Érvelés és elemzési módszerek 2. ZH felkészítés Érvelés és elemzési módszerek

Tartalom Formalizálás Érvényesség Kategorikus állítások Szillogizmusok Csak akkor, ha Érvényesség Igazságtáblázat Ellenpélda Kategorikus állítások Szillogizmusok

Formalizáld! Ha nem diétázom vagy tornázom, meghízom. Csak akkor diétázom, ha zavar a súlyom, és csak akkor tornázom, ha nem fáradok el. Nem diétázom és tornázom is, kivéve, ha zavar a súlyom. Tornázom, ha zavar a súlyom, feltéve, hogy nem vagyok lusta vagy deprimált. Nem hízom meg, ha úszom vagy futok, kivéve, ha kocsival járok munkába és nem diétázom. Akkor és csak akkor leszek deprimált, ha lusta vagyok, nem diétázom, és nem is tornázom.

Megoldás D = diétázom; T = tornázom; M = meghízom; Z = zavar a súlyom; E = elfáradok; P = deprimált vagyok; L= lusta vagyok; Ú = úszom; F = futok; K = kocsival járok munkába (~ D v ~ T)  M , (~ D & ~ T)  M (D  Z) & (T  ~ F) (~ D & ~ T)  ~ Z, (~ D v ~ T)  ~ Z (~ L & ~ P)  (Z  T) ((Ú v F)  ~ M)  ~ (K & ~ D) P  ( L & ~ D & ~ T)

Órai példa Ha nem diétázom vagy tornázom, meghízom. Rossz megoldás: (~ D v T)  M Miért? Mert így a tornázás megléte is elég lenne ahhoz, hogy meghízzak. Jó megoldások: (~ D v ~ T)  M, (~ D & ~ T)  M Miért lehet két jó megoldás? A következtetés annyiban értelmezés kérdése, hogy mit gondolunk, elég-e a diéta-torna kombináció egyikének a hiánya ahhoz, hogy meghízzunk, vagy mindkettő együttes hiányából következik csak a meghízás.

Órai példa másképp Ha nem dolgozom vagy tartanak el, akkor hajléktalanná válok. Miben más ez, mint az előző példa? Itt már egyértelmű, hogy a munka és az eltartás együttes hiányából következik, hogy hajléktalanná válok, az egyik nem elég. Tehát helyesen formalizálva: (~ O & ~ E)  H O = dolgozom, E = eltartanak, H = hajléktalanná válok

Formalizáld! Ha nem igaz, hogy nem hívom fel az ismerősömet, elégedett leszek magammal, már ha egyáltalán van időm csevegni. Feltéve, hogy van időm csevegni és felhívom az ismerősömet, akkor elégedett leszek magammal, kivéve ha össze fogunk veszni. Csak akkor nem fogunk összeveszni az ismerősömmel, ha felhívom, kivéve ha elégedett leszek magammal. Akkor és csak akkor hívom fel az ismerősömet, ha elégedett leszek magammal, de vagy nem felejtem el felhívni vagy össze fogunk veszni.

Megoldás I = van időm F = felhívom az ismerősömet E = elégedett leszek magammal Ö = össze fogunk veszni I  (F  E), I  (~~F  E) ((I & F)  E )  ~ Ö (~ Ö  F)  ~ E (F  E) & ~(F  Ö)

Formalizáld! Ha Sherlock Holmes nem találkozott volna John Watsonnal, Sherlock Holmes nem lenne briliáns detektív, de igaz az is, hogy John Watson következtetőképessége nem javul, ha nem találkozott volna Sherlock Holmes-szal, mindez persze csak akkor igaz, ha Sir Arthur Conan Doyle írja meg a történeteket vagy nem holmi másodrendű író, kivéve ha az a másodrendű író Jo Nesbø.

Megoldás T = SH és JW találkoztak S = SH briliáns detektív J = JW következtetőképessége javul A = ACD írja meg a történeteket H = holmi másodrendű író írja meg a történeteket N = JN írja meg a történeteket ((~ T  ~ S) & (~ T  ~ J))  (A v (~ H  ~N))

Csak akkor…, ha Csak akkor megyek haza, ha végeztem a melóval. Csak akkor megyek kocsmázni, ha van pénzem. (lásd Deduktív érvek diasor, Rakoncátlan kondicionálisok 2.)

Megoldás Feltételezzük, hogy nem vagyok hajlandó otthonról dolgozni! H = hazamegyek V = végeztem a melóval H  V Ha otthon vagyok (hazamentem), akkor biztosra tudom, hogy végeztem a melóval, hiszen nem vagyok halandó otthonról dolgozni. H V H  V I Ha nem is mentem haza rögtön, mert pl. elmentem moziba, akkor is igaz lehet, hogy végeztem a melóval. A kondicionális így is igaz.

