Kvantitatív módszerek 8. Hipotézisvizsgálatok I. Nemparaméteres próbák Dr. Kövesi János egyetemi tanár

117-118 Általános menet - 1 szakmai megfontolások alapján felállítjuk az igazolandó hipotézist statisztikai próba kiválasztása felállítjuk a nullhipotézist meghatározzuk a szignifikancia szintet, mintanagyságot, mintavétel elfogadási és elutasítási tartomány meghatározása 

Általános menet-2 számított érték meghatározása, a minta adataiból 117-118 Általános menet-2 számított érték meghatározása, a minta adataiból számított érték és az elfogadási ill. kritikus tartomány összehasonlítása döntés a nullhipotézisről értelmezzük az előző pont eredményét a szakmai hipotézisre 

Statisztikai próbák elve 118 Statisztikai próbák elve f(2) P(2szám< 2krit()|H0 igaz) = 1-  =  DF (szabadsági fok)   =1-  2 szám 2 szám 2 2 krit 

Feladat Feladat: Egy dobókockáról szeretnénk megtudni, hogy szabályos-e, azaz minden szám előfordulásának valószínűsége egyforma. Hogyan döntsük el? 

Kockadobás összesen 600 dobás

2-számított érték DF = r-1-l fk = tapasztalati gyakoriság 119 2-számított érték DF = r-1-l fk = tapasztalati gyakoriság Fk = elméleti gyakoriság Szabadsági fok r = kategóriák, osztályok száma 

Feladat (megoldás) összesen 600 dobás 

H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos. Feladat (megoldás) 2 szám= 2,02 DF = 6 - 1 = 5 2 krit= 11,1  = 0,05 2 szám << 2 krit H0-t elfogadjuk, azaz a kocka szabályos. 

119 Feladat A Tiszán adott időszakban levonuló árhullámok számát vizsgálva az elmúlt 68 év során, az alábbi eredményeket kapták: 30 év volt, amikor nem volt árhullám, 25 olyan év volt , amikor 1 árhullám vonult le az adott időszakban, 9 év volt amikor 2 és 4 olyan év volt, amikor 3 vagy annál több árhullám következett be. Feltehető-e, hogy a folyón levonuló árhullámok száma Poisson-eloszlással modellezhető? 

Emlékeztető: becslés elmélet 119 Feladat Emlékeztető: becslés elmélet H0: Poisson-eloszlás   0,8  = ? DF = r-1-l = 4-1-1 = 2 2 krit= 5,99  = 0,05 

? ? Feladat   0,8 2 krit= 5,99 0,273 k fk Fk pk 0 30 1 25 2 9 3- 4 120 Feladat k fk Fk pk 0 30 1 25 2 9 3- 4 0,4493 30,55   0,8 0,3595 0,1438 0,0474 24,45 9,78 3,22 ? 2 krit= 5,99 H0-t elfogadjuk, az árhullámok száma   0,8 paraméterű Poisson-eloszlással leírható. ? 0,273 

Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ? 122 Feladat Halogénlámpa gyártásánál n=60 elemű minta alapján a betöltött gáztérfogat (cm3) az alábbiak szerint alakult: Leírható-e a gáztérfogat normális eloszlással ? 

122 Feladat P(xA <xF) Fk 0,0032 0,0613 ? 0,4366 0,1683 0,0180 1,0000 0,19 3,68 ? 26,20 10,10 1,08 60 3,34 0,03 ? 0,02 0,00 3,40 7,55 H0: normális eloszlás, =3,326; =0,083 DF = 6-1-2= 3 Pl.: P3(3,20 <3,30) = F(3,30) - F(3,20) = F3= n·P3= 60·0,3126= 18,75 

122 Feladat Fk P(xA <xF) 0,19 3,68 18,75 26,20 10,10 1,08 60 0,0032 0,0613 0,3126 0,4366 0,1683 0,0180 1,0000 3,35 0,03 0,75 0,02 0,00 3,40 7,55 Pl.: P1(3,00 <3,10) = P1(<3,10) = 0,0032 F1= n·P1= 60·0,0032 = 0,1941 2 szám= 7,55 2 krit= 7,81  = 5% H0-t elfogadjuk  = 10% 2 krit= 6,25 H0-t elutasítjuk 

Feladat 98 vállalatnál a halálos balesetek száma 1998-ban a következőképpen alakult: Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással? 

