer, aki az utolsó szirmot elveszi. Ki tud nyerni, a kezdő vagy a második?

18 Az 5. feladat megoldása pl. 16 sziromlevél esetén

19 Az 5. feladat megoldása

20 Az 5. feladat megoldása

21 Az 5. feladat megoldása

22 Ki tud nyerni, ha páratlan számú szirom van?

23 Néhány további játék a) Egy asztalon 25 kavics van. Ketten felváltva vesznek el kavicsokat. Egy lépésben 1, 2, vagy 3 kavicsot. Az a játékos nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Ki tud nyerni, Kezdő vagy Második? Legyen az asztalon levő kavicsok száma k, az egy lépésben elvehető kavicsok száma 1, 2, …, m. Ki tud nyerni, ha b) k=28, m=3, c) k=25, m= 4, d) Milyen (k,m) számpároknál tud Kezdő nyerni? e) Hogyan módosul a feladat a fenti esetekben, ha az veszít, aki az utolsó kavicsot elveszi?  f*) k=25 és m=3 esetén ki tud nyerni, ha az nyer, akinél a végén páros számú kavics lesz? g) k=25 esetén ki tud nyerni, ha az elvehető kavicsok száma 2 vagy 3? (Így nemcsak az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi, hanem az is, aki 1 kavicsot hagy az asztalon.) h*) Adott k esetén az elvehető kavicsok száma m-1 vagy m. Milyen (k,m) számpároknál tud Kezdő nyerni? (Az nyer, aki a végén az asztalon 0, 1, 2, …, m-2 kavicsot hagy.) i) k=25, m=3 estén ki nyer, ha nem szabad annyi kavicsot elvenni, amennyit az előző lépésben a partner elvett? (Nemcsak az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi, hanem az is, aki a végén az asztalon levő két kavicsból 1-et elvesz, mert a partner nem tud már lépni.) j) Az asztalon van k kavics. Az elvehető kavicsok száma az asztalon levő kavicsok legfeljebb fele. Milyen k estén tud nyerni Kezdő?   k) Az asztalon van k kavics. Az n-edik lépésben az elvehető kavicsok száma legfeljebb n. Milyen k estén tud nyerni Kezdő?

24 Újabb játék sok módosítással
Az asztalon van két halom, az egyikben k, a másikban m kavics. A halmokból ketten felváltva vesznek el kavicsokat. az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. (Az veszít, aki a megengedett lépést már nem tudja elvégezni.) Milyen (k,m) számpároknál tud Kezdő nyerni a következő feltételek esetén? Egy lépésben szabad elvenni: a) Az egyik halomból akármennyit. (Aki lép, az itt is, és a továbbiakban is mindig választhat, hogy melyik halomból veszi el a megengedett mennyiséget.) b) Az egyik halomból akármennyit, vagy mindkét halomból ugyanannyit. c) Az egyik halomból egyet, d) Az egyik halomból egyet, vagy mindkét halomból egyet. e) Az egyik halomból egyet vagy kettőt. f) Az egyik halomból egyet vagy kettőt, vagy mindkét halomból egyet vagy kettőt. g) Az egyik halomból egyet, a másik halomból kettőt. Megjegyzés: A fenti feladatok átfogalmazhatók sakktáblás játékká. Egy sakktáblán valamelyik mezőre elhelyezünk egy bábut. A bábuval ketten felváltva lépnek, és az nyer, aki a bal alsó sarokba viszi a bábut. Távolodni nem szabad. A fenti a) c) és e) feladatokban a bábu bástya, a b) és f) feladatban vezér, a d) feladatban király, a g) feladatban huszár. A sakktáblán könnyebben megtalálhatjuk a nyerő és vesztő mezőket.

25 Szakkörök általános iskolásoknak 6. (7.) és 8. osztályban
Tananyagválasztás szempontjai az általános iskolai szakkörökön A kerettantervben szereplő témakörökhöz olyan módszerek bemutatása, gyakorlása, amelyek fejlesztik a kreativitást, segítik a versenyeken való eredményes szereplést. Pl. számolás maradékokkal, négyzetszámok maradékai, szögekkel, területekkel kapcsolatos feladat-megoldási módszerek. 6. feladat Egy piaci árus tyúk- és kacsa-tojásokat árul. A tojások kosarakban vannak, az egyes kosarakban 4, 6, 12, 13, 22 és 29 tojás van, de mindegyik kosárban van mindkét fajta tojásból. „Ha ebben a kosárban levő tojásokat eladom, akkor pontosan kétszer annyi tyúktojás marad, mint kacsatojás.” - gondolja az árus. Melyik kosárra gondolt?