Megoldás H  V  ~ V  ~ H A két állítás ekvivalens, azaz az igazságtáblázatukban a sorokban azonos igazságértékek jönnek ki. Ez a kontrapozíció törvénye. Ha nem végeztem a melóval, akkor nem megyek haza, hiszen nem vagyok hajlandó otthonról dolgozni. Előfordulhat, hogy végeztem, de nem vagyok otthon, mert pl. elmentem moziba. H ~ H V ~ V H  V ~ V  ~ H I

Megoldás Miért nem jó az a formalizálás, hogy V  H? Ha végeztem a melóval, hazamegyek? De a kondicionális úgy is igaz maradna, hogy nem végeztem a melóval, mégis hazamegyek. H V V  H I

Megoldás A hazamenetel elégséges bizonyíték arra, hogy végeztem a melóval. H  V (lásd Deduktív érvek diasor, Rakoncátlan kondicionálisok 1.) De nem szükséges hazamennem ahhoz, hogy tudd, végeztem a melóval, hiszen lehet, hogy elmentem moziba. A hazamenetelhez viszont szükséges végeznem a melóval, mert nem vagyok hajlandó otthon dolgozni. (Az utótag szükséges feltétele az előtagnak.)

Megoldás Feltételezzük, hogy nem szeretek pénzt kuncsorogni vagy más italát ellopni! Ha nincs pénzem, nem megyek kocsmába. K = kocsmázni megyek P = van pénzem K  P A pénz szükséges feltétele a kocsmázásnak, a kocsmázás elégségese feltétele a pénz meglétének.

Érvényes következtetések? 2. p  q r v (r  p) ~ p & ~ q p 3. p  q p v (~ q  q) p & (q v q) q & p 1. p  q p v r ~ q  (r & ~p) ~ (r & q)

Igazságtáblázat Felvesszük az elemi állítások igazságértékeinek összes lehetséges kombinációját. Ha az összetett állításban csak két elemi állítás van (p, q), akkor az összesen 4 sort jelent. Így lesz meg minden igaz-hamis kombináció. Ha három elemi állítás szerepelne benne (p, q, r), akkor 8 sorra lenne szükségünk. Utána kiszámoljuk az összetett állítás igazságértékét. p q I H p q r I H

1. P 1 P2 P3 K p q r p  q ~r p v r ~ q ~p r & ~p ~ q  (r &~p) r & q I H érvénytelen

2. K P 1 P2 P3 p q r p  q r  p r v (r  p) ~ p ~q ~ p & ~q I H érvénytelen

3. P2 P 1 P3 K p q p  q ~ q ~ q  q p v (~ q  q) q v q p & (q v q) I H érvényes

Ellenpélda Mutasd meg ellenpéldával, hogy az alábbi következtetés érvénytelen! Megadjuk az ellenpéldához szükséges mondatokat. A feladat az, hogy megfelelő szótárat készíts, azaz mutasd meg, hogy mely mondatokat mely betűk helyére kell írnunk, ahhoz, hogy ellenpéldát kapjunk. (p  ~ q) v ~r A Plútó már nem bolygó. r & p A Barátok közt Oscar díjat kapott. q v s Ma is tapasztalható a gravitációs erő. A Balatont tegnap tengerré nyilvánították.

Megoldás A következtetés érvénytelenségéhez igaz premisszák és hamis konklúzió kell: Konklúzió: q v s alternáció hamisságához mindkét tagnak hamisnak kell lennie, tehát q hamis és s hamis 2. Premisszák: r & p konjunkció igazságához mindkét tag igazsága kell, tehát r igaz és p igaz (p  ~ q) v ~r alternáció igazságához legalább az egyik tagnak igaznak kell lennie Azt már tudjuk, hogy r igaz, tehát ~r hamis, tehát (p  ~ q) állításnak igaznak kell lennie. Bikondicionális igazságához mindkét tagnak igaznak vagy mindkét tagnak hamisnak kell lennie. p-ről tudjuk, hogy igaz, így ~q- nak is igaznak kell lennie, ami passzol a konklúzióban megállapított igazságértékhez.

Megoldás A Plútó már nem bolygó. IGAZ A Barátok közt Oscar díjat kapott. HAMIS Ma is tapasztalható a gravitációs erő. IGAZ A Balatont tegnap tengerré nyilvánították. HAMIS p igaz r igaz q hamis s hamis Az 1. és a 3. állítás a p és az r helyére is megfelelő, a 2. és 4. állítás pedig a q és az s helyére is megfelelő.

