Költségfüggvények Minden kibocsátáshoz a minimális költséget rendelik hozzá A termelési függvények inverzei (dualitás) A költségfüggvények a termelési függvényből származtathatók, „beárazva” Rövid táv: Hosszú táv:

Rövid táv: A parciális termelési függvény és a változó költség függvény összefüggése Q = f(L, K0), PL=1000, VC= f(Q) L költség 15 1500e 11 1100e 6 600e Q Q 5500 2800 1000 1000 2800 5500

A vállalat költségei rövid távon TC, VC, FC TC VC FC Q

A fix termelési tényező a tőke (K), és a változó a munka (L) Rövidtávú költségek: Fix költség: FC=PKK Változó költség: VC(q)=PLL Teljes költség: TC(q)=PKK +PLL Határköltség MC=dTC/dq=dVC/dq Átlagos költségek AFC=FC/q, AVC=VC/q, AC=TC/q)

üzem technikai optimuma TC VC FC q C AC MC AVC üzem technikai optimuma A változó tényező technikai optimuma AFC q

A termelési függvény és a költségfüggvény összefüggései alapján: az AVC ott minimális, ahol az APL maximális az MC ott minimális, ahol az MPL maximális az AVC függvényt és az AC függvényt a határköltség fügqvény minimumpontjában metszi

Példa rövidtávú költségfüggvényre Egy vállalat teljes költség függvénye: TC=-Q3+15Q2+500 Írja fel a többi rövid távú költségfüggvényt! VC= -Q3+15Q2 AVC=VC/Q=-Q2+15Q FC=500 AFC=FC/Q=500/Q AC=TC/Q= -Q2+15Q+500/Q MC=(TC)’=(VC)’= -3Q2+30Q

Példa rövidtávú költségfüggvények levezetésére Egy vállalat rövid távon 16 egység tőkét használ fel. A munka egységára 10, a tőkéé pedig 50. A vállalat termelési függvénye: Írja fel a vállalat rövid távú költségfüggvényeit!

.

Az állandó költség a TC-nek az a része, amely q-tól független: FC=800 A változó költség a A határköltség a teljes költség vagy változó költség deriváltja: MC=q/20 AC=q/40+800/q AVC=q/40 AFC=800/q .

Hosszú távú költségfüggvények valamennyi input mennyisége változtatható A vállalat növekedési útjából vezethető le A vállalt különböző termelési szintjeihez tartozó minimális összköltségének alakulását fejezi ki LTC (Q) LAC (Q) LMC (Q)

Minimális költség– a különböző termelési szinteken Növekedési út K Minimális költség– a különböző termelési szinteken Q2 Q1 Q0 L Optimalizáció kritériuma: MPL/MPK=pL/pK

Levezetés: 𝑄= 𝐾𝐿 függvényre 𝑀𝑃 𝐿 𝑀𝑃 𝐾 = 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 -ból, 𝐾 𝐿 = 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 Ebből K és L kifejezve és behelyettesítve a termelési függvénybe: Q=K 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 és Q=L 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 majd átrendezve K=Q 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 és L=Q 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 TC(Q)= 𝑃 𝐾 Q 𝑃 𝐿 𝑃 𝐾 + 𝑃 𝐿 Q 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 =2 𝑃 𝐾 𝑃 𝐿 Q

Példa hosszú távú költségfüggvények levezetésére 2.Egy vállalat számára a munka egységára 100, a tőkéé 400. A vállalat termelési függvénye: Írja fel a vállalat hosszú távú költség-függvényeit!

. A vállalat minimalizálja a költségeit, ha a határtermékek aránya megegyezik a tényezőárak arányával: A technológiát a termelési függvény írja le, míg az összköltség a tőke és munka költségének összegével egyenlő.

A következőket kell tehát felhasználni: . A következőket kell tehát felhasználni:

. LTC=200q LAC=200 LMC=200

Rövid- és hosszú távú költségek kapcsolata . Rövid- és hosszú távú költségek kapcsolata

Költségek LMC LAC Termelés mennyisége

.