26 A 6. feladat megoldása A 29-esre gondolt.
Vegyük észre, hogy ha a kiválasztottat elveszi, akkor a megmaradt tojások száma osztható kell, hogy legyen 3-mal. Olyat kell elvennünk, hogy a maradék osztható legyen 3-mal. Próbálgatás helyett gyorsabb a következő meggondolás: Az összes tojás számának 3-as maradéka 2, és a kosarak közül csak 29-é lesz 2. Tehát csak ez vehető el. Ez jó is, mert …

27 További szempontok 7. feladat
2. Tipikus szakköri témák. Pl. logikai feladatok, mérlegeléssel kapcsolatos feladatok, konstrukciók, lehetetlenségi feladatok. 3. A központi felvételin való sikeres szereplést segítő témakörök Pl. szöveges feladatok, térbeli konstrukciók, összeszámlálási feladatok. 7. feladat a) Van egy 7 szemből álló nyitott láncunk. Minden szem 1 g. 1 g-tól 7 g-ig minden egész grammot szeretnénk mérni a lánc szemeivel. Legfeljebb hány helyen kell elvágni? b) 2 szem, c) n szem elvágásával hány grammig tudunk mérni? d) És ha mindkét serpenyőbe tehetünk súlyokat?

28 A 7. feladat megoldása

29 További módszerek, lehetőségek
Differenciált feladatok rendszere Feladatok „hosszabb távra” Matematika táborok 10. évf. előfakultáció Prezentációs verseny Poszterek, …… 8. feladat Hány különböző eleme van a következő sorozatnak? 9. feladat Melyik a legkisebb természetes szám, amely osztható 56-tal, 56-ra végződik, és a jegyeinek összege is 56?

30 További megjegyzések a „szorgalmi” feladatokról
A nehezebb feladatokat célszerű nem a következő órára, hanem kicsit hosszabb távra, pl. egy hétvégére, szünetre, egy hetes vagy akár hosszabb időtartamra feladni, és sokféle ösztönzést kipróbálni, hogy minél többen oldják meg. A szokásosnál kissé nagyobb az érdeklődés a tanulókban az évszámhoz kötött feladatok iránt. Sok feladat átfogalmazható ilyenné. Szoktassuk rá a tanulókat, hogy az eredmény megadásával nincs készen a feladat, jutalmazzuk az okos kérdéseket, megjegyzéseket, általánosításokat!

31 A 8. feladat megoldása Amíg a belső függvény, értékei 1-nél nem
nagyobb értékkel nőnek, addig 0-tól kezdve egyetlen egész szám sem marad ki az egészrészek közül, ezután viszont minden egészrész különböző lesz. … (Javasoljuk itt is, de szinte minden feladatnál, hogy a tanulók tegyenek fel további kérdéseket. Itt pl. azt lehet „kiprovokálni”, hogy vajon az évszámmal együtt minden évben nő a feladat eredménye? Legközelebb mikor nem nő?)

32 A 9. feladat megoldása Mivel az összes jegy összege 56, ezért az 56 előtt álló jegyek összege 45, így az utolsó két jegy előtt még legalább öt jegy áll. Ha pontosan öt jegy állna, az csak úgy lehet, ha mind 9-es. A szám viszont nem osztható 56-tal. A szám tehát legalább nyolcjegyű. A százasok helyén páros jegynek kell állni, mert csak úgy lehet a szám 8-cal osztható. Próbáljuk meghatározni az első számjegyét a számnak! Lehet-e az első jegy 1? Ekkor a szám csak lehetne, mert hátulról a harmadik jegy nem lehet kilences. Ez nem osztható 56-tal. Tehát az első jegy legalább 2. Ha az első jegy 2, akkor a hiányzó 5 jegy összegének 43-nak kell lennie. A százasok helyén így csak 8 állhat, mert párosnak kell lennie és ha 6 vagy kisebb lenne, akkor nem lehetne a jegyek összege 56. A helyekre ekkor 3 kilencesnek és egy nyolcasnak kell kerülnie. A legkisebb ilyen szám a , de ez sem osztható 56­-tal. A következő legkisebb ilyen szám a Ez egyenlő 56 x tel, így minden feltételnek megfelel. Tehát a keresett szám a

33 A bonyhádi gimnázium szervezi
Megyei szakkörök (Tolna megyében több mint 45 éve vannak) Kezdő: évfolyam 38 évig Dombóváron 7 éve Bonyhádon (Vezeti: Breining Beáta) Haladó: évfolyam kb. 25 évig Szekszárdon 16 éve Bonyhádon (Vezeti: Katz Sándor) 10. feladat Jelölje an a –hez legközelebbi egész számot! (n∈ N) a) Mennyi a1 + a a2017 ? b) Mennyi ?

