Algoritmusok és Adatszerkezetek I. Feszítőfák és legrövidebb utak 2018. november 13.

Minimális feszítőfák

Feszítőfa Telefon, út stb. hálózat vagy elektromos áramkör tervezése

Minimális feszítőfa probléma (Minimum Spanning Tree, MST) Bemenet: összefüggő, irányítatlan, súlyozott G=(V,E) gráf. A w(u,v) súly az (u,v) él költségét fejezi ki. Kimenet: Egy T feszítőfa, amire minimális Feszítőfa: minden csúcsot érintő, összefüggő, körmentes élhalmaz (fa)

Minimális feszítőfa

Kruskal algoritmus Minimális fák erdejét tároljuk Kezdetben minden pont egy külön fa Minden lépésben a legkisebb, két fát összekötő élt húzzuk be (egyesítjük egyetlen fává a két fát) Mohó algoritmus! https://visualgo.net/en/mst

Kruskal algoritmus O(ElogE) O(logE) össz futásidő: O(ElogE)

Kruskal helyessége véges lépésben véget ér eredmény élhalmaz: minden V csúcsot érint körmentes összefüggő minimális költségű (bizonyítások)

Prim algoritmus egyetlen fát növesztünk tetszőleges gyökérpontból indulva minden lépésben új csúcsot kötünk be a fába legolcsóbb éllel elérhető csúcsot választjuk Mohó algoritmus!

Prim algoritmus gyökérpont össz futásidő: O(VlogV+ElogV) = O(ElogV) ha V<E fában nem szereplő csúcsok prioritási sora a legközelebbi fapont szerint O(logV) O(logV)

Kruskal vs Prim Kruskal O(ElogE) (ha E<V2 logE=O(logV) → O(ElogV)) Prim O(ElogV) (tovább gyorsítható O(E+VlogV)) Sűrű gráfok esetén (E nagy) Prim előnyösebb, egyébként Kruskal egyszerűbb adatszerkezetet használ

Adott csúcsból induló legrövidebb utak

Legrövidebb utak probléma Bemenet: irányított, súlyozott G=(V,E) gráf és egy s kezdőcsúcs. A w(u,v) súly az (u,v) él költségét fejezi ki. Kimenet: Minden V csúcshoz a legrövidebb út s-ből indulva

Dijsktra algoritmusa azokat a csúcsokat tárolja amihez már megtalálta a legrövidebb utat minden lépésben egyel bővíti az elért csúcsok halmazát legkisebb legrövidebb úttal bíró csúcsot választja Mohó algoritmus! https://visualgo.net/en/sssp

Dijsktra algoritmusa

Dijsktra algoritmusa össz futásidő: O(ElogV) fában nem szereplő csúcsok prioritási sora a legrövidebb összúthosszak szerint O(logV)

Dijkstra helyessége

Negatív élsúlyok és körök Körök nem okoznak problémát, de a negatív összsúlyú körök igen!

Negatív élsúlyok és Dijkstra Dijkstra nem ad helyes megoldást negatív élsúlyok esetén

Bellman-Ford algoritmus Negatív élsúlyok mellett is működik Ha elérhető negatív kör a kezdőcsúcsból akkor azt észreveszi Egy iterációban minden élen megpróbálunk javítani V-1 iterációra van szükség legrosszabb esetben

Bellman-Ford algoritmus O(VE)

Legrövidebb utak minden csúcspárra

Legrövidebb utak minden pontpárra Dijsktra minden kezdőpontból: O(VElogV) Bellman-Ford minden kezdőpontból: O(V2E)

Floyd-Warshall algoritmus Dinamikus programozás d mátrix dij eleme az ismert legrövidebb út i-ből j-be dinamikus programozással a belső csúcsként használható csúcsokat bővítjük

Floyd-Warshall algoritmus O(V3)

Legrövidebb utak minden pontpárra Ha nincsenek negatív élsúlyok és ritka a gráf akkor Dijsktra minden kezdőpontból O(VElogV) Ha vannak negatív élsúlyok, de nincsenek negatív összköltségű körök vagy sűrű a gráf akkor Floyd-Warshall O(V3) Ha negatív összköltésgű körök is lehetnek akkor Ford-Bellman minden kezdőcsúcsra O(V2E)

Gráfalgoritmusok Minimális feszítőfák Legrövidebb utak egy csúcsból Kruskal Prim Legrövidebb utak egy csúcsból Dijsktra Bellman-Ford Legrövidebb utak összes pontpárra Floyd-Warshall