Átváltás decimális számrendszerből bináris számrendszerbe

Az átváltandó szám: 8110.                                   Az így kapott maradékokat lentről felfelé olvasva kapjuk meg a bináris számot: 10100012

Átváltás bináris számrendszerből decimális számrendszerbe

az 100010112 bináris szám decimális értékét az alábbi módon számíthatjuk ki:

Átváltás decimális számrendszerből hexadecimális számrendszerbe

Az átalakítandó szám: 101510 Az így kapott maradékokat lentről felfelé olvasva kapjuk meg a hexadecimális számot: 3F716

Átváltás hexadecimális számrendszerből decimális számrendszerbe

az A516 hexadecimális szám decimális értékét az alábbi módon számíthatjuk ki.

Átváltás bináris számrendszerből hexadecimális számrendszerbe

Az átváltandó szám az 101111110012 A táblázat utolsó sorát balról jobbra összeolvasva az eredmény tehát: 5F916

Átváltás hexadecimális számrendszerből bináris számrendszerbe

Az átváltandó szám a 7BA16 az eredmény: 111101110102

Tízes (decimális) számrendszer helyi értékei 108 107 106 105 104 103 102 101 100 100 000 000 10 000 000 1 000 000 100000 10 000 1000 10 1 Kettes (bináris) számrendszer helyi értékei 28 27 26 25 24 23 22 21 20 256 128 64 32 16 8 4 2 1 Tizenhatos (hexadecimális) számrendszer helyi értékei 164 163 162 161 160 65 536 4096 256 16 1

A TÍZENHATOS (HEXADECIMÁLIS) SZÁMRENDSZER SZÁMJEGYEI 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 F E D C B A

1815.November 2. angol matematikus George Boole 1815.November 2. angol matematikus

Tudományos jelentősége Boole munkássága viszonylag ismeretlen volt, és úgy tűnt, hogy nincs gyakorlati jelentősége. Körülbelül hetven évvel Boole halála után Claude Shannon bukkant rá a Boole-algebrára, amikor filozófiát tanult. Shannon doktori értekezése arról szólt, hogyan lehet a Boole-algebra segítségével optimizálni az elektromechanikus relék rendszerének a tervezését. Ezenkívül azt is bebizonyította, hogy ezekkel az áramkörökkel Boole-algebrai feladatokat is meg lehet oldani.

Tudományos jelentősége Az elektromos kapcsolók tulajdonságainak használata a logikai műveletekhez az alapja az egész modern számítástechnikának. Boole, Shannon közreműködésével, megteremtette a digitális korszak elméleti alapjait. Boole munkáját William Stanley Jevons, Augustus De Morgan, Charles Peirce és William Ernest Johnson folytatták és egészítették ki.

Logikai műveletek és tulajdonságaik Egy kijelentés logikai értéke lehet IGAZ (1) vagy HAMIS (0) Logikai műveletek: a műveletek eredményeinek logikai értéke csak komponenseinek logikai értékétől függ.

A kimenőjel a bemenőjel negáltja (komplementere) Negáció (NEM ) A tagadás az egyik legegyszerűbb logikai művelet. Igaz kijelentés tagadása hamis, hamis kijelentés tagadása igaz. A NEM-kapu csak egyetlen kimenettel és csak egyetlen bemenettel rendelkezik. A kimenőjel a bemenőjel negáltja (komplementere) A NEM (NOT) A A=A

Konjunkció (ÉS ) Két kijelentést az „és” kötőszóval kapcsolunk össze egy kijelentéssé. Ha mindkét kijelentéskomponens igaz, akkor az összetett kijelentés is igaz. A művelet eredményét pontosan ebben az egy esetben tekintjük igaznak, minden más esetben hamisnak Az ÉS-kapunak egy kimenete és legalább két bemenete van. A kimenőjel akkor és csak akkor 1, ha valamennyi bemenőjel (egyidejűleg) 1, különben a kimenőjel 0. A B

Két kijelentést a „vagy” kötőszóval kapcsolunk össze egy kijelentéssé. Diszjunkció (VAGY ) Két kijelentést a „vagy” kötőszóval kapcsolunk össze egy kijelentéssé. A „vagy” kötőszót többféle értelemben is használjuk a hétköznapi nyelvben. Ezek közül a matematika számára és logikai szempontból is az ún. megengedő vagy használata a legfontosabb.

Diszjunkció (VAGY ) Ha valamelyik kijelentéskomponens igaz, akkor az összetett kijelentés is igaz. A logikai VAGY kapu akkor ad áramot kimenetén, ha legalább egy bemenetén van áram A B

IGAZSÁGTÁBLÁZATOK

A NOT logikai művelet igazságtáblázata: Az AND logikai művelet igazságtáblázata: Az OR logikai művelet igazságtáblázata:

Igazságtábla A B NOT A NOT B A AND B A OR B igaz hamis

Műveleti precedenciák és szabályok Azt adják meg, hogy mivel kell kezdeni a kiértékelését a műveleteknek Minél nagyobb egy művelet precedenciája annál hamarabb kell elvégezni a műveletet.

Műveleti precedenciák és szabályok Aritmetikai műveletek precedenciája: (nagyobb precedenciához kisebb szám tartozik!) hatványozás, gyökvonás szorzás, osztás összeadás, kivonás Logikai műveletek precedenciája (nagyobb precedenciához kisebb szám tartozik!) NOT AND OR

Szabályok-1 A zárójelben levő műveleteket előbb kell elvégezni, akkor is ha precedenciája kisebb. A legbelső zárójellel kell kezdeni a kiértékelést Nagyobb precedenciájú műveleteket előbb kell elvégezni Azonos precedenciájú műveleteket balról jobbra haladva végezzük el. (kommutatívitás miatt egyébként a sorrend lényegtelen)

Szabályok-2 Kommutatív szabály: a logikai változók felcserélhetők (A+B=B+A; A*B=B*A) Asszociatív szabály: a zárójelek felbontásának lehetőségét adják meg a műveletek szabadon elvégzésének sorrendjéről szól azonos precedencia esetén. pl. A*(B*C)=(A*B)*C=A*B*C de A*B/C=(A*B)/C =A/C*B <>A/(C*B) is igaz, mert a szorzás és osztás azonos precedenciájú művelet.

Szabályok-3 Disztributív szabály: zárójelek felbonthatósága különböző precedenciájú műveletek esetén. pl. A*(B+C)=A*B+A*C