A Box-Jenkins féle modellek Gazdaságinformatikus MSc

Dr Ketskeméty László előadása ARIMA-modellek A legárnyaltabb, legösszetettebb elemzés a Box és Jenkins által kidolgozott ARIMA-modellekben lehetséges. Az ARIMA-modellek feltételeznek az idősor adatai között meglévő, valamilyen belső sztochasztikus koherenciát, ami tartósan megvan, kimutatható, és feltehetőleg a jövőbeni lefolyás során is jelen lesz. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása ARIMA-modellek Az ARIMA betűszó egy rövidítés: ARIMA = AutoRegressive Integrated Moving Averages Az AR (AutoRegressive) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értékét a múltbeli idősor értékek súlyozott összege (lineáris kombinációja) és egy korrelálatlan hibatag összege adja meg. Az MA (Moving Averages) modell szerint az Xt idősor t időpontbeli értéke a múltbeli fehérzaj értékek súlyozott összegeként (lineáris kombinációjaként) állítható elő. Az I (Integrated) modellt akkor alkalmazzuk, ha az Xt idősor nem stacioner, de véges számú deriválással azzá tehető. Tipikusan ez a helyzet, ha az idősor kummulatív hatásokat tükröz. Pl. a raktárkészletet nem határozzák meg egyetlen időszak beszerzései és eladásai, ezek csupán a raktárkészlet változásait határozzák meg. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása ARIMA-modellek Az ARIMA modellek beazonosításához tanulmányozni kell az Xt idősor belső strukturális kapcsolatait jól leíró autókorrelációs és parciális autókorrelációs mérőszámokat. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Autokovariancia függvény (AVF): Autokorrelációs függvény (ACF): Parciális autokorrelációs függvény (PACF): 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása ARIMA(0,0,q)=MA(q) modellek fehérzaj folyamat, azaz teljesen független, normális eloszlású változók sorozata ahol A mozgóátlag a folyamat egy fehérzaj folyamat elemeinek lineáris kombinációjaként áll elő. Xt és Xt-1 q-1 változóban közös. Az MA(q) folyamat együtthatói a b0 ,b1 ,…,bq . 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Mozgóátlag modellek, MA(q) Az együtthatók meghatározása: A megoldhatóság feltétele: A komplex egységkörben csak páros multiplicitású gyöke legyen 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Autoregresszív folyamatok ARIMA(p,0,0)=AR(p) Az autoregresszív folyamat a megelőző p megfigyelt érték lineáris kombinációja és egy független et hiba összegeként regresszálódik. Az AR(p) folyamat együtthatói az a1 ,…,ap ,  . 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Autoregresszív folyamatok AR(p) Az együtthatók meghatározása Yule-Walker egyenletrendszerrel: autókovarianciák 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Általános autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,0,q)=ARMA(p,q) Integrált autoregresszív és mozgóátlag folyamatok, ARIMA(p,d,q) modellek deriváltsor második deriváltsor Stb. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Autoregresszív és mozgóátlag folyamatok ARMA(p,q) Az együtthatók meghatározása: ahol és 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0,0,1)=MA(1) modellek 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(0,0,2)=MA(2) modell: 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1,0,0)=AR(1) modellek: 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(1,0,1) modell: 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Az ARIMA modellek tipikus autoregressziós (ACF) és parciális autoregressziós (PACF) függvényei ARIMA(2,0,0)=AR(2) modell: 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Modellezés ARMA folyamatokkal 1. lépés: Modell identifikáció Kiválasztjuk az idősorhoz leginkább illeszkedni tudó modellt. Ehhez az empirikus idősor autokorrelációit, parciális autokorrelációit használjuk fel. 2. lépés: A modell paramétereinek kiszámolása Az együtthatók és a sor statisztikáinak az összefüggéséből kiszámoljuk a modell paramétereit. 3. lépés: A modell illeszkedésének ellenőrzése A modell paraméterekre vonatkozó teszteket elemzünk, és a maradéktagot vizsgáljuk, mennyire hasonlít a fehér zajhoz. A portmanteau-próba végrehajtása 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Célunk az, hogy a Magyarország 1975-1994 közötti villamosenergia termelését jellemző alábbi idősor alapján előrejelzést adjunk a termelés 2003-ig várható alakulásáról. P É L D A 1. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Az idősor növekedő trendet mutat és „szemre” úgy tűnik, az emelkedés töretlen. Illesszünk ARIMA modellt az idősorra, és becsüljük előre a menetét 2003-ig! Ehhez rajzoltassuk ki az idősor ACF és PACF grafikonjait! Analyze / Forecasting / Autocorrelations...: Variables: villener, Display:  Autocorrelations  Partial autocorrelations (OK). P É L D A 1. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Az ábra alapján „megtippelhetjük” az ARIMA(0,1,0) modellt. Nézzük meg, mit ad ki a Analyze/Forecasting/Create Models… parancs Expert Modeller funkciója! Ez a beállítás az összes szóbajöhető modell közül kiválasztja a lehető legjobbat. Adjuk ki még a következő parancsokat is: Dependent Variables: villener, Criteria:  All Models, Save: Predicted values , Options:  First case after end of estimation period through a specified date Observation 30. (OK). P É L D A 1. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása A legjobbnak ítélt modell az ARIMA(0,1,0) , azaz villener deriváltsora! Az illeszkedés igen jó, R squard= 0,912 és a Ljung-Box próba is sikeres! P É L D A 1. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása

Dr Ketskeméty László előadása Az előrejelzett idősor jól illeszkedik az megfigyelt adatokra, amint azt a következő két grafikonon is láthatjuk. Az előrejelzés szerint a villamosenergia fogyasztásban erős emelkedés várható. P É L D A 1. A Magyarország 1975-1994 közötti villamosenergia termelését jellemző idősor (villener) és az annak alapján az ARIMA(0,1,0) modell segítségével kapott előrejelző függvény. 2018.11.11. Dr Ketskeméty László előadása