Matematika I. BGRMA1GNNC BGRMA1GNNB 8. előadás

Egy öt részre történő beosztás és a finomsága. Beosztás-sorozat

Továbbosztás egy új osztóponttal és az új finomság Beosztás-sorozat

Beosztás-sorozat

Integrálközelítő összeg

Integrálközelítő összeg

Alsó- és felső-közelítő összeg

Alsó- és felső-közelítő összeg

A közelítő összegek tulajdonsága

Közelítő összegek változása

Darboux-féle integrálok

A Riemann-integrál fogalma

A Riemann-integrál és a függvény alatti terület

A Riemann-integrál és a függvény alatti terület

Egy negatív példa…

A Riemann-integrál tulajdonságai

A Riemann-integrál tulajdonságai

A Riemann-integrál tulajdonságai

A Riemann-integrál és a határozatlan integrál kapcsolata

Példák

Példák

Példák (folyt…)

Alkalmazások: területszámítás

Alkalmazások: területszámítás

Alkalmazások: területszámítás

Alkalmazások: ívhossz-számítás A görbe ívhosszát ploigonközelítéssel, a húrok hosszainak összegével számítjuk ki:

Alkalmazások: ívhossz-számítás Készítsük el az intervallum egy beosztását, jelöljük ki a görbén az xi osztópontokhoz tartozó Pi pontokat:

Alkalmazások: ívhossz-számítás A szakaszok hosszai rendre: A poligon szakaszainak össz-hossza:

Alkalmazások: ívhossz-számítás A Lagrange középértéktételből következik, hogy minden kis intervallum valamely alkalmas belső pontjával: Azaz, a kis szakaszok hosszai így is írhatók:

Alkalmazások: ívhossz-számítás Vagyis az ívhosszat közelítő poligon-hossz, ha nem csak 8, hanem általánosan n osztópontot alkalmazunk: Ez, amennyiben a beosztás-sorozat normális, egy integrálközelítő összeg, mégpedig az alábbi Riemann-integrálé:

Alkalmazások: ívhossz-számítás Bebizonyítottuk az alábbi tételt:

Példa: parabola ívhossza Számoljuk ki a f(x)=x2 függvény ívhosszát!

Példa: parabola ívhossza

Alkalmazások: forgástest térfogata Tekintsünk egy az [a,b] felett értelmezett y=f(x) függvényt! Forgassuk meg a grafikont az x-tengely körül! Számoljuk ki a keletkezett forgástest térfogatát! Meg fogjuk mutatni, hogy a V térfogatot az alábbi képlettel lehet számolni: Osszuk fel az [a,b] intervallumot n kis intervallumra! Minden kis intervallum feletti részt egy henger-koronggal fogunk közelíteni.

Alkalmazások: forgástest térfogata A henger-korong térfogata:

Alkalmazások: forgástest térfogata A forgástest térfogatát a kis henger-korongok térfogat-összegével közelítjük: A kis korongok térfogatainak összege egy integrál-közelítő összeg! Ha minden határon túl finomítjuk a felosztást, egy Riemann-integrált kapunk!

Példa: csonkakúp térfogata

Alkalmazások: forgástest felszíne Tekintsünk egy az [a,b] felett értelmezett y=f(x) függvényt! Forgassuk meg a grafikont az x-tengely körül! Számoljuk ki a keletkezett forgástest felszínét! Meg fogjuk mutatni, hogy az F felszínt az alábbi képlettel lehet számolni: Osszuk fel az [a,b] intervallumot n kis intervallumra! Minden kis intervallum feletti részt egy csonka kúp palásttal fogunk közelíteni.

Alkalmazások: forgástest felszíne Egy csonka kúp P palástjának felszínét az alábbi képlettel számoljuk:

Alkalmazások: forgástest felszíne

Alkalmazások: forgástest felszíne A kis csonka kúpok palástjainak összege egy integrál-közelítő összeg! Ha minden határon túl finomítjuk a felosztást, egy Riemann-integrált kapunk!

Példa: gömb felszíne Ha egy félkört megpörgetünk az x-tengely körül, gömböt kapunk:

Példa: gömb felszíne A felszín-képlet visszaadja a jól ismert összefüggést.