Ellenpélda Mutasd meg ellenpéldával, hogy az alábbi következtetés érvénytelen! Megadjuk az ellenpéldához szükséges mondatokat. A feladat az, hogy megfelelő szótárat készíts, azaz mutasd meg, hogy mely mondatokat mely betűk helyére kell írnunk, ahhoz, hogy ellenpéldát kapjunk. (~ p v q) & r A BME nem Budapesten van. ~ p Donald Trump az USA elnöke. q  r A dinoszauruszok szivaroztak. ~ (~p & r)

Megoldás A következtetés érvénytelenségéhez igaz premisszák és hamis konklúzió kell: Konklúzió: ~ (~p & r) hamis, azaz (~p & r) igaz Konjunkció igazságához mindkét tag igazsága kell, tehát: ~p igaz és r igaz, azaz p hamis állítás és r igaz állítás

Megoldás 2. Premisszák: (~ p v q) & r igaz állítás, a konjunkció igazságához mindkét tag igazsága kell, tehát: ~ p v q igaz és r igaz ~ p v q alternáció igazságához legalább az egyik tag igazsága kell, tehát: azt tudjuk a konklúzió alapján, hogy p hamis, tehát: ~ p igaz, így q igazságértéke bármi lehet ~ p igaz, tehát p hamis q  r kondicionális igaz, amihez az utótag igazsága kell, tehát: r igaz, q pedig megint csak bármi lehet

Megoldás A BME nem Budapesten van. HAMIS Donald Trump az USA elnöke. IGAZ A dinoszauruszok szivaroztak. HAMIS r igaz p hamis q bármi lehet

Megoldás megoldás: r = Donald Trump az USA elnöke. p = A BME nem Budapesten van. q = A dinoszauruszok szivaroztak. 2. megoldás: p = A dinoszauruszok szivaroztak. q = A BME nem Budapesten van. Mivel a mondatokat be tudtuk úgy helyettesíteni a példába, hogy a premisszák igazak és a konklúzió hamis, így tényleg érvénytelen a következtetés!

Mindig érvényes? Magyarázd meg, miért érvényes minden olyan következtetés, amelynek konklúziója a következő: A Föld felrobban 100 éven belül vagy nem robban fel 100 éven belül.

Megoldás A Föld felrobban 100 éven belül vagy nem robban fel 100 éven belül. Formalizálva: p v ~p A konklúzió logikai igazság (az igazságtáblázatban minden sor igaz), azaz akármi is az atomi mondatok igazságértéke, a konklúzió mindenképp igaz. p ~p p v ~p I H

Milyen típusú kategorikus állítás? Csak a győztesekre emlékezünk. Obama titkosszolgálatában gyíkemberek is dolgoznak. Néhány depressziósnak sosincs egy jó napja. Csak az nyer a lottón, aki játszik. A szappanoperákban is játszanak jó színészek. A Dallasban egyetlen alkoholista karakter sincs. Némely hollywoodi színész nem botoxozik. A földönkívüliek egy része rabolt már el embert. Vannak napok, amikor nem villamossal megyek haza. Aki tilosban várakozik, bírságot fizet. Egyetlen ókori filozófus se volt normális. Nincs olyan mérnök, aki szeret WOW-ozni.

Megoldás Univerzális állító Részleges állító Részleges tagadó Univerzális tagadó

Ellenőrizd az érvényességet Venn-diagrammal! A premisszákat jelöljük halmazokkal. A diagramon csak a premisszák információtartalmát kell ábrázolni, a konklúziót csak le kell olvasni róla. Ha a konklúziót le tudjuk olvasni, akkor a következtetés érvényes. Ha nem tudjuk leolvasni, akkor érvénytelen. A következtetés akkor is érvénytelennek minősül, ha még felrajzolható a konklúzió negáltjának információtartalma is anélkül, hogy ellentmondásra jutnánk a premisszák információtartalmával szemben.

Órai példa Egyetlen ember sem halhatatlan. Minden ember bűnös. Tehát létezik bűnös, aki nem halhatatlan. Érvénytelen!

Órai példa – Kutrovátz Gábor megoldása Az első premissza üresnek állít két tartományt. A második ugyanezt teszi. A konklúzió érvényességéhez az kell, hogy két tartomány valamelyikéről tudjuk, hogy nem üres, vagyis van ott valami. Mivel ezt nem tudjuk, a következtetés nem érvényes. A példa tanulsága a következő: attól még, hogy egy tartományról nem tudjuk azt, hogy üres, nem szabad rögtön arra gondolnunk, hogy nem üres. Más szóval, ha a premisszák egyike sem állít semmit egy adott tartományról, akkor arról semmit sem tudunk. Az ember hajlamos lenne ennél a példánál úgy gondolkodni, hogy a konklúziónak nem mond ellent semmi, hiszen az két tartományban is teljesülhet, amelyek egyike sem bizonyult üresnek. Igen ám, de nem üresnek sem bizonyultak, ugyanis egyik premissza sem állított nem-ürességet. Ahhoz tehát, hogy valaminek a „létezését” konklúzióként levonhassuk, kell, hogy a premisszák között is legyen „létezési” állítás. http://hps.elte.hu/~kutrovatz/logjegyz.pdf