34 Ötlet a 10. feladat megoldásához
Először azt vegyük észre, hogy bármely k szám pontosan k+1-szer szerepel az an sorozatban! Ezt nem elég észrevenni, várjuk el, hogy általánosan, betűk használatával igazolják is! Az ilyen feladatok nagyon jók versenyekre, mert sokan tudnak benne részeredményeket elérni, de a teljes megoldáshoz sok apró részlet kell.

35 Helyi versenyek rendszere
Általános iskolásoknak: Bátaszéki matematika verseny Középiskolásoknak: Megyei verseny 9-12. évfolyamon BSTZ megyék versenye évfolyamon 11. feladat Az a paraméter mely értékei esetén van pontosan egy megoldás?

36 Baranya-Somogy-Tolna-Zala megyék versenye
A magyar matematikatanításnak igen fontos és hasznos sajátossága a regionális versenyek rendszere, amelyben sok tanuló jut sikerélményhez, és sok új, érdekes feladat kerül be a szakmai köztudatba. Több mint 25 éve szervezzük a két fordulós BST versenyt, amely az utóbbi 7 évben már Zala megyével egészült ki. 20 évig állítottam össze a Baranya megyei Fejér Lipót verseny feladatait. Ezekből való a 10. feladat, amelyet azért tartok érdekesnek, versenyre való feladatnak, mert a tanulók nagy része úgy érzi, hogy sikerült megoldania, de a teljes megoldás sok apró elemből tevődik össze.

37 A 11. feladat megoldása Akkor és csak akkor van pontosan egy gyök, ha a t2 -(a-1)t +2a+3=0 egyenletnek I.) egy gyöke van és az pozitív vagy II.) két gyöke van és azok közül pontosan egy pozitív. I.) D=0, ha a= -1, ekkor t = -1 ez nem jó, vagy a=11 ekkor t=5, ez jó, (1.)-nek egy gyöke van x=1. II.) D>0 és 2a+3 <0 esetén egy pozitív és egy negatív gyök van. D>0, ha a<-1 vagy a>11. 2a+3<0, ha a< -3/2 . Ha 2a+3 =0, akkor az egyik gyök 0, de a másik negatív, ezért ez nem lehet. Tehát (1.)-nek pontosan egy gyöke van, ha a=11 vagy a< -3/2.

38 (2016-17-ben 50 bonyhádi versenyző volt.)
További lehetőségek Levelezős versenyek Abacus Mozaik Curie ... KöMaL ( ben 50 bonyhádi versenyző volt.) JÁTSSZ! MA! ( 12. feladat Egy szigeten 11 kék, 12 zöld, 13 barna kaméleon él. Ha két különböző színű találkozik, akkor mindkettő a harmadik színre vált. Lehet-e egy idő után minden kaméleon azonos színű?

39 A 12. feladat megoldása Vizsgáljunk néhány elérhető számhármast! … … … Milyen közös tulajdonsága van az összes számhármasnak? Vizsgáljuk a hármas maradékokat! Mindig lesz 0, 1, és 2 is! Mutassuk meg, hogy ez a tulajdonság megőrződik, ezért a 0, 0, 3 számhármas semmilyen sorrendben nem érhető el!

40 Levelezős versenyek, szakirodalom-olvasás
Iskolánk működési szabályzata tartalmazza, hogy minden emelt szintű osztályba járó tanulónak részt kell venni egy, az osztály profiljának megfelelő levelezős versenyen. Ez nagyban segíti a rendszerességre való szoktatást, és az ötletek, gondolatok precíz leírásának elsajátítását. Fontosnak tartjuk, hogy tanulóink ne csak feladatmegoldással foglalkozzanak, hanem minél több nekik megfelelő szintű szakmai cikket olvassanak. A 12. feladat az ABACUS-ban megjelent cikkemben szerepelt.

