Várhatóérték, szórás 2019.06.08.

Diszkrét változó várható értéke , 2019.06.08.

Példa olyan esetre, amikor nem létezik a várható érték Értékkészlet: Eloszlás: 2019.06.08.

Néhány egyszerű példa A kockadobás várható értéke: 2019.06.08.

Folytonos változó várható értéke 2019.06.08.

Példa olyan esetre, amikor nem létezik a várható érték A Cauchy-eloszlás sűrűségfüggvénye: Ez valóban sűrűségfüggvény: Viszont a várható érték nem létezik, mert: nem létezik! 2019.06.08.

Nevezetes folytonos eloszlások várható értéke 2019.06.08.

Variancia, szórás 2019.06.08.

Folytonos esetben a variancia és a szórás 2019.06.08.

Nevezetes eloszlások várható szórása 2019.06.08.

Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai I. 2019.06.08.

Várható érték, szórás, variancia tulajdonságai II. 2019.06.08.

Markov-egyenlőtlenség Másképpen: 2019.06.08.

Csebisev-egyenlőtlenség Másképpen: 2019.06.08.

2019.06.08.

Transzformált változó eloszlása Ha X a [0 , 1] intervallumon egyenletes eloszlású és F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény azon az intervallumon, ahol 0 < F(y) < 1 , akkor az Y = F -1(X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye éppen F(y) lesz, ahol y= F -1(x) az eloszlásfüggvény inverzét jelöli. Bizonyítás: P(Y < y) =P(F -1(X) < y) =P(F(F -1(X)) < F(y)) = P(X < F(y)) = F(y) , mert F(y)  [0 , 1] . 2019.06.08.

Transzformált változó eloszlása A tétel lehetőséget ad arra, hogy a számítógép Uni (0 , 1) véletlen- számgenerátora segítségével tetszőleges F(x) eloszlásfüggvény- hez jól illeszkedő véletlenszámokat generáljunk! Pl. Ha X  Uni (0 , 1), akkor -1/ ln(1-X)  Exp() lesz! 2019.06.08.

Transzformált változó eloszlása Ha X a [0 , 1] eloszlásfüggvénye F(y) egy szigorúan monoton növekvő eloszlásfüggvény, akkor az Y = F (X) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a (0 , 1) intervallumon egyenletes lesz! Pl. Ha X  Exp(), akkor Y=1-e -X egyenletes eloszlású! 2019.06.08.

Transzformált változó eloszlása A tétel lehetőséget ad majd a statisztikában egy X adatsor adott F(x) eloszlásfüggvényhez való illeszkedésének ellenőrzésére. Feltételezve, hogy az egyenletes eloszláshoz való illeszkedést tudjuk Ellenőrizni, az adatsor akkor illeszkedik jól az F(x)-hez, ha F (X) egyenletes eloszlású! 2019.06.08.

Transzformált változó eloszlása normális esetben Ha X N(m, D), akkor Y =X+  N(m+, ||D), azaz normális változó lineáris transzformáltja is normális lesz! Bizonyítás: Tegyük fel, hogy >0! P(Y < t)=P(X < (t-)/)=P(X < u)=((u-m)/D)= =((t-(m+))/ D) , azaz Y  N(m+, D). 2019.06.08.