Paraméteres próbák Adatelemzés

Paraméteres próbák A próbákban az a közös, hogy az elemzett minta eloszlása normálist követ. A nullhipotézist éppen a normális eloszlás paramétereivel kapcsolatosan fogalmazzuk meg. Várható érték a paraméter A szórás a paraméter egymintás u-próba kétmintás u-próba egymintás t-próba kétmintás t- próba független mintás összetartozó mintás Welch-próba egyszerű csoportosítás (one-way ANOVA) F-próba Bartlett-teszt

Egymintás u-próba DÖNTÉS: Feltétel: a normális eloszlású mintának ismerjük a szórását. DÖNTÉS:

Egymintás u-próba Az elsőfajú hiba valószínűsége: Az elsőfajú hibavalószínűség éppen az e szignifikancia-szint!

Egymintás u-próba A másodfajú hibavalószínűség: Ugyanis most:

Egymintás u-próba Az u-próba erőfüggvénye: Az u-próba tulajdonságai: a próba torzítatlan és konzisztens! Ráadásul egyenletesen legjobb próba is!

Egymintás u-próba Bizonyítás: A konzisztencia bizonyítása.

Egymintás u-próba A torzítatlanság bizonyítása.

Egymintás u-próba A torzítatlanság bizonyítása.

Egymintás u-próba Megjegyzés: A gyakorlatban akkor is alkalmazzák az u-próbát, amikor a minta nem normális eloszlású, de a mintaelemszám „nagy”. Az alkalmazás jogosságát a centrális határeloszlás-tétellel lehet indokolni. Ugyanis a próbastatisztika normális eloszlású lesz aszimptotikusan, mivel a CHT szerint a mintaátlag már közel normális eloszlású!

A kétmintás u-próba Adottak az és az egymástól független statisztikai minták. A minták független normális eloszlásúak, a szórásaik ismertek.

A kétmintás u-próba DÖNTÉS: Ha feltesszük, hogy a null-hipotézis igaz, akkor  DÖNTÉS:  -t elfogadjuk

Egymintás t-próba DÖNTÉS:

Kétmintás t-próba (független minták) A minták szórásai egyenlőeknek tekintendők. Különben nem alkalmazható a próba. Ennek ellenőrzése F-próbával. DÖNTÉS:

Kétmintás t-próba (összetartozó minták) DÖNTÉS:

A Welch-próba I. Ha az F-próbát el kell vetnünk, nem alkalmazható a két független mintás t-próba a két minta várható értékei egyezésének ellenőrzésére. Erre az esetre dolgozta ki Welch a most ismertetendő robusztus próbát: X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert .

A Welch-próba II. Megmutatható, hogy a nullhipotézis fennállása esetén a próbastatisztika közelítőleg Student-eloszlású [f] (egészrész f) szabadságfokkal, ahol

F-próba X1,X2,…,Xn N(X,X ) és Y1,Y2,…Ym N(Y,Y) egymástól független normális eloszlású statisztikai minták, X és Y nem ismert . Ha feltesszük, hogy a null-hipotézis igaz, akkor igaz lesz, hogy

Bartlett-próba Adott p normális eloszlású minta, amik függetlenek egymástól. Az a nulhipotézisünk, hogy a minták szórásai nem különböznek egymástól: A próbastatisztika most: ahol Megmutatható, hogy ha H0 fennáll, akkor B eloszlása p-1 szabadságfokú 2- eloszlást (Chi-négyzet) követ.

Egyszeres osztályozás (One-way ANOVA) Az egyes csoportok várható értékei különbségére konfidencia intervallum szerkeszthető. A különbség valódi értéke a beállított valószínűséggel ebbe az intervallumba esik. H0 : A változók várható értékei azonosak A mintarealizációt egy tördelő változó értékei szerint kettőnél több csoportra osztjuk. A módszer a független mintás t-próba kiterjesztése kettőnél nagyobb esetre. H1 : Van két olyan változó, melyek várható értékei különböznek Fisher-féle F-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. H0 : A változók varianciái egyenlőek Bartlett-Box-próba A próbastatisztika eloszlása a nullhipotézis fennállása esetén F-eloszlású. Az F-próba kiterjesztése. H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek Levene-próba Ez nem paraméteres próba! Nincs előzetes feltevés a változók normalitására vonatkozóan! H0 : A kettőnél több változó varianciái egyenlőek

Egyszeres osztályozás Csoportátlagok: Négyzetösszegek:

Egyszeres osztályozás  F-eloszlású (2, n-3)  Student (n-3)

1. feladat

Megoldás

2. feladat

Megoldás

3. feladat

Megoldás

4. feladat

Megoldás

Megoldás

5. feladat

Megoldás

6. feladat

Megoldás

7. feladat

Megoldás

8. feladat

Megoldás Az alkalmazandó módszer a független kétmintás t-próba A t-próba elvégezhetőségéhez alkalmaznunk kell az F-próbát, hogy a minták szórásainak egyezését ellenőrizhessük.

Megoldás

Megoldás Végrehajtható tehát a t-próba!

Megoldás