Feladat Pl.: F3 = n·p3 = 98·0,224 = 21,95  22 H0: Poisson-eloszlás =3 k fk Fk DF = 10-1-1 = 8 0 3 5 1 17 15 2 26 22 3 16 22 4 18 17 5 9 10 6 3 5 7 5 2 8 0 0,8 9 1 0,2  98 98  = 10%  = 30% 3 ? ? 2 krit= 13,4 2 krit= 9,52 Pl.: F3 = n·p3 = 98·0,224 = 21,95  22 2 szám= 13,1 H0-t elfogadjuk H0-t elutasítjuk 

Kvantitatív módszerek 9. Hipotézisvizsgálatok II. Szórások összehasonlítása Dr. Kövesi János

125 F-próba Két független, ismeretlen várható értékű és szórású normális eloszlást követő valószínűségi változó varianciáinak azonosságára vonatkozó hipotézisünket az ún. F-próbával ellenőrizhetjük. számláló: DF1 = n1 -1 nevező: DF2 = n2 -1 

Példa H0: 1 =  2 H1: 1 > 2  = 0,05  DF1 = 10 DF2 = 9 125 Példa H0: 1 =  2 H1: 1 > 2  = 0,05  DF1 = 10 DF2 = 9 F0,05 = 3,14 

Több szórás összehasonlítása 126 Több szórás összehasonlítása Kettőnél több, normális eloszlást követő valószí-nűségi változó szórásainak összehasonlítására a Cochran- v. a Bartlett - próbát alkalmazhatjuk. Ha a minták elemszáma minden mintában azonos, akkor Cochran-próbát alkalmazhatunk. n1= n2= n3=…..= nr= n 

127 Feladat Műselyem szakítóerő vizsgálatánál …. n = 10 r = 20 

Feladat n = 10 r = 20 gsz = 0,183 DF (f) = n-1= 10-1=9  = 5% 127 Feladat n = 10 r = 20 gsz = 0,183 DF (f) = n-1= 10-1=9 A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az i=19-es szórás (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan eltér a többitől.  = 5% g95=0,135  = 1% g99=0,155 

Feladat A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát! n = 10 r = 19 127 Feladat A 19. mintát kivéve, ismételjük meg a próbát! n = 10 r = 19 A H0 nullhipotézist elfogadjuk, az i=8-as minta szórása (5 ill. 1%-os szinten) szignifikánsan nem tér el a többi szórástól. DF(f) = n-1= 10-1= 9  = 5% g95=0,140  = 1% g99=0,160 

Kvantitatív módszerek 10. Hipotézisvizsgálatok III. Középértékre vonatkozó próbák Dr. Kövesi János

Átlagok próbái  ismert  nem ismert egymintás egymintás 130-132 Átlagok próbái  ismert  nem ismert egymintás egymintás u-próba t-próba H0:  = m H0: 1 = 2 kétmintás kétmintás u-próba t-próba 

< BUX Szórások megegyeznek? Fkrit = 1,9 kétmintás t-próba 134 BUX kétmintás t-próba Szórások megegyeznek? F-próba: H0: 1 = 2  = 5% Fkrit = 1,9 DFsz = n2-1= 12-1= 11 < DFn = n1-1= 65-1= 64 

BUX Középértékek összehasonlítása: H0: 1 = 2 H1: 1  2 134 BUX kétmintás t-próba Középértékek összehasonlítása: H0: 1 = 2 H1: 1  2 kétoldali  = 5% tkrit = 1,99 DF = n1 + n2 -2=65+12-2 =75 H0-t elfogadjuk, a két minta középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik. 

Feladat Egy szabályozott folyamatban 0=100;0=0,5. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99 ) ebből a folyamatból? Legyen a próba kétoldali (az alsó és a felső eltérés is veszélyes lehet)! H0: 0= x  = 5% A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a 0-tól (5%-os szinten) szignifikáns. -1,96 1,96 

Legyen a próba kétoldali! Feladat Egy szabályozott folyamatban 0=100. Származhat-e egy n=15 elemű minta ( x = 99; = 0,5) ebből a folyamatból? H0: 0= x  = 5% A H0 nullhipotézist elutasítjuk, az átlag eltérése a 0-tól (5%-os szinten) szignifikáns. Legyen a próba kétoldali! DF = n-1 = 14 tkrit= 2,14 

135 Feladat Szeretnénk eldönteni, hogy - a megkötött bizto-sítások számát tekintve - két ügyfélszolgálati iroda között van-e különbség. A két iroda adatai az alábbiak: 

135 Feladat Két minta középértékének összehasonlítása, az elméleti szórás nem ismert. kétmintás t-próba Szórások megegyeznek? F-próba: H0: I = II  = 5% Fkrit = 2,91 DFsz = nII-1= 13-1= 12 < DFn = nI-1= 11-1= 10 

Feladat Középértékek összehasonlítása: H0: I = II H1: I  II 135 Feladat kétmintás t-próba Középértékek összehasonlítása: H0: I = II H1: I  II kétoldali  = 5% tkrit = 2,07 DF = nI + nII -2=11+13-2 =22 H0-t elfogadjuk, a két minta középértéke ( = 5%-os szinten) szignifikánsan nem különbözik. 