Megjegyzés Most akkor mit feltételezünk üresnek és mit nem? A halmazokról feltételezzük, hogy nem üresek, ugyanis csak olyan predikátumok használhatók, amelyek legalább egy dologra igazak Viszont a halmazokon belül már nem feltétlenül tudjuk, hogy melyik tartományban vannak elemek. Tartomány alatt a halmazok által lehatárolt részeket értjük. Tehát a tartományokról azt feltételezzük, hogy üresek. Erre kell figyelni, amikor érvénytelen következtetést sejtünk!

Ellenőrizd az érvényességet Venn-diagrammal! Minden kóla szénsavas. Minden pezsgő szénsavas. Tehát minden kóla pezsgő. Nincs olyan Gucci szőrme, ami valódi rókából készült. A Tesco nem forgalmaz valódi rókaszőrmét. Tehát a Tescoban lehet kapni Gucci szőrmét. Minden hollywoodi színész botoxozik. Nincs olyan ember, aki botoxozik, de nem oktat a Filozófia Tanszéken. Minden hollywoodi színész oktató a filozófia tanszéken. A Dallasban mindenki alkoholista volt. Minden keménydrogos alkoholista. Néhányan a Dallasban keménydrogosok. Létezik olyan földönkívüli, aki rabolt már el embert. Az amerikai kormány tagjai között is vannak emberrablók. Tehát vannak földönkívüliek, akik az amerikai kormány tagjai. Egyetlen tudósra sem igaz, hogy nem szeret szórakozni. Némely bolond ember tudós. Némely bolond ember szeret eljárni szórakozni.

Megoldás 1. Minden kóla szénsavas. Minden pezsgő szénsavas. Tehát minden kóla pezsgő. A = kóla, B = szénsavas, C = pezsgő Érvénytelen, mert az A halmaznak abban a tartományában is lehet elem, amelyik nem tartozik a C halmazába. Az első premissza szerint valamelyikben van elem, de nem tudjuk, melyik tartományban.

Megoldás 2. Nincs olyan Gucci szőrme, ami valódi rókából készült. A Tesco nem forgalmaz valódi rókaszőrmét. Tehát a Tescoban lehet kapni Gucci szőrmét. A = Gucci szőrme, B = valódi rókából készült szőrme, C = termékek, amiket a Tesco forgalmaz Érvénytelen, mert nem tudjuk, hogy az első premissza szerint az A halmaznak melyik tartományában van elem. Lehet, hogy abban, amelyik nem része a C-nek.

Megoldás 3. Minden hollywoodi színész botoxozik. Nincs olyan ember, aki botoxozik, de nem oktat a Filozófia Tanszéken. Minden hollywoodi színész oktató a filozófia tanszéken. A = hollywoodi színész, B = botoxozik, C = oktató a Filozófia Tanszéken Érvényes, mert tudjuk az 1. premissza alapján, hogy vannak hollywoodi színészek, akik a satírozások miatt csak abban a tartományban foglalhatnak helyet, ami egyben a C halmaz része is.

Megoldás 4. A Dallasban mindenki alkoholista volt. Minden keménydrogos alkoholista. Néhányan a Dallasban keménydrogosok. A = Dallas szereplői, B = alkoholista, C = keménydrogos Érvénytelen, mert az A halmaznak abban a tartományában is lehet elem, amelyik nem tartozik a C halmazába. Az első premissza szerint valamelyikben van elem, de nem tudjuk, melyik tartományban.

Megoldás 5. Létezik olyan földönkívüli, aki rabolt már el embert. Az amerikai kormány tagjai között is vannak emberrablók. Tehát vannak földönkívüliek, akik az amerikai kormány tagjai. A = földönkívüli, B = emberrabló, C = amerikai kormány tagja Érvénytelen, mert nem tudjuk, hogy a létezést mutató két vonal mire utal, hogy melyik tartományokban vannak elemek. Tehát elképzelhető, hogy a két vonal nem találkozik ugyanabban a középső tartományban.

Megoldás 6. Egyetlen tudósra sem igaz, hogy nem szeret szórakozni. Némely bolond ember tudós. Némely bolond ember szeret eljárni szórakozni. A = tudós, B = szeret szórakozni, C = bolond Érvényes, mert a második premissza szerint egyetlen tartományban lehetnek csak elemek, ami megfelel a konklúziónak. Satírozott tartományba nem húzhatunk vonalat!