41 Egy speciálisan bonyhádi program
„Csillag Program” Kutatómunka (Út a tudományhoz) Az s(n) függvény vizsgálata Miben segíthet az informatika a matematikának, és mikor nem tud? 13. feladat a) Egész szám lesz-e az összeg? Képezzük az halmaz összes kételemű részhalmazát. Egész lesz-e az ezekben szereplő számok szorzatának összege? c) Egész lesz-e az összes részhalmazban szereplő számok szorzatának összege?

42 Csillag Program és kutatómunka
Iskolánkban két olyan terület is van, ahol a tanulók kis csoportjával, akár 1-2 fővel dolgozunk. Az egyikben edikes tanulók augusztusban levizsgáznak egy számukra nem érettségi tárgyból, és a felszabaduló órá(k)ban, amikor az osztályuknak az adott órája van, velük egy szaktanár foglakozik, versenyekre, magasabb szintű szakmai munkára készíti őket. Ezt nevezzük Csillag Programnak. Ezen kívül évek óta néhány tanulóval részt vettünk az „Út a tudományhoz” programban, ahol a matematika egy részterületével ismerkedtünk mélyebben. A 13. feladat jó példa arra, hogy mikor segíthet a számítógép, és mikor nem .

43 A 13. feladat megoldása Közös nevezőre hozás után az eredeti 1/1024 tört számlálója páratlan lesz, a többi páros, ezért 2-vel nem lehet egyszerűsíteni. Közös nevezőre hozás után az eredeti 1/729·1458 tört számlálója nem lesz osztható hárommal, a többi osztható lesz, ezért 3-mal nem lehet egyszerűsíteni Képezzük a következő szorzatot: Egyrészt a szorzást elvégezve az első tag 1, a többi a 2, 3, 4, ..., n, számokból képzett összes 1,2,3, ...,n tényezős szorzat reciproka, tehát P 1-gyel nagyobb a keresett összegnél. Másrészt, tehát a keresett összeg (n-1)/2, most 2016/2=1008, tehát egész.

44 Iskolán kívüli ajánlott lehetőségek
Erdős Pál Tehetség-gondozó Iskola Fonyódi matematika tábor ( ) Pósa táborok BME online matematikai pontverseny januártól. Versenykiírás: 14. feladat 21000= jegyei: Ö: Van-e nek olyan többszöröse, amely nem tartalmaz 0 jegyet?

45 14. feladat megoldása 2 =2, 12 = 3·22, 112 = 14 ·23, 2112 =132 ·24, ... Mutassuk meg teljes indukcióval, hogy 2k-nak van olyan k jegyű többszöröse, amely csak 1-es és 2-es számjegyet tartalmaz! (Ha 2k-nak van olyan k jegyű többszöröse, amely csak 1-es és 2-es számjegyet tartalmaz, akkor nézzük meg, hogy ez a többszörös milyen maradékot ad 2k+1-nel osztva. Ha ez a maradék 0, akkor írjunk a k jegyű szám elé 2-est, ha ez a maradék 2k, akkor írjunk a k jegyű szám elé 1-est.)

46 Néhány ajánlott matekos link
ELTE mattanárklub: Jelentkezés a levelezőlistára: Zalamat honlapja A KöMaL honlapja : Fazekas gimnázium matek portálja: Szoldatics József honlapja: Urbán János feladatai: Geogebra használatához: Páll Csaba matekos anyagai: A Bonyhádi Petőfi S. Ev. Gimnázium szakmai anyagai: A Budapesti Berzseny Gimn., és a Nemzetközi Magyar Matematikaverseny honlapja: / A MATEGYE Alapítvány honlapja: A Gondolkodás öröme alapítvány honlapja: A Matematika Birodalma Alapítvány honlapja: Új matek-lap: Erdős Iskola honlapja: A Pázmány P. Egyetem matekos honlapja:

47 Mint a fentiekből látható, nagyon sok mindennel foglalkoztunk, sok mindennel próbálkozunk kollégáimmal. A helyi lehetőségekhez, igényekhez kell igazodni, de az igényeket fel kell kelteni. Ma már ritkán vezet eredményre az a kérdés, hogy kinek van kedve pl. egy levelezős versenyen, vagy egyéb programon részt venni. Helyette: Ezt ajánljuk neked, ha nem tudsz részt venni, akkor a szülő írásbeli indoklását kérjük, hogy miért nem.

48 Eredményes munkát kívánok!
„A matematika nemcsak igazság, hanem fennkölt szépség is.” Bertrand Russel Köszönöm a figyelmet. Eredményes munkát kívánok!